I detta kandidatarbete undersöker och jämför vi två olika metoder för att approximera gauss- och medelkrökningen hos en yta i rummet som är given som en mängd av punkter. Det är viktigt att försöka få en bra analogi mellan diskret krökning och analytisk krökning då man ofta startar med en mängd punkter i de praktiska fallen, som t ex i tillverkningsindustrin, igenkänning av objekt (inscannade bilder) och datorgrafik. Givet dessa punkter och en bra approximation av gauss- och medelkrökningen kan man få mer information om ytans geometri och beteende. För att kunna förstå dessa begrepp och metoder/algoritmer så behandlas först den bakomliggande teorin och sedan metoderna. Den första metoden är att återge ytan med hjälp av Bézierytor, vilka vi kan utföra geometriska operationer på utan problem och även få fram gauss- och medelkrökningen. Den andra metoden kommer från artikeln ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' av Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder och Alan H. Barr. Deras approximationer av krökningarna kräver en triangulering av ytan, vilket de inte ger någon algoritm för. De tittar på ett område runt varje punkt och approximerar krökningarna genom detta område, även Gauss-Bonnets sats används för approximering av gausskrökningen. Mina simuleringar visar att Bézierytornas approximationer av gauss- och medelkrökningar är konvergenta och att alla värden ligger relativt nära varandra. Artikelns algoritm fungerar bra för gauss- och medelkrökning men deras algoritm beror väldigt mycket på trianguleringen vilket gör att man behöver ha krav på den triangulerade ytan, vilket i sig är ett svårt problem att lösa. / In this thesis we analyze and compare two different methods for approximating the Gauss and mean curvature on a surface, which is given as a set of points. It is important to find a method that agrees well with the analytic Gauss and mean curvatures and guarantees robust estimations. There is a great interest in Gauss and mean curvature since these two curvatures give information about the local geometry of the surface around the point at which these curvatures are calculated. The thesis begins with a short overview of differential theory and then the methods are explained and described. The reason for this is to give the reader an understanding of the theory before explaining the methods. The first method is called Bézier surfaces, which interpolates the given points. These surfaces are differentiable which makes it possible to approximate the Gauss and mean curvature, and are therefore very well suited for our problem. The second method comes from the research article ``Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated 2-Manifolds'' by Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H. Barr. Their algorithm requires a triangulated surface, which itself is a hard problem to solve (at least if one has requirements on the triangulation). Their approximations of the Gauss and mean curvatures use a well chosen area around the point, and the Gauss curvature also makes use of the Gauss-Bonnet theorem. My simulations show that Bézier surfaces approximate both Gauss and mean curvature well, and the approximations seem to converge to the analytic value when the information gets better. The articles algorithm also works well for approximating both curvatures, though this method seems to depend somewhat on the triangulation. This gives some requirements on the triangulation and will therefore be a harder problem to solve. The approximations do not converge when given a triangulation with obtuse triangles, though it shows signs to do so.

Föreliggande uppsats behandlar minimala ytor. De är speciella typer av de ytor som studeras i ämnet differentialgeometri, ur vilket uppsatsen tar upp viktiga definitioner och resultat. Redogörelsen leder fram till ett bekvämt sätt att uttrycka den så kallade medelkrökningen, som definitionen av minimala ytor baseras på. Därefter motiveras namnet minimala ytor och ett antal egenskaper hos dessa diskuteras. Detta följs av en koppling till komplex analys genom Weierstrass–Enneper-parametrisering och några exempel på minimala ytor. Slutligen diskuteras ett par tillämpningar.

