GERMANO, José Gleisson da Costa. Uma proposta de abordagem dos números complexos com o uso do GeoGebra. 2016. 131 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-01-12T14:08:20Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_jgcgermano.pdf: 2466500 bytes, checksum: a678f34ab3c9ce54ee9b99fe44f89773 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-01-12T14:08:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_jgcgermano.pdf: 2466500 bytes, checksum: a678f34ab3c9ce54ee9b99fe44f89773 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-01-12T14:08:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_jgcgermano.pdf: 2466500 bytes, checksum: a678f34ab3c9ce54ee9b99fe44f89773 (MD5) Previous issue date: 2016 / This work deals with a proposal that involves GeoGebra and complex numbers, so that it can be used in the classroom by Mathematics teachers of the Secondary School with appropriate due adaptations. Teaching situations were constructed and proposed, with the aim of proposing a didactic sequence, based on Guy Brousseau's Theory of Educational Situations (TSD); as well as methodological procedures were used in the scope of Didactic Engineering of Michele Artigue. In this investigation, the geometric interpretation takes place fundamentally, so that the use of GeoGebra can foment the visualization and instigate a possible learning. Thus, instead of just using conventional chalk (or brush) and blackboard in class, this paper proposes the use of this dynamic mathematical software in the course of Mathematics classes, highlighting the following items: geometric representation Of the set C, operations in C and movements in the plane (translation, homotetia and rotation). The research was salutary, considering that preliminary studies showed that the elaborate didactic sequence, supported by the use of GeoGebra, can corroborate the good teaching and learning of complex numbers. It is hoped that this work can be continued in order to allow a deeper understanding of the theme / Este trabalho trata de uma proposta que envolve o GeoGebra e números complexos, de modo que possa ser utilizada em sala de aula por professores de Matemática do Ensino Médio com as as devidas adaptações cabíveiss. Foram construídas e propostas situações didáticas, com o objetivo de propor uma sequência didática, tendo-se como fundamentação a Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Guy Brousseau; bem como foram utilizados procedimentos metodológicos no âmbito da Engenharia Didática de Michele Artigue. Nesta investigação, a interpretação geométrica tem lugar fundamental, de maneira que o uso do GeoGebra possa fomentar a visualização e instigar uma possível aprendizagem. Dessa forma, em vez de se utilizar apenas do uso convencional de giz (ou pincel) e lousa nas aulas, este trabalho propõe a utilização desse software de matemática dinâmica no transcorrer das aulas de Matemática, dando-se destaque aos seguintes itens: representação geométrica do conjunto ℂ, operações em ℂ e movimentos no plano (translação, homotetia e rotação). A pesquisa mostrou-se salutar, tendo em vista que os estudos realizados preliminarmente sinalizaram que a sequência didática elaborada, apoiada no uso do GeoGebra, pode corroborar para o bom ensino e à aprendizagem dos números complexos. Espera-se que este trabalho possa ter continuidade a fim de possibilitar um aprofundamento da temática.

Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2017-03-29T13:05:41Z No. of bitstreams: 1 Diogo Jose Lopes Lobo Leite1.pdf: 4395315 bytes, checksum: b53d4cd96a28b3fab73db2b34d90ace1 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-29T13:05:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Diogo Jose Lopes Lobo Leite1.pdf: 4395315 bytes, checksum: b53d4cd96a28b3fab73db2b34d90ace1 (MD5) Previous issue date: 2014-08-19 / The concept of Arithmetic Mean is quite simple and used in various situations of everyday life. However, the concept that is fundamentally taught is Arithmetic Mean as an equal division, with little reflective usage of the algorithms that calculate such average. The present study extends the concept of Arithmetic Mean for the idea of equilibrium point, studying the potential of the topic and its various applications in mathematics and in other areas of knowledge. Expanding this concept, a proposal for calculating means from its geometric interpretation is presented. Such an interpretation becomes possible after detailed study of the influence of weights in mean position and resulting properties from the expansion of the concept. Learning the essence makes possible the discovery of shortcuts to the resolution of issues associated with the topic. It is emphasized that mental arithmetic and proportional thinking are important means for the exercise of citizenship, since physical or electronic elements to perform such procedures may be unavailable. Moreover, in the end of high school, students who wants to be admitted