L'objectif de ce travail est de proposer une nouvelle approche pour la résolution du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb tridimensionnel en mécanique des solides. On s'intéresse à des systèmes dynamiques composés de plusieurs corps possédant un nombre fini de degrés de liberté: rigides, ou déformables qui sont des approximations spatiales de modèles continus. Le frottement entre les corps est modélisé en utilisant une formulation classique de la loi de Coulomb. Après discrétisation en temps (ou approximation quasi-statique), on obtient à chaque pas de temps un problème contenant des équations de complémentarité sur un produit de cônes du second ordre, et d'autres équations. Plusieurs méthodes de résolution ont été proposées pour différentes formulations équivalentes de ce problème, en particulier par Moreau, Alart et Curnier, et De Saxcé. En considérant les équations de complémentarité comme celles des conditions d'optimalité (KKT) d'un problème d'optimisation, on propose une reformulation équivalente nouvelle sous forme d'un problème de minimisation paramétrique convexe couplé avec un problème de point fixe. Grâce à ce point de vue, on démontre l'existence de solutions sous une hypothèse assez faible, et vérifiable en pratique. De plus, on peut souvent calculer effectivement l'une de ces solutions en résolvant numériquement l'équation de point fixe. Les performances de cette approche sont comparées à celles des méthodes existantes.

Dans ce travail de thèse, nous étudions, dans un contexte d'analyse convexe et d'optimisation, la prise en compte des contraintes dites d'autocorrélation, c'est-à-dire : nous considérons les situations où les vecteurs représentant les variables à optimiser sont contraintes à être les coefficients d'autocorrélation d'un signal discret à support fini. Cet ensemble des vecteurs à composantes autocorrélées se trouve être un cône convexe ; nous essayons d'en établir le plus de propriétés possibles : concernant sa frontière (lisse/polyédrale), ses faces, l'acuité, l'expression du cône polaire, l'évaluation du cône normal en un point, etc. Ensuite, nous étudions divers algorithmes pour résoudre des problèmes d'optimisation où le cône des vecteurs à composantes autocorrélées entre en jeu. Notre principal objet d'étude est le problème de la projection sur ce cône, dont nous proposons la résolution par trois algorithmes différents : algorithmes dits de suivi de chemin, celui des projections alternées, et via une relaxation non-convexe. Enfin, nous abordons la généralisation de la situation d'autocorrélation au cas de signaux bi-dimensionnels, avec toute la complexité que cela engendre : multiples définitions possibles, non-convexité des problèmes résultants, et complexité calculatoire accrue pour les algorithmes.

On présente dans le Chapitre I le problème d'online linear optimization, et on étudie les stratégies de descente miroir. Le Chapitre II se concentre sur le cas où le joueur dispose d'un ensemble fini d'actions. Le Chapitre III établit que les stratégies FTPL appartiennent à la famille de descente miroir. On construit au Chapitre IV des stratégies de descente miroir pour l'approchabilité de Blackwell. Celles-ci sont ensuite appliquées à construction de stratégies optimales pour le problème online combinatorial optimization et la minimisation du regret interne/swap. Le Chapitre V porte sur la minimisation du regret avec l'hypothèse supplémentaire que les vecteurs de paiement possèdent au plus $s$ composantes non-nulles. On met en évidence une différence fondamentale entre les gains et les pertes en établissant des bornes optimales sur le regret d'ordre différents dans chacun de ces deux cas. Le Chapitre VI porte sur l'approchabilité de Blackwell avec observations partielles. On établit que les vitesses de convergence optimales sont $O(T^{-1/2})$ pour des signaux dont les lois ne dépendent pas de l'action du joueur, et $O(T^{-1/3})$ dans le cas général. Le Chapitre VII définit les stratégies de descente miroir en temps continu. On établit pour ces derniers une propriété de non-regret. On effectue ensuite une comparaison entre le temps continu et le temps discret. Enfin, le Chapitre VIII établit une borne universelle sur les variations des fonctions convexes bornées. On obtient en corollaire que toute fonction convexe bornée est lipschitzienne par rapport à la métrique de Hilbert. / In Chapter I, we present the online linear optimization problem and study Mirror Descent strategies. Chapter II focuses on the case where the Decision Maker has a finite set of actions. We establish in Chapter III that FTPL strategies belong to the Mirror Descent family. In Chapter IV, we construct Mirror Descent strategies for Blackwell's approachability. They are then applied to the construction of optimal strategies for online combinatorial optimization and internal/swap regret minimization. Chapter V studies the regret minimization problem with the additional assumption that the payoff vectors have at most $s$ nonzero components. We show that gains and losses are fundamentally different by deriving optimal regret bounds of different orders for those two cases. Chapter VI studies Blackwell's approachability with partial monitoring. We establish that optimal convergence rates are $O(T^{-1/2})$ in the case of outcome-dependent signals, and $O(T^{-1/3})$ in the general case. Chapter VII defines Mirror Descent strategies in continuous-time for which we establish a no-regret property. A comparison between discrete and continuous-time is then conducted. Chapter VIII establish a universal bound on the variations of bounded convex functions. As a byproduct, we obtain that every bounded convex function is Lipschitz continuous with respect to the Hilbert metric.

