El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis

In this thesis we prove polynomial-in-time upper bounds for the orbital instability of solitons for subcritical generalized Korteweg-de Vries equations in $H^{s}_{x}(\mathbb{R})$ with $s < 1$. By combining coercivity estimates of Weinstein with the $I$-method as developed by Colliander, Keel, Staffilani, Takaoka, and Tao, we construct a modified energy functional which is shown to be almost conserved while providing us with an estimate of the deviation of the solution from the ground state curve. The iteration of the almost conservation law for the modified energy functional over time intervals of uniform length yields the polynomial upper bound.

In this thesis we prove polynomial-in-time upper bounds for the orbital instability of solitons for subcritical generalized Korteweg-de Vries equations in $H^{s}_{x}(\mathbb{R})$ with $s < 1$. By combining coercivity estimates of Weinstein with the $I$-method as developed by Colliander, Keel, Staffilani, Takaoka, and Tao, we construct a modified energy functional which is shown to be almost conserved while providing us with an estimate of the deviation of the solution from the ground state curve. The iteration of the almost conservation law for the modified energy functional over time intervals of uniform length yields the polynomial upper bound.

Thesis (Ph. D.)--Oregon State University, 2004. / Typescript (photocopy). Includes bibliographical references (leaves 73-75). Also available on the World Wide Web.

Dans cette thèse, nous allons considérer un système de contrôle dont l'état est donné par la solution de l'équation de Korteweg-de Vries (KdV) posée sur un intervalle borné. On imposera des conditions Dirichlet homogènes aux bords et le contrôle portera sur la condition Neumann à droite de l'intervalle. Nous allons considérer deux types de problèmes qui sont étroitement liés : la contrôlabilité et la stabilisation. Les chapitres 2 et 3 sont consacrés a étudier la contrôlabilité sur quelques domaines pour lesquels le système linéaire n'est pas contrôlable. Notre but est de démontrer que malgré cette perte de contrôlabilité du système linéaire, la non-linéarité nous permet d'obtenir la contrôlabilité pour le système non linéaire. Pour faire ceci nous allons utiliser la méthode de développement en séries entières, introduite dans le cadre de la dimension infinie par J.-M. Coron et E. Crépeau dans [J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 6, no. 3, pp. 367-398, 2004]. La méthode consiste à bouger le système le long des directions manquantes pour le système linéaire par des développements d'ordre supérieur à un, et puis à appliquer un théorème de point fixe. Dans le chapitre 4, on étudiera la stabilisation pour notre système. Le but de cette partie est de construire des lois de feedback tel que le système en boucle fermée ait une décroissance exponentielle vers zéro avec un taux de décroissance arbitraire. La méthode utilisée est due a J. M. Urquiza qui l'a introduite dans [SIAM J. Control Optim., V. 43, no. 6, pp 2233-2244, 2005]. Pour être en mesure d'appliquer cette méthode, une analyse spectrale de l'opérateur de KdV stationnaire est nécessaire.

Thesis (M.Sc.) - Carleton University, 2006. / Includes bibliographical references (p. 54-55). Also available in electronic format on the Internet.

Thesis (M.Sc.) - Carleton University, 2007. / Includes bibliographical references (p. 103-106). Also available in electronic format on the Internet.

En la presente inventigación prueba resultados de buena colocación global para la ecuación de Kortewegde Vries modificada en el espacio de Sobolev H2(R) usando los argumentos probados por A. V. Famiskii y basada en los argumentos presentados por Peter E. Zhidkov. / Tesis

This investigation is devoted to the study of the Fermi-Pasta-Ulam (FPU) lattice dynamics. Approximations of the FPU lattice dynamics have been an old subject, it is believed that the stability of the FPU traveling waves depends on the stability of the KDV solitary waves. The key question is: Are the traveling waves of the FPU lattice stable if the traveling waves of KDV type equation are stable?. We consider the FPU lattice with the nonlinear potential which leads to the generalized Korteweg-de Vries (gKDV) equation, which is known to have orbitally stable traveling waves in a subcritical case and orbitally unstable traveling waves in critical and supercritical cases. In order to pursue the question asked above, we use the energy method. We establish that the H^s(R) norm of the solution of the gKDV equation is bounded by a time-independent constant in the subcritical case, whereas the H^s(R) norm grows at most exponentially in the critical and supercritical cases. With the help of these results, we extend the time scale for the approximation of the traveling waves of the FPU lattice by the traveling waves of the gKDV equation logarithmically in the subcritical case. In the critical and supercritical cases, we extend the time scale by a double-logarithmic factor. Our results show that the traveling waves of the FPU lattice are stable if the solitary waves of the gKDV equation are stable in the subcritical case. On the other hand, in the critical and supercritical cases, our results are restricted to small-norm initial data, which exclude solitary waves. / Thesis / Master of Science (MSc)

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