in university must be submited to Novo Enem proof, in which resolution time of the issues becomes part of the evaluation, given the high number of questions. The paper presents a multipronged and effective approache, able to contribute to students and teachers formation through a significant learning approach. / O conceito de Média Aritmética é bastante simples e utilizado em diversas situações do cotidiano. Porém, a concepção que é fundamentalmente ensinada é a de Média Aritmética como uma divisão igualitária, com ênfase na utilização, pouco reflexiva, dos algoritmos que calculam este tipo de média. O presente trabalho amplia o conceito de Média Aritmética para a ideia de ponto de equilíbrio, estudando as potencialidades do tema e suas mais diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Na ampliação desse conceito, apresenta-se uma proposta para o cálculo das médias a partir de sua interpretação geométrica. Tal interpretação se torna possível após estudo detalhado da influência dos pesos no posicionamento da média e nas propriedades decorrentes da ampliação do conceito. A aprendizagem da essência torna possível a descoberta de atalhos para a resolução de questões associadas ao tema. Ressalte-se que o cálculo mental e o pensamento proporcional são importantes meios para o exercício da cidadania, uma vez que elementos físicos ou eletrônicos para realizar tais procedimentos podem estar indisponíveis. Além disso, ao fim do Ensino Médio, os alunos que desejam ingressar na universidade precisam se submeter à prova do Novo Enem, exame em que o tempo de resolução das questões se torna parte da avaliação, dado o alto número de questões. O trabalho apresenta uma abordagem múltipla e efetiva, capaz de contribuir na formação de estudantes e professores através de uma aprendizagem significativa.

Este trabalho foi proposto com o objetivo de implementar uma ferramenta computacional para estimar os estados (tensões complexas nodais) de um sistema elétrico de potência e aplicar métodos alternativos para o processamento de erros topológicos, erros de parâmetros e/ou de erros grosseiros em medidas, baseados na interpretação geométrica dos erros e no conceito de inovação das medidas. O método utilizado para a resolução do problema de estimação de estado é o de mínimos quadrados ponderados. Através da interpretação geométrica, demonstrou-se matematicamente que o erro da medida é constituído de uma componente detectável e uma não-detectável, entretanto, as metodologias até então utilizadas para o processamento de erros consideram apenas a componente detectável do erro e, como consequência, podem falhar. Na tentativa de contornar essa limitação e baseado nos conceitos citados previamente, foi estudada e implementada uma metodologia alternativa para processar tais erros baseada na análise das componentes dos erros das medidas. Em primeiro lugar, é testado se o conjunto de medidas possui erros utilizando, para isso, o valor do erro de medida composto normalizado. Em seguida, diferencia-se se um ou outro erro ocorreu, ou mesmo se mais de um tipo de erro ocorreu. A correção a ser feita no parâmetro de linha ou na medida com erro grosseiro será o erro normalizado composto correspondente. A abordagem proposta neste trabalho requer somente um conjunto de medidas, e no mesmo instante. Para validação do programa, foram feitas diversas simulações nos sistemas de 14 e 57 barras do IEEE. / This work was proposed with the objective to implement a computational tool to estimate the states (nodal complex voltages) of a power system and apply alternative methods for the processing of topological errors, parameter errors and/or gross errors in measurements, based on the geometric interpretation of the errors and the innovation concept of measurements. The method used to solve the state estimation problem is the weighted least squares. Through geometric interpretation, it has been demonstrated mathematically that the measurement error is composed by a detectable component and a non-detectable, however, the methodologies heretofore used for error processing consider only the detectable component of the error and, consequently, can fail. In an attempt to overcome this limitation and based on the concepts mentioned previously, an alternative approach to process such errors was studied and implemented based on the analysis of the components of the measurements errors. Firstly, it is tested if the set of measurements has errors using, for that, the value of the composed measurement error in its normalized way. Next, it diers if either an error has occurred, or if more than one type of error occurred. The correction to be made in the line parameter or the measurement with gross error is the correspondent composed normalized error. The proposed approach in this paper requires only a set of measures, and at the same instant. To validate the software, several simulations were performed in the IEEE 14-bus and 57-bus systems.

