Le point de départ de la thèse fut l'étude d'une variété holomorphiquement symplectique irréductible (VHSI) à singularités orbifold, de dimension 4, construite en 2007 par Markushevich—Tikhomirov comme une compactification d'une famille lagrangienne de surfaces de Prym de polarisation (1,2). La famille des surfaces de Prym en question est associée au système linéaire de courbes de genre 3 sur une surface K3 quartique, munie d'une involution anti-symplectique. Dans la première partie de la thèse, on calcule la forme de Beauville—Bogomolov (BB) sur la seconde cohomologie entière de cette VHSI. L'existence d'une forme BB sur les VHSI singulières aux singularités en codimension 4 était démontrée par Namikawa, mais aucun exemple explicite d'une telle forme n'était connu, et la thèse présente les premiers exemples explicites de formes BB de VHSI singulières. Le calcul de ces formes BB a nécessité de développer des outils permettant de déterminer la cohomologie entière de variétés quotientées par un groupe d'automorphismes d'ordre premier. Dans la deuxième partie de la thèse, la famille miroir de la VHSI de Markushevich—Tikhomirov, formée des surfaces abéliennes duales, est déterminée. Il se trouve qu'elle est aussi une famille de prymiennes, associée à une quartique K3 avec involution anti-symplectique, donc admet une compactification qui est la symétrique miroir de la VHSI d'origine. Une description géométrique très précise de cette correspondance est donnée, basée sur la construction bigonale de Pantazis. De plus, on montre que la symétrie miroir ainsi construite représente une involution birationnelle non-triviale sur l'espace de modules de VHSI de ce type. / The starting point of the thesis was the study of a singular irreducible holomorphically symplectic variety (IHSV) of dimension 4 with orbifold singularities which was constructed by Markushevich—Tikhomirov in 2007 as a compactification of a Lagrangian family of (1,2)-polarized Prym surfaces. This family of Prym surfaces is associated to a linear system of genus-3 curves on a quartic K3 surface endowed with an anti-symplectic involution. In the fist part of the thesis, the Beauville—Bogomolov form (BB) on the second integer cohomology group of this IHSV is computed. The existence of the BB form for an IHSV with singular locus of codimension 4 was proved by Namikawa, but no explicit example of such a form was known. The thesis provides the first concrete examples of BB forms on singular IHSV. The calculation of these BB forms required the development of some tools for computing the integer cohomology of varieties quotiented by automorphism groups of prime order. In the second part of the thesis, the mirror family of dual abelian surfaces for the Markushevich—Tikhomirov IHSV is determined. As it turns out, it is also a family of Prym surfaces associated to a quartic K3 surface with an anti-symplectic involution and hence admits a compactification, which is the mirror of the original IHSV. A very precise geometric description of this duality is given, using Pantazis's bigonal construction. Moreover, it is proved that the mirror symmetry constructed in this way represents a non-trivial birational involution on the moduli space of Markushevich—Tikhomirov IHSV.

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L'objectif de ce mémoire est de dénombrer les polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini en prescrivant des contraintes sur les coefficients. Dans les prochaines pages, il sera question de fixer simplement des coefficients, ou simplement de fixer leur signe, leur cubicité ou leur quarticité. / The objective of this thesis is to count monic irreducible polnomials over a finite field under some conditions on the coefficients of the polynomial. These conditions will be simply to fix some coefficients, or to fix their sign, cubicity or quarticity.

Solving cubic equations by a formula that involves only the elementary operations of sum, product, and exponentiation of the coefficients is one of the greatest results in 16th century mathematics. This was achieved by Girolamo Cardano's Ars Magna in 1545. Still, a deep, substantial difference between the quadratic and the cubic formula exists: while the quadratic formula only involves imaginary numbers when all the solutions are imaginary too, it may happen that the cubic formula contains imaginary numbers, even when the three solutions are anyway all real (and different). This means that a scholar of the time could stumble upon numerical cubic equations of which he already knew three (real) solutions and the cubic formula of which actually contains square roots of negative numbers. This will be lately called the 'casus irreducibilis '. Cardano's De Regula Aliza (Basel, 1570) is (at least, partially) meant to try to overcome the problem entailed by it.