Betongpelare är en vanlig del i konstruktioner inom bygg-och anläggningsbranschen och kräver normalt en stor mängd armeringsjärn för att säkerställa dess styrka och stabilitet. Vid dimensionering av slanka betongpelare ska hänsyn inte bara tas till första ordningens moment och deformationer utan även andra ordningens teori ska beaktas. För att dimensionera förandra ordningens moment beskriver Eurokoderna tre olika metoder, en generell metod samt två förenklade metoder: nominell styvhet och nominell krökning. Dimensionering kan ske förhand eller med datorprogram. FEM-Design, som är ett avancerat analysprogram, baseras på finita elementmetoden som är en numerisk analysmetod och ett av de vanligaste sätten att beräkna fysikaliska fenomen. FEM-Design kan ofta ge ett bättre och säkrare resultat då handberäkningar approximerar för att de ska vara hanterbara.I arbetet jämförs beräknad armeringsmängd mellan handberäkningar med nominell styvhet,nominell krökning samt analysprogrammet FEM-Design. Arbetet har gjorts för att undersöka skillnaden i armering och därmed kunna avgöra vilken metod som ger minst respektive mest mängd armering. Betongpelarna som undersöks är slanka och har tre olika upplagsförhållanden, varje upplag belastas med tre olika belastningsfall. Beräkningarna är utförda enligt Eurokod 2 och resultatet blev att FEM-Design gav i sju av nio fall lägst andra ordningens moment. I åtta av nio fall gav FEM-Design lägst mängd armering medan nominell styvhet gav störst andra ordningens moment och störst mängd armering i samtliga fall. Nominell krökning gav ett andra ordningens moment som var nära FEM-Designs resultat medstörsta skillnaden på 30%. Beräknad armering för nominell krökning växlade mellan attstämma överens mest med nominell styvhet och FEM-Design. Utifrån resultatet har även skillnaden i pris på armering beräknats fram där nominell styvhet är det dyraste alternativet.FEM-Design är 61% billigare än nominell styvhet medan nominell krökning är 51% billigareän nominell krökning.Jämförelsen visar att nominell krökning kan i dessa belastningsfall som har undersökts ansesvara den bästa metoden av handberäkningarna men FEM-Design anses vara den bästa av samtliga metoder i detta arbete. Slutsatsen som kunde dras var att båda de förenklade handberäkningsmetoderna överdimensionerar armeringsmängden i pelarna och därmed anses FEM-Design som det bästa alternativet. FEM-Design gav inte bara minst armering och därmed lägsta armeringskostnaden utan dimensioneringen tog också kortast tid. / When designing slender concrete columns where the second-order theories need to be considered, the Eurocodes describe three different methods; a general method and two simplified methods - nominal stiffness and nominal curvature. Designing can be done manually or with programs. FEM-design, an advanced analysis program, is based on the finiteelement method, which is a numerical analysis method and is one of the most common ways to calculate big and complex problems. FEM-Design often provides more reliable results compared to calculations done by hand, which involve approximations to make them manageable.In this study the calculated reinforcement quantities are compared with hand calculationsusing the nominal stiffness, nominal curvature and FEM-Design. The purpose is to investigatethe difference in reinforcement and determine which method requires the least amount of reinforcement. The investigated columns are slender and have three different boundary conditions, each subject to three different load cases. The calculations are performed according to the Eurocode 2. The results show that in seven out of nine cases the FEM-Design method produced the lowest second-order moments. In eight out of nine cases, FEM-Design resulted in least amount of reinforcement, while nominal stiffness resulted in the highest second-order moments and greatest amount of reinforcement in all cases. Nominal curvature generally produced second-order moments that were close to FEM-Design, the largest difference being 30%. Regarding the calculated reinforcement , nominal curvature varied in agreement with nominal stiffness and FEM-Design. The cost of reinforcement was also analyzed, with nominal stiffness being 51% more expensive than nominal curvature and 61% more expensive than FEM-Design. Nominal curvature was the preferred manual method, but FEM-Design emerged as the best overall method, offering both minimal reinforcement and shorter design time.

The far-reaching successes of deep neural networks in a wide variety of learning tasks have prompted research on how model properties account for high network performance. For a specific class of models whose activation functions are piecewise linear, one such property of interest is the number of linear regions that the network generates. Such models themselves define piecewise linear functions by partitioning input space into disjoint regions and fitting a different linear function on each such piece. It would be expected that the number or configuration of such regions would describe the model’s ability to fit complicated functions. However, previous works have shown difficulty in identifying linear regions as satisfactory predictors of model success. In this thesis, the question of whether the generation of linear regions due to training encode the properties of the learning problem is explored. More specifically, it is investigated whether change in linear region density due to model fitting is related to the geometric properties of the training data. In this work, data geometry is characterized in terms of the curvature of the underlying manifold. Models with ReLU activation functions are trained on a variety of regression problems defined on artificial manifolds and the change in linear region density is recorded along trajectories in input space. Learning is performed on problems defined on curves, surfaces and for image data. Experiments