Denna uppsats behandlar polynomapproximation i det komplexa talplanet.Några olika kända satser inom ämnet presenteras. Dessa satser redogör förunder vilka förutsättningar en kontinuerlig funktion kan approximeras mednågot polynom, beroende på funktionens definitionsmängd. Som nya resultatvisas att en godtycklig kontinuerlig funktion kan approximeras med någotpolynom som ej antar ett uppräkneligt antal godtyckligt valda värden, dådefinitionsmängden är en kompakt mängd utan inre punkter med sammanhängandekomplement.

This thesis aims to provide an introduction to the field of potential theory at an undergraduate level, by studying an important mathematical problem in the field, namely the Dirichlet problem. By examining the historical development of different methods for solving the problem in increasingly general contexts, and the mathematical concepts which were established to support these methods, the aim is to provide an overview of various basic techniques in the field of potential theory, as well as a summary of the fundamental results concerning the Dirichlet problem in Euclidean space. / Målet med detta arbete är att vara en introduktion på kandidatnivå till ämnesfältet potentialteori, genom att studera ett viktigt matematiskt problem inom potentialteori, Dirichletproblemet. Genom att undersöka den historiska utvecklingen av olika lösningsmetoder för problemet i mer och mer allmänna sammanhang, i kombination med de matematiska koncepten som utvecklades för att användas i dessa lösningsmetoder, ges en översikt av olika grundläggande tekniker inom potentialteori, samt en sammanfattaning av de olika matematiska resultaten som har att göra med Dirichletproblemet i det Euklidiska rummet.

I komplex analys finns det ett antal olika konvergenser varav vi tittar närmare på några här. Bland annat hur likformig konvergens medför punktvis konvergens men att det omvända ej gäller. Vi tittar också på vad de har för samband med lokal likformig konvergens och normal konvergens dvs. likformig konvergens på kompakta delmängder. Slutligen kommer vi att se på vad som gäller för familjer och kommer då in på lokalt begränsad, ekvikontinuitet, Arzela/Ascoli, Montels och Runges satser. Vi kommer här även se exempel på hur stort fel det egentligen kan bli för punktvisa konvergenta följder. De får normalt inte en gränsfunktion som är analytisk men vi ser både i Exempel 3.19 och Korollarium 3.23 att dessa ger resultat som är analytiska nästan överallt. / This report will describe four different types of convergence. The types described are pointwise, local uniformly, uniformly and normal convergence. The different convergences are explored in a way of how they relate to each other. Finally this report will also investigate how this applies to normal families and the theories of Arzela/Ascoli, Montel and Runge. We will here see examples of how wrong it really can go for pointwise convergent sequences. They do usually not have a limit that is analytic but from both Example 3.19 and Corollary 3.23 we will see that they give functions that in fact are analytic almost everywhere.

Föreliggande uppsats behandlar minimala ytor. De är speciella typer av de ytor som studeras i ämnet differentialgeometri, ur vilket uppsatsen tar upp viktiga definitioner och resultat. Redogörelsen leder fram till ett bekvämt sätt att uttrycka den så kallade medelkrökningen, som definitionen av minimala ytor baseras på. Därefter motiveras namnet minimala ytor och ett antal egenskaper hos dessa diskuteras. Detta följs av en koppling till komplex analys genom Weierstrass–Enneper-parametrisering och några exempel på minimala ytor. Slutligen diskuteras ett par tillämpningar.