L'analyse statique des programmes consiste en un ensemble de techniques permettant de déterminer des propriétés des programmes sans avoir à les exécuter. Parmi les applications de l'analyse statique des programmes, nous retrouvons l'optimisation du code source par des compilateurs et la détection de code malveillant ou de code qui pourrait être exploité à des fins malveillantes. L'évidente pertinence et l'importance (parfois critique) de telles applications expliquent les nombreuses tentatives de compréhension du cadre théorique général de l'analyse statique des programmes. Les algèbres de Kleene sont la théorie algébrique des automates finis et des expressions régulières. Cet outil algébrique s'est avéré très approprié pour l'analyse statique et la vérification des programmes. Le but de cette thèse est de développer un cadre algébrique basé sur les algèbres de Kleene pour calculer les solutions d'une classe générale de problèmes intraprocéduraux d'analyse de flot de données. Ce cadre permet de représenter les programmes, ainsi que leurs propriétés, d'une manière homogène, compacte et expressive. Les algorithmes traditionnels employés pour calculer le résultat d'une analyse sont alors remplacés par des manipulations algébriques des éléments d'une algèbre de Kleene. / Static program analysis consists of techniques for determining properties of programs without actually running them. Among the applications of static program analysis are the optimization by compilers of object code and the detection of malicious code or code that might be maliciously exploited. The obvious relevance and (sometimes critical) importance of such applications explain the many attempts to try to understand the general theoretical framework of static program analysis. Kleene algebra is the algebraic theory of finite automata and regular expressions. This algebraic tool has proven to be very suitable for the purpose of static analysis and verification of programs. The goal of this thesis is to develop an algebraic framework based on Kleene algebra to compute the solutions to a general class of intraprocedural dataflow analysis problems. The framework allows one to represent both the programs and the relevant properties in an homogeneous, compact and readable way. Traditional algorithms used to compute the result of an analysis are then replaced by algebraic manipulations of elements of a Kleene algebra.

Les analyses interprocédurales automatiques de programmes qui sont basées sur des théories mathématiques rigoureuses sont complexes à réaliser, mais elles sont d'excellents outils pour augmenter notre conance envers les comportements possibles d'un programme. Les méthodes classiques pour réaliser ces analyses sont l'analyse de modè- les, l'interprétation abstraite et la démonstration automatique de théorèmes. La base d'un démonstrateur automatique de théorèmes est une logique ou une algèbre et le choix de celle-ci a un impact sur la complexité de trouver une preuve pour un théorème donné. Cette dissertation développe un formalisme algébrique concis pouvant être utilisé en démonstration automatique de théorèmes. Ce formalisme est appellé algèbre de Kleene à pile visible. Cette dissertation explique comment ce formalisme peut être utilisé pour réaliser des analyses interprocédurales de programmes, comme des vérications formelles et des vérications d'optimisations efectuées par des compilateurs. Cette dissertation apporte aussi des preuves que ces analyses pourraient être automatisées. L'algèbre de Kleene à pile visible est une extension de l'algèbre de Kleene, un excellent formalisme pour réaliser des analyses intraprocédurales de programmes. En bref, l'algèbre de Kleene est la théorie algébrique des automates nis et des expressions régulières. Donc, cette algèbre à elle seule n'est pas appropriée pour faire des analyses interprocédurales de programmes car la puissance des langages non contextuels est souvent nécessaire pour représenter le lot de contrôle d'un tel programme. L'algèbre de Kleene à pile visible étend celle-ci en lui ajoutant une famille d'opérateurs de plus petit point xe qui est basée sur une restriction des grammaires non contextuelles. En fait, cette algèbre axiomatise exactement la théorie équationnelle des langages à pile visibles. Ces langages sont une sous-classe des langages non contextuels et ont été dénis par Alur et Madhusudan pour faire de l'analyse de modèles. La complexité résultante de la théorie équationnelle de l'algèbre proposée est EXPTIME-complète. / Automatic interprocedural program analyses based on rigorous mathematical theories are complex to do, but they are great tools to increase our condence in the behaviour of a program. Classical ways of doing them is either by model checking, by abstract interpretation or by automated theorem proving. The basis of an automated theorem prover is a logic or an algebra and the choice of this basis will have an impact in the complexity of nding a proof for a given theorem. This dissertation develops a lightweight algebraic formalism for the automated theorem proving approach. This formalism is called visibly pushdown Kleene algebra. This dissertation explains how to do some interprocedural program analyses, like formal veri cation and verication of compiler optimizations, with this formalism. Evidence is provided that the analyses can be automated. The proposed algebraic formalism is an extension of Kleene algebra, a formalism for doing intraprocedural program analyses. In a nutshell, Kleene algebra is the algebraic theory of nite automata and regular expressions. So, Kleene algebra alone is not well suited to do interprocedural program analyses, where the power of context-free languages is often needed to represent the control flow of a program. Visibly pushdown Kleene algebra extends Kleene algebra by adding a family of implicit least xed point operators based on a restriction of context-free grammars. In fact, visibly pushdown Kleene algebra axiomatises exactly the equational theory of visibly pushdown languages. Visibly pushdown languages are a subclass of context-free languages dened by Alur and Madhusudan in the model checking framework to model check interprocedural programs while remaining decidable. The resulting complexity of the equational theory of visibly pushdown Kleene algebra is EXPTIME-complete whereas that of Kleene algebra is PSPACE-complete.