L’affectation de fr´equences (AFP) consiste `a attribuer des fr´equences radio aux liens de communications d’un r´eseauen respectant un spectre de fr´equences donn´e et des contraintes d’interf´erence ´electromagn´etique sur les liens. Vu lalimitation des ressources spectrales pour chaque application, les ressources en fr´equences sont souvent insuffisantespour d´eployer un r´eseau sans interf´erence. Dans ce cas, le r´eseau est surcontraint et le probl`eme est irr´ealisable.R´esoudre le probl`eme consiste alors `a identifier les zones surcontraintes pour en revoir la conception.Le travail que nous pr´esentons concerne la recherche d’une de ces zones surcontraintes avec une approche algo-rithmique bas´ee sur la mod´elisation du probl`eme par un CSP. Le probl`eme de l’affectation de fr´equences doit doncˆetre mod´elis´e comme un probl`eme de satisfaction de contraintes (CSP) qui est repr´esent´e par un tripl´e : un ensemblede variables (les liens radio), un ensemble de contraintes (les interf´erences ´electromagn´etiques), et un ensemble dedomaines (les fr´equences admises).Sous forme de CSP, une zone perturb´ee peut ˆetre consid´er´ee comme un sous-ensemble irr´ealisable irr´eductible duprobl`eme (IIS pour Irreductible Infeasible Subset). Un IIS est un sous probl`eme de taille minimale qui est irr´ealisable,c’est-`a-dire que tous les sous-ensembles d’un IIS sont r´ealisables. L’identification d’un IIS dans un CSP se rapporte `a deux r´esultats g´en´eraux int´eressants. Premi`erement, en localisant un IIS on peut plus facilement prouver l’irr´ealisabilit´ed’un probl`eme donn´e car l’irr´ealisabilit´e d’un IIS, qui est suppos´e ˆetre petit par rapport au probl`eme complet, est plusrapidement calculable que sur le probl`eme entier. Deuxi`emement, on peut localiser la raison de l’irr´ealisabilit´e; dansce cas, sur un probl`eme r´eel, le d´ecideur peut proposer des solutions pour relˆacher des contraintes de l’IIS, et peut-ˆetre aboutir `a une solution r´ealisable pour son probl`eme. La recherche d’IIS consiste donc `a r´esoudre un probl`emefondamental qui fait partie des outils de prise de d´ecision.Ce travail propose des algorithmes pour identifier un IIS dans un CSP incoh´erent. Ces algorithmes ont ´et´e test´essur des instances connues du probl`eme de l’affectation des fr´equences et du probl`eme de k-coloration de graphe. Lesr´esultats ont montr´es d’une grande am´elioration sur des instances du probl`eme de l’affectation des fr´equences parrapport aux m´ethodes connues. / The frequency assignment (FAP) consists in assigning the frequency on the radio links of a network which satisfiesthe electromagnetic interference among the links. Given the limited spectrum resources for each application, the fre-quency resources are often insufficient to deploy a wireless network without interference. In this case, the network isover-contrained and the problem is infeasible. Our objective is to identify an area with heavy interference.The work presented here concerns the detection for one of these areas with an algorithmic approach based onmodeling the problem by CSP. The problem of frequency assignment can be modeled as a constraint satisfactionproblem (CSP) which is represented by a triple: a set of variables (radio links), a set of constraints (electromagneticinterference) and a set of available frequencies.The interfered area in CSP can be considered a subset of irreducible feasible subset (IIS). An IIS is a infeasiblesubproblem with irreducible size, that is to say that all subsets of an IIS are feasible. The identification of an IIS ina CSP refers to two general interests. First, locating an IIS can easily prove the infeasibility of the problem. Becausethe size of IIS is assumed to be smaller compared to the entire problem, its infeasibility is relatively easier to prove.Second, we can locate the reason of infeasibility, in this case, the decision maker can provide the solutions to relax theconstraints inside IIS, which perhaps leads to a feasible solution to the problem.This work proposes algorithms to identify an IIS in the over-constrained CSP. These algorithms have tested on the well known benchmarks of the FAP and of the problem of graph k-coloring. The results show a significant improve-ment on instances of FAP compared to known methods.