Este trabalho foi proposto com o objetivo de implementar uma ferramenta computacional para estimar os estados (tensões complexas nodais) de um sistema elétrico de potência e aplicar métodos alternativos para o processamento de erros topológicos, erros de parâmetros e/ou de erros grosseiros em medidas, baseados na interpretação geométrica dos erros e no conceito de inovação das medidas. O método utilizado para a resolução do problema de estimação de estado é o de mínimos quadrados ponderados. Através da interpretação geométrica, demonstrou-se matematicamente que o erro da medida é constituído de uma componente detectável e uma não-detectável, entretanto, as metodologias até então utilizadas para o processamento de erros consideram apenas a componente detectável do erro e, como consequência, podem falhar. Na tentativa de contornar essa limitação e baseado nos conceitos citados previamente, foi estudada e implementada uma metodologia alternativa para processar tais erros baseada na análise das componentes dos erros das medidas. Em primeiro lugar, é testado se o conjunto de medidas possui erros utilizando, para isso, o valor do erro de medida composto normalizado. Em seguida, diferencia-se se um ou outro erro ocorreu, ou mesmo se mais de um tipo de erro ocorreu. A correção a ser feita no parâmetro de linha ou na medida com erro grosseiro será o erro normalizado composto correspondente. A abordagem proposta neste trabalho requer somente um conjunto de medidas, e no mesmo instante. Para validação do programa, foram feitas diversas simulações nos sistemas de 14 e 57 barras do IEEE. / This work was proposed with the objective to implement a computational tool to estimate the states (nodal complex voltages) of a power system and apply alternative methods for the processing of topological errors, parameter errors and/or gross errors in measurements, based on the geometric interpretation of the errors and the innovation concept of measurements. The method used to solve the state estimation problem is the weighted least squares. Through geometric interpretation, it has been demonstrated mathematically that the measurement error is composed by a detectable component and a non-detectable, however, the methodologies heretofore used for error processing consider only the detectable component of the error and, consequently, can fail. In an attempt to overcome this limitation and based on the concepts mentioned previously, an alternative approach to process such errors was studied and implemented based on the analysis of the components of the measurements errors. Firstly, it is tested if the set of measurements has errors using, for that, the value of the composed measurement error in its normalized way. Next, it diers if either an error has occurred, or if more than one type of error occurred. The correction to be made in the line parameter or the measurement with gross error is the correspondent composed normalized error. The proposed approach in this paper requires only a set of measures, and at the same instant. To validate the software, several simulations were performed in the IEEE 14-bus and 57-bus systems.

Este trabalho foi proposto com o objetivo de implementar um programa computacional para estimar os estados (tensões complexas nodais) de um sistema elétrico de potência (SEP) e aplicar métodos alternativos para o processamento de erros grosseiros (EGs), baseados na interpretação geométrica dos erros e no conceito de inovação das medidas. Através da interpretação geométrica, BRETAS et al. (2009), BRETAS; PIERETI (2010), BRETAS; BRETAS; PIERETI (2011) e BRETAS et al. (2013) demonstraram matematicamente que o erro da medida se compõe de componentes detectáveis e não detectáveis, e ainda que a componente detectável do erro é exatamente o resíduo da medida. As metodologias até então utilizadas, para o processamento de EGs, consideram apenas a componente detectável do erro, e como consequência, podem falhar. Na tentativa de contornar essa limitação, e baseadas nos trabalhos citados previamente, foram estudadas e implementadas duas metodologias alternativas para processar as medidas portadoras de EGs. A primeira, é baseada na análise direta das componentes dos erros das medidas; a segunda, de forma similar às metodologias tradicionais, é baseada na análise dos resíduos das medidas. Entretanto, o diferencial da segunda metodologia proposta reside no fato de não considerarmos um valor limiar fixo para a detecção de medidas com EGs. Neste caso, adotamos um novo valor limiar (TV, do inglês: Threshold Value), característico de cada medida, como apresentado no trabalho de PIERETI (2011). Além disso, com o intuito de reforçar essa teoria, é proposta uma forma alternativa para o cálculo destes valores limiares, através da análise da geometria da função densidade de probabilidade da distribuição normal multivariável, referente aos resíduos das medidas. / This work was proposed with the objective of implementing a computer program to estimate the states (complex nodal voltages) in an electrical power system (EPS) and apply alternative methods for processing gross errors (GEs), based on the geometrical interpretation of the measurements errors and the innovation concept. Through the geometrical interpretation, BRETAS et al. (2009), BRETAS; PIERETI (2010), BRETAS; BRETAS; PIERETI (2011) and BRETAS et al. (2013) proved mathematically that the measurement error is composed of detectable and undetectable components, and also showed that the detectable component of the error is exactly the residual of the measurement. The methods hitherto used, for processing GEs, consider only the detectable component of the error, then as a consequence, may fail. In an attempt to overcome this limitation, and based on the works cited previously, were studied and implemented two alternative methodologies for process measurements with GEs. The first one is based on the direct analysis of the components of the errors of the measurements, the second one, in a similar way to the traditional methods, is based on the analysis of the measurements residuals. However, the differential of the second proposed methodology lies in the fact that it doesn\'t consider a fixed threshold value for detecting measurements with GEs. In this case, we adopted a new threshold value (TV ) characteristic of each measurement, as presented in the work of PIERETI (2011). Furthermore, in order to reinforce this theory, we propose an alternative way to calculate these thresholds, by analyzing the geometry of the probability density function of the multivariate normal distribution, relating to the measurements residuals.