L'objectif de ce travail est d'établir l'existence et l'unicité de la solution pour une équation elliptique non linéaire dégénérée, posée dans un domaine non borné. Dans un premier temps, on mène notre étude dans un domaine borné et ceci en tronquant le domaine infini. Dans la première partie, on introduit le problème variationnel associé qui se traduit en terme d'une fonctionnelle non coercive à minimiser. Ainsi, on associe au problème de minimisation un problème dual puis on montre pour ce dernier l'existence et l'unicité de la solution. Ensuite on prouve par l'extraction d'une sous-suite minimisante l'existence d'une "solution" liée à celle du problème dual. Dans la deuxième partie, on définit un problème relaxé ayant le même infimum que le problème initial. Ensuite on établit que cet infimum est un minimum pour le problème relaxé. Les résultats de la première partie sont ensuite étendus au cas non borné. Enfin, on donne quelques critères pour estimer l'erreur de troncature entre les solutions du problème dual définies dans le cas borné et non borné.

Les performances des instruments d'acquisition satellitaire progressent rapidement grâce au développement des technologies mais aussi grâce à la compréhension et l'intégration des phénomènes physiques complexes intervenant lors de l'acquisition. Cette thèse traite de plusieurs problèmes d'échantillonnage irrégulier dont les micro-vibrations des satellites dits push-broom tels que SPOT5 et les récents satellites Pléiades dont les capacités en imagerie permettent la détermination de modèles d'élévation très précis. Nous traitons aussi de l'inversion d'interferogrammes en spectrogrammétrie où l'irrégularité de l'échantillonnage est liée a la précision d'usinage des composants réfléchissants. Les micro-vibrations dans le cas du tangage sont estimées à partir d'une nappe de disparité altérée et non-dense par contraintes de parcimonie. Nous montrons expérimentalement que ce modèle et les algorithmes utilises permettent de résoudre en partie ce problème mal posé. L'ajout d'un apriori sur la régularité de l'élévation permet d'améliorer encore cette estimation dans les cas plus difficiles. Les images acquises en présence de micro-vibrations nécessitent de plus un reéchantillonnage auquel s'ajoute la déconvolution avec une problématique de coût numérique. L'algorithme que nous présentons ici répond a ces besoins grâce au cadre fonctionnel des splines que nous adaptons au problème de la déconvolution, avec des performances équivalentes a l'état de l'art et un coût numérique maîtrisé. Enfin nous abordons un problème inverse en interférométrie statique où la nature des signaux et de l'échantillonnage soulève de nombreuses questions, ce travail réalisé lors d'une R&T sur l'instrument SIFTI développé au CNES y apporte des réponses claires sous forme de résultats théoriques et numériques dans le cadre unifié des séries de Fourier non-harmoniques.

Dans ce travail, nous avons considéré des algorithmes parallèles asynchrones associés à des applications non linéaires non-expansives définies sur Rn. Nous avons montré le résultat de convergence concernant ces algorithmes vers un point fixe de ces applications relativement à la norme uniforme sur Rn. Nous avons ensuite montré comment ces algorithmes sont bien adaptés au calcul de la solution d'un opérateur maximal fortement monotone défini sur Rn et au calcul des solutions d'un opérateur maximal monotone dans le cas de l'algorithme parallèle synchrone de Jacobi. Ensuite, nous avons appliqué ces résultats aux calculs du minimum de fonctionnelles, du point selle, de la solution des programmes convexes et enfin de la solution du problème de l'inégalité variationnelle.