La multiplication dans le corps de Galois à 2^m éléments (i.e. GF(2^m)) est une opérations très importante pour les applications de la théorie des correcteurs et de la cryptographie. Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux réalisations parallèles de multiplicateurs dans GF(2^m) lorsque ce dernier est généré par des trinômes irréductibles. Notre point de départ est le multiplicateur de Montgomery qui calcule A(x)B(x)x^(-u) efficacement, étant donné A(x), B(x) in GF(2^m) pour u choisi judicieusement. Nous étudions ensuite l'algorithme diviser pour régner PCHS qui permet de partitionner les multiplicandes d'un produit dans GF(2^m) lorsque m est impair. Nous l'appliquons pour la partitionnement de A(x) et de B(x) dans la multiplication de Montgomery A(x)B(x)x^(-u) pour GF(2^m) même si m est pair. Basé sur cette nouvelle approche, nous construisons un multiplicateur dans GF(2^m) généré par des trinôme irréductibles. Une nouvelle astuce de réutilisation des résultats intermédiaires nous permet d'éliminer plusieurs portes XOR redondantes. Les complexités de temps (i.e. le délais) et d'espace (i.e. le nombre de portes logiques) du nouveau multiplicateur sont ensuite analysées: 1. Le nouveau multiplicateur demande environ 25% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito lorsque GF(2^m) est généré par des trinômes irréductible et m est suffisamment grand. Le nombre de portes du nouveau multiplicateur est presque identique à celui du multiplicateur de Karatsuba proposé par Elia. 2. Le délai de calcul du nouveau multiplicateur excède celui des meilleurs multiplicateurs d'au plus deux évaluations de portes XOR. 3. Nous determinons le délai et le nombre de portes logiques du nouveau multiplicateur sur les deux corps de Galois recommandés par le National Institute of Standards and Technology (NIST). Nous montrons que notre multiplicateurs contient 15% moins de portes logiques que les multiplicateurs de Montgomery et de Mastrovito au coût d'un délai d'au plus une porte XOR supplémentaire. De plus, notre multiplicateur a un délai d'une porte XOR moindre que celui du multiplicateur d'Elia au coût d'une augmentation de moins de 1% du nombre total de portes logiques. / The multiplication in a Galois field with 2^m elements (i.e. GF(2^m)) is an important arithmetic operation in coding theory and cryptography. In this thesis, we focus on the bit- parallel multipliers over the Galois fields generated by trinomials. We start by introducing the GF(2^m) Montgomery multiplication, which calculates A(x)B(x)x^{-u} in GF(2^m) with two polynomials A(x), B(x) in GF(2^m) and a properly chosen u. Then, we investigate the rule for multiplicand partition used by a divide-and-conquer algorithm PCHS originally proposed for the multiplication over GF(2^m) with odd m. By adopting similar rules for splitting A(x) and B(x) in A(x)B(x)x^{-u}, we develop new Montgomery multiplication formulae for GF(2^m) with m either odd or even. Based on this new approach, we develop the corresponding bit-parallel Montgomery multipliers for the Galois fields generated by trinomials. A new bit-reusing trick is applied to eliminate redundant XOR gates from the new multiplier. The time complexity (i.e. the delay) and the space complexity (i.e. the logic gate number) of the new multiplier are explicitly analysed: 1. This new multiplier is about 25% more efficient in the number of logic gates than the previous trinomial-based Montgomery multipliers or trinomial-based Mastrovito multipliers on GF(2^m) with m big enough. It has a number of logic gates very close to that of the Karatsuba multiplier proposed by Elia. 2. While having a significantly smaller number of logic gates, this new multiplier is at most two T_X larger in the total delay than the fastest bit-parallel multiplier on GF(2^m), where T_X is the XOR gate delay. 3. We determine the space and time complexities of our multiplier on the two fields recommended by the National Institute of Standards and Technology (NIST). Having at most one more T_X in the total delay, our multiplier has a more-than-15% reduced logic gate number compared with the other Montgomery or Mastrovito multipliers. Moreover, our multiplier is one T_X smaller in delay than the Elia's multiplier at the cost of a less-than-1% increase in the logic gate number.