Este trabalho foi proposto com o objetivo de implementar um programa computacional para estimar os estados (tensões complexas nodais) de um sistema elétrico de potência (SEP) e aplicar métodos alternativos para o processamento de erros grosseiros (EGs), baseados na interpretação geométrica dos erros e no conceito de inovação das medidas. Através da interpretação geométrica, BRETAS et al. (2009), BRETAS; PIERETI (2010), BRETAS; BRETAS; PIERETI (2011) e BRETAS et al. (2013) demonstraram matematicamente que o erro da medida se compõe de componentes detectáveis e não detectáveis, e ainda que a componente detectável do erro é exatamente o resíduo da medida. As metodologias até então utilizadas, para o processamento de EGs, consideram apenas a componente detectável do erro, e como consequência, podem falhar. Na tentativa de contornar essa limitação, e baseadas nos trabalhos citados previamente, foram estudadas e implementadas duas metodologias alternativas para processar as medidas portadoras de EGs. A primeira, é baseada na análise direta das componentes dos erros das medidas; a segunda, de forma similar às metodologias tradicionais, é baseada na análise dos resíduos das medidas. Entretanto, o diferencial da segunda metodologia proposta reside no fato de não considerarmos um valor limiar fixo para a detecção de medidas com EGs. Neste caso, adotamos um novo valor limiar (TV, do inglês: Threshold Value), característico de cada medida, como apresentado no trabalho de PIERETI (2011). Além disso, com o intuito de reforçar essa teoria, é proposta uma forma alternativa para o cálculo destes valores limiares, através da análise da geometria da função densidade de probabilidade da distribuição normal multivariável, referente aos resíduos das medidas. / This work was proposed with the objective of implementing a computer program to estimate the states (complex nodal voltages) in an electrical power system (EPS) and apply alternative methods for processing gross errors (GEs), based on the geometrical interpretation of the measurements errors and the innovation concept. Through the geometrical interpretation, BRETAS et al. (2009), BRETAS; PIERETI (2010), BRETAS; BRETAS; PIERETI (2011) and BRETAS et al. (2013) proved mathematically that the measurement error is composed of detectable and undetectable components, and also showed that the detectable component of the error is exactly the residual of the measurement. The methods hitherto used, for processing GEs, consider only the detectable component of the error, then as a consequence, may fail. In an attempt to overcome this limitation, and based on the works cited previously, were studied and implemented two alternative methodologies for process measurements with GEs. The first one is based on the direct analysis of the components of the errors of the measurements, the second one, in a similar way to the traditional methods, is based on the analysis of the measurements residuals. However, the differential of the second proposed methodology lies in the fact that it doesn\'t consider a fixed threshold value for detecting measurements with GEs. In this case, we adopted a new threshold value (TV ) characteristic of each measurement, as presented in the work of PIERETI (2011). Furthermore, in order to reinforce this theory, we propose an alternative way to calculate these thresholds, by analyzing the geometry of the probability density function of the multivariate normal distribution, relating to the measurements residuals.

