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1	Convergence vers l'équilibre pour des quasi-flots de gradient discrets et Une méthode précise pour le mouvement de particules en suspension dans un fluide de visqueux Nguyen, Thanh Nhan 01 October 2013 (has links) (PDF) La thèse comporte deux parties. La première traite de la convergence vers l'équilibre de flots de gradients discrets ou plus généralement de discrétisations d'un système autonome admettant une fonction de Lyapunov. En se plaçant dans une cadre pour lequel les olutions du problème continu converge vers un état stationnaire en temps grand, il est démontré sous des hypothèses générale que le système discret a la même propriété. Ce résultat conduit à des conclusions nouvelles sur le comportement en temps grand de schémas numériques anciens. La seconde partie concerne la simulation numérique de particules en suspension dans un fluide visqueux. Il est montré que les méthodes utilisées actuellement pour simuler l'interaction hydrodynamique entre particules perdent de leur précision quand de grandes forces non-hydrodynamiques sont en jeu et que au moins deux particules sont proches l'une de l'autre. Ce cas survient, dans le contexte de l'ingénierie biomédicale, lors de la conception de nano-robots capables de nager. Cette perte de précision est due au caractère singulier de l'écoulement de Stokes dans les zones de presque contact. Une nouvelle méthode est introduite ici. Des expérimentations numériques sont effectuées pour mettre en évidence sa grande précision. Analyse numérique convergence vers l'équilibre quasi-flots de gradient equations de Stokes particules en suspension
2	Transport optimal de mesures positives : modèles, méthodes numériques, applications / Unbalanced Optimal Transport : Models, Numerical Methods, Applications Chizat, Lénaïc 10 November 2017 (has links) L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique. / This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency. Transport optimal Analyse convexe Optimisation Mesures positives Géométrie de l'information Algorithme de Sinkhorn Traitement d'image Flots de gradient Convergence faible Traitement de champs de tenseurs Barycentres Entropie relative Espace métrique géodésique Optimal transport Convex analysis Optimization Nonnegative measures Information geometry Sinkhorn's algorithm Image processing Gradient flows Weak convergence Tensor field processing Barycentres Relative entropy Geodesic metric space 519
3	Systèmes de particules en interaction, approche par flot de gradient dans l'espace de Wasserstein / Interacting particles systems, Wasserstein gradient flow approach Laborde, Maxime 01 December 2016 (has links) Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques. / Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results. Distance de Wasserstein Flots de gradient Schéma JKO Splitting Dérive non locale Diffusions non linéaires Diffusions croisées Systèmes de réaction-Diffusion Équations d'Hele-Shaw Transport optimal Transport multi-Marges Formule de Benamou-Brenier Lagrangien augmenté Mouvement de foules Espèces en interaction Wasserstein distance Gradient flows JKO scheme Splitting Nonlocal drift Nonlinear diffusions Cross-Diffusion Reaction-Diffusion systems Hele-Shaw equation Optimal transport Multi-Marginal transport Benamou-Brenier formula Augmented lagrangian Crowd motions Interacting species 519.2

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