La thèse comporte six chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les bases de la théorie et on étudie la structure des algèbres Hom-associatives ainsi que les différentes constructions comme la composition avec des endomorphismes qui nous permet de construire de nouveaux objets et d’établir certaines nouvelles propriétés. Parmi les résultats originaux, on peut signaler l’étude des algèbres Hom-associatives simples ainsi que leurs constructions. On a montré que toutes les algèbres Hom-associatives multiplicatives simples s’obtiennent par composition d’algèbres simples et d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, on commence par étudier les propriétés des changements de base dans ces structures algébriques. On a calculé la base de Gröbner de l’idéal engendrant la variété algébrique des algèbres Hom-associatives de dimension 2 où la multiplication µ et l’application linéaire α sont identifiées à leurs constantes de structure relativement à une base donnée. La classification, à isomorphisme près, des algèbres Hom-associatives unitaires et non unitaires est établie en dimension 2 et 3. On a aussi décrit les algèbres de type associatif en se basant sur le théorème de twist de Yau. Dans le troisième chapitre, on étudie certaines propriétés et invariants comme les dérivations, αk-dérivations où k est un entier positif. Dans le quatrième chapitre, on établit la cohomologie de ces algèbres. On a pu lister les algèbres rigides grâce à leur classe de cohomologie puis on s'est 'intéressé aux déformations infinitésimales et dégénérations. D’une part, la cohomologie et déformation de ces algèbres nous a permis d’identifier les algèbres rigides dont le deuxième groupe de cohomologie est nulle, et d’autre part de caractérisation de composante irréductible. Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse aux structures Rota-Baxter de poids λ ϵK de ces algèbres. Enfin, dans le dernier chapitre, on a travaillé sur les structures Hom-bialgèbres et leurs invariants. / The purpose of this thesis is to study the structure of Hom-associative algebras and provide classifications. Among the results obtained in this thesis, we provide 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras and give a characterization of multiplicative simple Hom-associative algebras. Moreover we compute some invariants and discuss irreducible components of the corresponding algebraic varieties. The thesis is organized as follows. In the first chapter we give the basics about Hom-associative algebras and provide some new properties. Moreover, we discuss unital Hom-associative algebras. Chapter 2 deals with simple multiplicative Hom-associative algebras. We present one of the main results of this paper, that is a characterization of simple multiplicative Hom-associative algebras. Indeed, we show that they are all obtained by twistings of simple associative algebras. Chapter 3 is dedicated to describe algebraic varieties of Hom-associative algebras and provide classifications, up to isomorphism, of 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras. In chapter 4, we compute their derivations and twisted derivations, whereas in chapter 5, we compute their Hom-Type Hochschild cohomology. In the last section of this chapter, we consider the geometric classification problem using one-parameter formel deformations, and describe the irreducible components. In chapter 6, we compute Rota-Baxter structures of weight k of Hom-associative algebras appearing in our classification. In chapter 7, We work out Hom-bialgebras structures as well as their invariants. Properties and classifications, as well as the calculation of certain invariants such as the first and second cohomology groups, were studied.