Esta dissertação trata do problema de processamento de Erros Grosseiros (EGs) com base na aplicação do chamado Índice de Não-Detecção de Erros, ou apenas UI (Undetectability Index), na análise dos resíduos do estimador de estado por mínimos quadrados ponderados. O índice UI foi desenvolvido recentemente e possibilita a classificação das medidas de acordo com as suas características de não refletirem grande parcela de seus erros nos resíduos daquele estimador. As medidas com maiores UIs são aquelas cujos erros são mais difíceis de serem detectados através de métodos que fazem uso da análise dos resíduos, pois grande parcela do erro dessas medidas não aparece no resíduo. Inicialmente demonstrou-se, nesta dissertação, que erros das estimativas das variáveis de estado em um sistema com EG não-detectável (em uma medida de alto índice UI) podem ser mais significativos que em medidas com EGs detectáveis (em medidas com índices UIs baixos). Justificando, dessa forma, a importância de estudos para tornar possível o processamento de EGs em medidas com alto índice UI. Realizou-se, então, nesta dissertação, diversas simulações computacionais buscando analisar a influência de diferentes ponderações de medidas no UI e também nos erros das estimativas das variáveis de estado. Encontrou-se, então, uma maneira que destacou-se como a mais adequada para ponderação das medidas. Por fim, ampliaram-se, nesta dissertação, as pesquisas referentes ao UI para um estimador de estado por mínimos quadrados ponderados híbrido. / This dissertation deals with the problem of Gross Errors processing based on the use of the so-called Undetectability Index, or just UI. This index was developed recently and it is capable to classify the measurements according to their characteristics of not reflecting their errors into the residuals of the weighted least squares state estimation process. Gross errors in measurements with higher UIs are very difficult to be detected by methods based on the residual analysis, as the errors in those measurements are masked, i.e., they are not reflected in the residuals. Initially, this dissertation demonstrates that a non-detectable gross error (error in a measurement with high UI) may affect more the accuracy of the estimated state variables than a detectable gross error (error in a measurement with low UI). Therefore, justifying the importance of studies that make possible gross errors processing in measurements with high UI. In this dissertation, several computational simulations are carried out to analyze the influence of different weights of measurements in the UI index and also in the accuracy of the estimated state variables. It is chosen a way that stood out as the most appropriate for weighing the measurements. Finally, in this dissertation, the studies referring to the UI is extended for a hybrid weighted least squares state estimator.

Esta dissertação trata do problema de processamento de Erros Grosseiros (EGs) com base na aplicação do chamado Índice de Não-Detecção de Erros, ou apenas UI (Undetectability Index), na análise dos resíduos do estimador de estado por mínimos quadrados ponderados. O índice UI foi desenvolvido recentemente e possibilita a classificação das medidas de acordo com as suas características de não refletirem grande parcela de seus erros nos resíduos daquele estimador. As medidas com maiores UIs são aquelas cujos erros são mais difíceis de serem detectados através de métodos que fazem uso da análise dos resíduos, pois grande parcela do erro dessas medidas não aparece no resíduo. Inicialmente demonstrou-se, nesta dissertação, que erros das estimativas das variáveis de estado em um sistema com EG não-detectável (em uma medida de alto índice UI) podem ser mais significativos que em medidas com EGs detectáveis (em medidas com índices UIs baixos). Justificando, dessa forma, a importância de estudos para tornar possível o processamento de EGs em medidas com alto índice UI. Realizou-se, então, nesta dissertação, diversas simulações computacionais buscando analisar a influência de diferentes ponderações de medidas no UI e também nos erros das estimativas das variáveis de estado. Encontrou-se, então, uma maneira que destacou-se como a mais adequada para ponderação das medidas. Por fim, ampliaram-se, nesta dissertação, as pesquisas referentes ao UI para um estimador de estado por mínimos quadrados ponderados híbrido. / This dissertation deals with the problem of Gross Errors processing based on the use of the so-called Undetectability Index, or just UI. This index was developed recently and it is capable to classify the measurements according to their characteristics of not reflecting their errors into the residuals of the weighted least squares state estimation process. Gross errors in measurements with higher UIs are very difficult to be detected by methods based on the residual analysis, as the errors in those measurements are masked, i.e., they are not reflected in the residuals. Initially, this dissertation demonstrates that a non-detectable gross error (error in a measurement with high UI) may affect more the accuracy of the estimated state variables than a detectable gross error (error in a measurement with low UI). Therefore, justifying the importance of studies that make possible gross errors processing in measurements with high UI. In this dissertation, several computational simulations are carried out to analyze the influence of different weights of measurements in the UI index and also in the accuracy of the estimated state variables. It is chosen a way that stood out as the most appropriate for weighing the measurements. Finally, in this dissertation, the studies referring to the UI is extended for a hybrid weighted least squares state estimator.