In this thesis, we investigate different theoretical questions concerning weighted automata models over tree-like input structures. First, we study exact and approximated determinisation and then, we turn to Kleene-like and Büchi-like characterisations. We consider multiple weighted automata models, including weighted tree automata over semirings (Chapters 3 and 4), weighted forest automata over M-monoids (Chapter 5), and rational weighted tree languages with storage (Chapter 6). For an explanation as to why the last class can be considered as a weighted automaton model, we refer to page 188 of the thesis. We will now summarise the main contributions of the thesis. In Chapter 3, we focus on the determinisation of weighted tree automata and present our determinisation framework, called M-sequentialisation, which can model different notions of determinisation from the existing literature. Then, we provide a positive M-sequentialisation result for the case of additively idempotent semirings or finitely M-ambiguous weighted tree automata. Another important contribution of Chapter 3 is Theorem 77, where we provide a blueprint theorem that can be used to find determini- sation results for more classes of semirings and weighted tree automata easily. In fact, instead of repeating an entire determinisation construction, Theorem 77 allows us to prove a determinisation result by finding certain finite equivalence relations. This is a very potent tool for future research in the area of determinisation. In Chapter 4, we move from exact determinisation towards approximate determini- sation. We lift the formalisms and the main results from one approach from the literature from the word case to the tree case. This successfully results in an approximated determinisation construction for weighted tree automata over the tropical semiring. We provide a formal mathematical description of the approximated determinisation construction, rather than an algorithmic description as found in the related approach from the literature. In Chapter 5, we turn away from determinisation and instead consider Kleene-like and Büchi-like characterisations of weighted recognisability. We introduce weighted forest automata over M-monoids, which are a generalisation of weighted tree automata over M-monoids and weighted forest automata over semirings. Then, we prove that our recognisable weighted forest languages can be decomposed into a finite product of recognisable weighted tree languages. We also prove that the initial algebra semantic and the run semantic for weighted forest automata are equivalent under certain conditions. Lastly, we define rational forest expressions and forest M-expressions and and prove that the classes of languages generated by these formalisms coincide with recognisable weighted forest languages under certain conditions. In Chapter 6, we consider rational weighted tree languages with storage, where the storage is introduced by composing rational weighted tree languages without storage with a storage map. It has been proven in the literature that rational weighted tree languages with storage are closed under the rational operations. In Chapter 6, we provide alternative proofs of these closure properties. In fact, we prove that our way of introducing storage to rational weighted tree languages preserves the closure properties from rational weighted tree languages without storage.:1 Introduction 2 Preliminaries 2.1 Languages 2.2 WeightedLanguages 2.3 Weighted Tree Automata 3 A Unifying Framework for the Determinisation of Weighted Tree Automata 3.1 Introduction 3.2 Preliminaries 3.3 Factorisation in Monoids 3.3.1 Ordering Multisets over Monoids 3.3.2 Cayley Graph and Cayley Distance 3.3.3 Divisors and Rests 3.3.4 Factorisation Properties 3.4 Weighted Tree Automata over M_fin(M) and the Twinning Property 3.4.1 Weighted Tree Automata over M_fin(M) 3.4.2 The Twinning Property 3.5 Sequentialisation of Weighted Tree Automata over M_fin(M) 3.5.1 The Sequentialisation Construction 3.5.2 The Finitely R-Ambiguous Case 3.6 Relating WTA over M_fin(M) and WTA over S 3.7 M-Sequentialisation of Weighted Tree Automata 3.7.1 Accumulation of D_B 3.7.2 M-Sequentialisation Results 3.8 Comparison of our Results to the Literature 3.8.1 Determinisation of Unweighted Tree Automata 3.8.2 The Free Monoid Case 3.8.3 The Group Case 3.8.4 The Extremal Case 3.9 Conclusion 4 Approximated Determinisation of Weighted Tree Automata 125 4.1 Introduction 4.2 Preliminaries 4.3 Approximated Determinisation 4.3.1 The Approximated Determinisation Construction 4.3.2 Correctness of the Construction 4.4 The Approximated Twinning Property 4.4.1 Implications for Approximated Determinisability 4.4.2 Decidability of the Twinning Property 4.5 Conclusion 5 Kleene and Büchi Theorems for Weighted Forest Languages over M-Monoids 5.1 Introduction 5.2 Preliminaries 5.3 WeightedForestAutomata 5.3.1 Forests 5.3.2 WeightedForestAutomata 5.3.3 Rectangularity 5.3.4 I-recognisable is R-recognisable 5.4 Kleene’s Theorem 5.4.1 Kleene’s Theorem for Trees 5.4.2 Kleene’s Theorem for Forests 5.4.3 An Inductive Approach 5.5 Büchi’s Theorem 5.5.1 Büchi’s Theorem for Trees 5.5.2 Büchi’s Theorem for Forests 5.6 Conclusion 6 Rational Weighted Tree Languages with Storage 6.1 Introduction 6.2 Preliminaries 6.3 Rational Weighted Tree Languages with Storage 6.4 The Kleene-Goldstine Theorem 6.5 Closure of Rat(S¢,Σ,S) under Rational Operations 6.5.1 Top-Concatenation, Scalar Multiplication, and Sum 6.5.2 α-Concatenation 6.5.3 α-Kleene Star 6.6 Conclusion 7 Outlook References