Cette thèse comporte deux parties. Dans la première partie on étudie le motif de Chow d’un fibré en quadriques de dimension relative impaire sur une surface. On montre que ce motif admet une décomposition qui fait intervenir le motif de Prym du revêtement double de la courbe discriminante. Dans la deuxième partie on s’intéresse à des fibrations lagrangiennes, obtenues comme jacobiennes intermédiaires relatives des familles de variétés de Fano de dimension trois contenant une surface K3 fixée, et à l’existence d’une compactification symplectique. Dans un cas particulier, on étudie une compactification partielle en utilisant des calculs avec le logiciel Macaulay2. / This thesis consists of two parts. In the first part we study the Chow motive of a quadric bundle of odd relative dimension over a surface. We show that this motive admits a decomposition which involves the Prym motive of the double covering of the discriminant curve.In the second part, we consider Lagrangian fibrations, obtained as relative intermediate Jacobians of families of Fano threefolds containing a fixed K3 surface, and the existence of a symplectic compactification. In a particular case, we study a partial compactification using calculations with the software system Macaulay2.

Cette thèse se compose de deux parties. Partie 1 étudie la décomposition des groupes de cohomologie pour une famille de courbes non hyperelliptiques de genre 3 avec une involution, et le bénéfice d'une telle décomposition dans le calcul de Frobenius utilisant l'algorithme de Kedlaya. L'involution d'une telle courbe C induit un morphisme de degré 2 vers une courbe elliptique E, ce qui donne une décomposition de Jac(C) en E et en une surface abélienne A, à partir desquelles le Frobenius sur C peut être récupérée. En E, le polynôme caractéristique du Frobenius peut être calculé en utilisant un algorithme efficace et rapide en pratique. En travaillant avec le sous-groupe V de $H^1_{MW}(C)$, on obtient une meilleure constante que l'application directe de la méthode de Kedlaya à C. À ma connaissance, ceci est la première utilisation de la décomposition de la cohomologie induite par une décomposition (à isogénie près) de la jacobienne en l'algorithme de Kedlaya. Dans partie 2, je propose une nouvelle approche aux distributions de Frobenius et aux groupes de Sato-Tate, qui utilise les relations d'orthogonalité des caractères irréductibles du groupe de Lie USp(2g) et ses sous-groupes. Dans ce but, je présente d'abord une méthode simple pour calculer les caractères irréductibles de USp(2g), et puis je développe un algorithme basé sur la formule de Brauer-Klimyk. Les avantages de cette nouvelle approche sont examinés en détail. J'utilise aussi la famille de courbes dans partie 1 comme une étude de cas. Les analyses et les comparaisons montrent que l'approche par la théorie des caractères est un outil plus intrinsèque et très prometteur pour l'étude des groupes de Sato-Tate. / This thesis consists of two parts. Part 1 studies the decomposition of cohomology groups induced by automorphisms for a family of non-hyperelliptic genus 3 curves with involution, and I investigate the benefit of such decomposition in the computation of Frobenius using Kedlaya's algorithm. The involution of a curve C in this family induces a degree 2 map to an elliptic curve E, which gives a decomposition of the Jacobian of C into E and an abelian surface A, from which the Frobenius on C can be recovered. On E, the characteristic polynomial of the Frobenius can be computed using an efficient and fast algorithm. By working with the cohomology subgroup V of $H^1_{MW}(C)$, we get a constant speed-up over a straightforward application of Kedlaya's method to C. To my knowledge, this is the first use of decomposition of the cohomology induced by an isogeny decomposition of the Jacobian in Kedlaya's algorithm. In Part 2, I propose a new approach to Frobenius distributions and Sato-Tate groups, which uses the orthogonality relations of the irreducible characters of the compact Lie group USp(2g) and its subgroups. To this purpose, I first present a simple method to compute the irreducible characters of USp(2g), then I develop an algorithm based on the Brauer-Klimyk formula. The advantages of this new approach to Sato-Tate groups are examined in detail. The results show that the error grows slowly. I also use the family of genus 3 curves studied in Part 1 as a case study. The analyses and comparisons show that the character theory approach is a more intrinsic and very promising tool for studying Sato-Tate groups.