Cette thèse est consacrée à la résolution d'un problème fondamental de l'analyse variationnelle qu'est la recherchede zéros d'opérateurs maximaux monotones dans un espace de Hilbert. Nous nous sommes tout d'abord intéressés au cas de l'opérateur somme étendue de deux opérateurs maximaux monotones; la recherche d'un zéro de cet opérateur est un problème dont la bibliographie est peu fournie: nous proposons une version modifiée de l'algorithme d'éclatement forward-backward utilisant à chaque itération, l'epsilon-élargissement d'un opérateur maximal monotone,afin de construire une solution. Nous avons ensuite étudié la convergence d'un nouvel algorithme de faisceaux pour construire ID zéro d'un opérateur maximal monotone quelconque en dimension finie. Cet algorithme fait intervenir une double approximation polyédrale de l'epsilon-élargissement de l'opérateur considéré / This thesis is devoted to solving a basic problem of variational analysis which is the search of zeros of maximal monotone operators in a Hilbert space. First of aIl, we concentrate on the case of the extended som of two maximal monotone operators; the search of a zero of this operator is a problem for which the bibliography is not abondant: we purpose a modified version of the forward-backward splitting algorithm using at each iteration, the epsilon-enlargement of a maximal monotone operator, in order to construet a solution. Secondly, we study the convergence of a new bondie algorithm to construet a zero of an arbitrary maximal monotone operator in a finite dimensional space. In this algorithm, intervenes a double polyhedral approximation of the epsilon-enlargement of the considered operator

Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.<br /><br />L'objectif des deux premières parties de cette thèse <br /> est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.<br />La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.<br />La seconde composante, v, contient l'information texture.<br />La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.<br />Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques <br />adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.<br />Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.<br />Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.<br /><br /><br />Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons <br />spécifiquement à la composante texturée.<br />Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.

Nous nous intéressons à la modélisation des mouvements de foule causés par des situations d'évacuation d'urgence. L'objectif de cette thèse est de proposer un modèle mathématique et une méthode numérique de gestion des contacts, afin de traiter les interactions locales entre les personnes pour finalement mieux rendre compte de la dynamique globale du trafic piétonnier. Nous proposons un modèle microscopique de mouvements de foule reposant sur deux principes. D'une part, chaque personne a une vitesse souhaitée, celle qu'elle aurait en l'absence des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en compte une certaine contrainte d'encombrement maximal. En précisant le lien entre ces deux vitesses, le problème d'évolution prend la forme d'une inclusion différentielle du premier ordre. Son caractère bien posé est démontré en utilisant des résultats sur les processus de rafle par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ensuite, nous présentons un schéma numérique et démontrons sa convergence. Pour calculer une vitesse souhaitée particulière (celle dirigée par le plus court chemin évitant les obstacles), nous présentons une programmation orientée objet ayant pour but de simuler l'évacuation d'une structure de plusieurs étages présentant une géométrie quelconque. Nous finissons avec d'autres choix de vitesse souhaitée (par exemple, en ajoutant des stratégies individuelles) et présentons les résultats numériques associés. Ces simulations numériques permettent de retrouver certains phénomènes observés lors de déplacements piétonniers.

Des observations expérimentales montrent que les modélisations locales ne suffisent pas pour décrire le comportement de matériaux sollicités par de forts gradients des champs mécaniques, qui résultent, par exemple, de la localisation des déformations. On propose ici une démarche constructive qui étend les lois locales de type standard généralisé pour rendre compte des effets de gradients. Elle se fonde, d'une part, sur une méthode d'homogénéisation pour construire une loi à gradients de variables internes à l'échelle du point matériel, et d'autre part, sur une formulation de cette loi à l'échelle de la structure, où les variables sont dorénavant les champs de variables internes. Cette formulation variationnelle du comportement offre un cadre adéquat pour examiner des questions telles que l'existence de solutions au problème d'évolution, le choix des espaces fonctionnels pour les variables internes ou encore le lien entre modèles locaux et modèles à gradients. Par ailleurs, après discrétisation temporelle, la loi de comportement s'exprime comme la minimisation d'une énergie, problème d'optimisation qui est résolu ici au moyen d'un algorithme de lagrangien augmenté. Ce choix permet de confiner les fortes non linéarités – dont le caractère non différentiable de l'énergie – au niveau des points d'intégration, ce qui autorise une introduction aisée de ces développements dans un code de calcul préexistant, le Code_Aster® en l'occurrence. Trois applications permettent alors de mettre en lumière les potentialités de la démarche. Tout d'abord, un modèle élastique fragile illustre son caractère constructif et opérationnel, depuis la construction du modèle jusqu'aux simulations numériques. Ensuite, l'insertion dans ce cadre variationnel des modèles de plasticité à gradients, abondamment employés dans la littérature, démontre le degré de généralité de la formulation. Enfin, son application à la loi de Rousselier pour modéliser un mécanisme de rupture ductile des aciers permet d'examiner l'interaction entre grandes déformations plastiques, d'une part, et comportement non local, d'autre part.