Un automate temporisé est un automate augmenté avec plusieurs horloges qui mesurent le passage de temps et peuvent conditionner la modification de l'état du système. Les automates temporisés ont été introduits en tant que modèle formel pour les systèmes temps-réel, en espérant que leur rôle dans la vérification de tels systèmes sera similaire au rôle des automates finis dans la recherche systématique des erreurs de conception de systèmes non-temporisés. Dans notre thèse nous étudions plusieurs questions théoriques liés aux automates temporisés et aux langages temporisés. Dans une première partie nous étudions une sous-classe simple d'automates temporisés à une seule horloge qui est remise à zéro pendant chaque transition. Nous montrons que cette sous-classe supporte des résultats similaires à la théorie classique des automates finis: des théorèmes de Kleene, de Myhill-Nerode et de fermeture par complémentation. La deuxième et principale partie de la thèse est motivée par les expressions régulières temporisés de Asarin, Caspi et Maler. Depuis leur introduction, on sait qu'il faut employer l'intersection dans les expressions régulières pour que leur expressivité soit égale aux automates temporisés. Nous poursuivons alors une approche alternative en utilisant des parenthèses colorées pour définir les contraintes temporelles sur une séquence d'événements. Cette idée aboutit à une représentation alternative des langage des automates temporisés, basée sur une nouvelle classe de langages formels que nous appelons . Nous développons alors la théorie des expressions régulières sur les regminos et nous montrons que le problème de sémantique vide est indécidable en cas général, et décidable pour une sous-classe large de langages. L'application de ces résultats nous amène à des nouvelles structures de données et à des algorithmes pour le problème du langage vide dans les automates temporisés et les expressions régulières.

Given positive integers c1,c2,...,ck with gcd(c1,c2,...,ck) = 1, the Frobenius problem (FP) is to compute the largest integer g(c1,c2,...,ck) that cannot be written as a non-negative integer linear combination of c1,c2,...,ck. The Frobenius problem in a free monoid (FPFM) is a non-commutative generalization of the Frobenius problem. Given words x1,x2,...,xk such that there are only finitely many words that cannot be written as concatenations of words in {x1,x2,...,xk}, the FPFM is to find the longest such words. Unlike the FP, where the upper bound g(c1,c2,...,ck)≤max 1≤i≤k ci2 is quadratic, the upper bound on the length of the longest words in the FPFM can be exponential in certain measures and some of the exponential upper bounds are tight. For the 2FPFM, where the given words over Σ are of only two distinct lengths m and n with 1<m<n, the length of the longest omitted words is ≤g(m, m|Σ|n-m + n - m). In Chapter 1, I give the definition of the FP in integers and summarize some of the interesting properties of the FP. In Chapter 2, I give the definition of the FPFM and discuss some general properties of the FPFM. Then I mainly focus on the 2FPFM. I discuss the 2FPFM from different points of view and present two equivalent problems, one of which is about combinatorics on words and the other is about the word graph. In Chapter 3, I discuss some variations on the FPFM and related problems, including input in other forms, bases with constant size, the case of infinite words, the case of concatenation with overlap, and the generalization of the local postage-stamp problem in a free monoid. In Chapter 4, I present the construction of some essential examples to complement the theory of the 2FPFM discussed in Chapter 2. The theory and examples of the 2FPFM are the main contribution of the thesis. In Chapter 5, I discuss the algorithms for and computational complexity of the FPFM and related problems. In the last chapter, I summarize the main results and list some open problems. Part of my work in the thesis has appeared in the papers.