La réduction des informations redondantes et/ou non-pertinentes dans la description de données est une étape importante dans plusieurs domaines scientifiques comme les statistiques, la vision par ordinateur, la fouille de données ou l’apprentissage automatique. Dans ce manuscrit, nous abordons la réduction de la taille des signatures des images par une méthode issue de l’Analyse Formelle de Concepts (AFC), qui repose sur la structure du treillis des concepts et la théorie des treillis. Les modèles de sac de mots visuels consistent à décrire une image sous forme d’un ensemble de mots visuels obtenus par clustering. La réduction de la taille des signatures des images consiste donc à sélectionner certains de ces mots visuels. Dans cette thèse, nous proposons deux algorithmes de sélection d’attributs (mots visuels) qui sont utilisables pour l’apprentissage supervisé ou non. Le premier algorithme, RedAttSansPerte, ne retient que les attributs qui correspondent aux irréductibles du treillis. En effet, le théorème fondamental de la théorie des treillis garantit que la structure du treillis des concepts est maintenue en ne conservant que les irréductibles. Notre algorithme utilise un graphe d’attributs, le graphe de précédence, où deux attributs sont en relation lorsque les ensembles d’objets à qui ils appartiennent sont inclus l’un dans l’autre. Nous montrons par des expérimentations que la réduction par l’algorithme RedAttsSansPerte permet de diminuer le nombre d’attributs tout en conservant de bonnes performances de classification. Le deuxième algorithme, RedAttsFloue, est une extension de l’algorithme RedAttsSansPerte. Il repose sur une version approximative du graphe de précédence. Il s’agit de supprimer les attributs selon le même principe que l’algorithme précédent, mais en utilisant ce graphe flou. Un seuil de flexibilité élevé du graphe flou entraîne mécaniquement une perte d’information et de ce fait une baisse de performance de la classification. Nous montrons par des expérimentations que la réduction par l’algorithme RedAttsFloue permet de diminuer davantage l’ensemble des attributs sans diminuer de manière significative les performances de classification. / In several scientific fields such as statistics, computer vision and machine learning, redundant and/or irrelevant information reduction in the data description (dimension reduction) is an important step. This process contains two different categories : feature extraction and feature selection, of which feature selection in unsupervised learning is hitherto an open question. In this manuscript, we discussed about feature selection on image datasets using the Formal Concept Analysis (FCA), with focus on lattice structure and lattice theory. The images in a dataset were described as a set of visual words by the bag of visual words model. Two algorithms were proposed in this thesis to select relevant features and they can be used in both unsupervised learning and supervised learning. The first algorithm was the RedAttSansPerte, which based on lattice structure and lattice theory, to ensure its ability to remove redundant features using the precedence graph. The formal definition of precedence graph was given in this thesis. We also demonstrated their properties and the relationship between this graph and the AC-poset. Results from experiments indicated that the RedAttsSansPerte algorithm reduced the size of feature set while maintaining their performance against the evaluation by classification. Secondly, the RedAttsFloue algorithm, an extension of the RedAttsSansPerte algorithm, was also proposed. This extension used the fuzzy precedence graph. The formal definition and the properties of this graph were demonstrated in this manuscript. The RedAttsFloue algorithm removed redundant and irrelevant features while retaining relevant information according to the flexibility threshold of the fuzzy precedence graph. The quality of relevant information was evaluated by the classification. The RedAttsFloue algorithm is suggested to be more robust than the RedAttsSansPerte algorithm in terms of reduction.