are repeated as the data geometry is varied and the change in density is compared with the manifold curvature measure used. In no experimental setting, was the observed change in density found to be clearly linked with curvature. However, density was observed to increase at points of discontinuity. This suggests that linear regions can in some instances model data complexities, however, the findings presented here do not support that data curvature is encoded by the formation of linear regions. Thus, the role that linear regions play in controlling the capacity of piecewise linear networks remains open. Future research is needed to gain further insights into how data geometry and linear regions are connected. / De breda framgångar som djupa neurala nätverk har uppvisat i en mängd olika inlärningsproblem har inspirerat ny forskning med syfte att förklara vilka modellegenskaper som resulterar i högpresterande nätverk. För neurala nätverk som använder styckvis linjära aktiveringsfunktioner är en intressant egenskap att studera de linjära regioner som nätverket genererar i det vektorrum som utgör träningsdatans definitionsmängd. Nätverk med styckvis linjära aktiveringsfunktioner delar upp definitionsmängden i distinkta regioner på vilka olika linjära funktioner avbildas. Dessa nätverk avbildar själva styckvis linjära funktioner. Genom att anpassa flera skilda linjära avbildningar går det att approximera funktioner som är icke-linjära. Därför skulle man kunna förvänta sig att antalet linjära regioner som en modell genererar och hur de är fördelade i rummet kunde fungera som mått på modellens förmåga att lära sig komplicerade funktioner. Tidigare efterforskingar inom detta område har dock inte kunnat demonstrera ett samband mellan antalet eller fördelningen av linjära regioner och modellens prestanda. I den här avhandlingen undersöks det vilken roll linjära regioner spelar i att förklara en modells kapacitet och vad den lär sig. Fångar de linjära regioner som ett nätverk lär sig de underliggande egenskaperna hos träningsdatan? Mer specifikt så studeras huruvida den lokala förändringen i antalet linjära regioner efter modellträning korrelerar med träningsdatans geometri. Träningsdata genereras från syntetiska mångfalder och datageometrin beskrivs i termer av mångfaldens krökning. På dessa mångfalder definieras regressionsproblem och träning upprepas för topologier av olika form och med olika krökning. Skillnaden i antalet linjära regioner efter träning mäts längs banor i definitionsdomänen och jämförs med datans krökning. Ingen av de experiment som utfördes lyckades påvisa något tydligt samband mellan förändring i antal regioner och datans krökning. Det observerades dock att antalet linjära regioner ökar i närheten av punkter som utgör diskontinuiteter. Detta antyder att linjära regioner under vissa omständigheter kan modellera komplexitet. Således förblir rollen som linjära regioner har i att förklara modellförmåga diffus.

18-methyl eicosanoic acid (18-MEA), which is a branched fatty acid, is found at the outermost surface of mammalian hair with other straight-chain fatty acids such as palmitic acid and stearic acid. However, the precise role of 18-MEA is not yet completely understood. 18-MEA on Cadmium chloride subphase forms curvature at the water/air interface, leading to the formation of 3D-domains that can be easily transferred into solid support allowing to create complex and multi-functional structures. This project investigates if a non-toxic subphase would also lead to the formation of 3D-domains or if it is an intrinsic property of Cadmium chloride; and to investigate if the domain properties were tuneable. A combination of the Langmuir trough and the Atomic Force Microscopy is used. It is shown that a toxic subphase is not necessary and a more benign sodium subphase can be used to obtain 3D-domains. It is also shown that different chains length interact dissimilarly with the branched fatty acid. This results in the formation of very various structures. It is also shown that the subphase, the surface pressure of deposition and the composition of the fatty acid in the monolayer affect the properties of the domain, leading to different size of domain but also different morphology in the domain. Circular domains, elongated domains, continuous labyrinthine structures, dendritic centipede-like structures and no domains are obtained. / På den yttersta ytan av däggdjurshår återfinns den grenade fettsyran 18-methyleikosansyra tillsammans en mindre mängd av de raka fettsyrornapalmitinsyra och stearinsyra. Den exakta rollen av 18-MEA är dock ännu inte heltklarlagd. Ett monoskikt av 18-MEA på en subfas innehållande kadmiumklorid påtvingar en krökning av vatten–luftgränsytan. Det leder till bildandet av 3D-domäner som lätt kan överföras från vattenytan till fasta ytor vilket möjliggör att dekorera dessa ytor med komplexa och multifunktionella strukturer. Detta projekt undersöker om andra, miljövänliga motjoner i subfasen också skulle leda till bildandet av 3D-domäner eller om det är en inneboende egenskap hos kadmiumklorid. Det här ger även insikt om hur motjoner kan användas för att påverka och kontrollera domänbildningen. En kombination av Langmuirtråg och atomkraftsmikroskopi används för att karakterisera monoskikten. Det visas att en subfas innehållande kadmium inte är nödvändig och att en mer miljövänlig natriumsubfas kan användas för att bilda 3D-domäner. Det visas också att olika kedjors längd interagerar olika med den grenade fettsyran 18-MEA, vilket resulterar i bildandet av olika strukturer i deponerade monoskikt. Det visas också att yttrycket vid deponering och sammansättningen av fettsyror i mono skiktet påverkar egenskaperna hos monoskiktet, vilket leder till varierande storlek och struktur på de bildade domänerna, där cirkulära och långsträckta domäner, kontinuerliga labyrintstrukturer och dendritiska tusenfotingsliknande strukturer observeras.