Given positive integers c1,c2,...,ck with gcd(c1,c2,...,ck) = 1, the Frobenius problem (FP) is to compute the largest integer g(c1,c2,...,ck) that cannot be written as a non-negative integer linear combination of c1,c2,...,ck. The Frobenius problem in a free monoid (FPFM) is a non-commutative generalization of the Frobenius problem. Given words x1,x2,...,xk such that there are only finitely many words that cannot be written as concatenations of words in {x1,x2,...,xk}, the FPFM is to find the longest such words. Unlike the FP, where the upper bound g(c1,c2,...,ck)≤max 1≤i≤k ci2 is quadratic, the upper bound on the length of the longest words in the FPFM can be exponential in certain measures and some of the exponential upper bounds are tight. For the 2FPFM, where the given words over Σ are of only two distinct lengths m and n with 1<m<n, the length of the longest omitted words is ≤g(m, m|Σ|n-m + n - m). In Chapter 1, I give the definition of the FP in integers and summarize some of the interesting properties of the FP. In Chapter 2, I give the definition of the FPFM and discuss some general properties of the FPFM. Then I mainly focus on the 2FPFM. I discuss the 2FPFM from different points of view and present two equivalent problems, one of which is about combinatorics on words and the other is about the word graph. In Chapter 3, I discuss some variations on the FPFM and related problems, including input in other forms, bases with constant size, the case of infinite words, the case of concatenation with overlap, and the generalization of the local postage-stamp problem in a free monoid. In Chapter 4, I present the construction of some essential examples to complement the theory of the 2FPFM discussed in Chapter 2. The theory and examples of the 2FPFM are the main contribution of the thesis. In Chapter 5, I discuss the algorithms for and computational complexity of the FPFM and related problems. In the last chapter, I summarize the main results and list some open problems. Part of my work in the thesis has appeared in the papers.

Cette thèse décrit trois travaux de formalisation en Coq. Le premier chapitre s'intéresse à l'implémentation d'une procédure de décision efficace pour les algèbres de Kleene, pour lesquelles le modèle des langages réguliers est initial : il est possible de décider la théorie équationelle des algèbres de Kleene via la construction et la comparaison d'automates finis. Le second chapitre est consacré à la définition de tactiques pour la réécriture modulo associativité et commutativité en utilisant deux composants : une procédure de décision réflexive pour l'égalité modulo AC, ainsi qu'un greffon OCaml implémentant le filtrage modulo AC. Le dernier chapitre esquisse une formalisation des circuits digitaux via un plongement profond utilisant les types dépendants de Coq ; on s'intéresse ensuite à prouver la correction totale de circuits paramétriques.

Techn. Universiẗat, Diss., 2005--Darmstadt.

Cette thèse décrit trois travaux de formalisation en Coq. Le premier chapitre s'intéresse à l'implémentation d'une procédure de décision efficace pour les algèbres de Kleene, pour lesquelles le modèle des langages réguliers est initial : il est possible de décider la théorie équationelle des algèbres de Kleene via la construction et la comparaison d'automates finis. Le second chapitre est consacré à la définition de tactiques pour la réécriture modulo associativité et commutativité en utilisant deux composants : une procédure de décision réflexive pour l'égalité modulo AC, ainsi qu'un greffon OCaml implémentant le filtrage modulo AC. Le dernier chapitre esquisse une formalisation des circuits digitaux via un plongement profond utilisant les types dépendants de Coq ; on s'intéresse ensuite à prouver la correction totale de circuits paramétriques. / This thesis describe three formalisations in Coq. The first chapter is devoted to the implementation of an efficient decision procedure for Kleene algebras : as regular languages form the initial model of Kleene algebras, we can resort to finite automata algorithms to solve equations in an arbitrary Kleene algebra. The second chapter present a set of tools for rewriting modulo associativity and commutativity built using two components: a reflexive decision procedure for equality modulo AC and an OCaml plug-in for pattern matching modulo AC. The third chapter defines a deep-embedding of hardware circuits using dependent types that is used to model and prove the functional correctness of parametrised circuits.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第18041号 / 理博第3919号 / 新制||理||1566(附属図書館) / 30899 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 西村 進, 教授 加藤 毅, 教授 長谷川 真人 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM