El marc algebraic en què es situa aquesta memòria és l'introduït per Brown i Suzko a [BS], marc que gira entorn la definició de lògica abstracta; una lògica abstracta “L” és una parella (A,C) formada per una àlgebra abstracta “A” i un sistema clausura “C” sobre A, conjunt suport d' “A”. La noció clàssica de lògica corn un conjunt de fórmules ben formades sobre les quals es té un conjunt d'axiomes i unes regles d'inferència queda així com un cas particular, prenent com “A” el conjunt de fórmules ben formades i com “C” la família de subconjunts d' “A” que contenen els axiomes i són tancats per les regles de deducció, Els elements de “C” s'anomenen tancats, si bé A. Monteiro i els seus seguidors els anomenen sistemes deductius. La noció de lògica abstracta té l'encert de tractar la part algebraica, “A”, i la part lògica, “C”, d'una lògica com un únic objecte matemàtic, i a més obre un ampli camp investigador en intentar relacionar classes de lògiques abstractes amb classes d'àlgebres. El primer treball en aquesta línia és l'estudi de la relació entre lògiques clàssiques (abstractes) i àlgebres de Boole fet per Bloom i Browm a [BSB], i a ell han seguit una llarga llista d'estudis del mateix tipus d'entre els quals cal destacar, per la seva influència sobre aquesta memòria, els realitzats per J.M. Font i V. Verdú sobre la lògica dels reticles distributius, les lògiques de De Morgan i les lògiques modals S4 i S5. L'objectiu de la present memòria, que també va en aquesta línia, és la definició i l'estudi, el més complet possible en aquesta perspectiva, d'una classe de lògiques que he anomenat lògiques modals tetravalents (LMTs). Les LMTs són un tipus de lògiques modals (amb operador modal “M”) sobre lògiques de De Morgan (i per tant tetravalorades) que mantenen una estreta relació amb la varietat de les àlgebres modals tetravalents (AMTs). La memòria està dividida en cinc capítols; el primer està dedicat a introduir la notació que es farà servir i les nocions preliminars tant d'àlgebra universal com de lògiques abstractes. Recullo sense demostració tots aquells resultats que faré servir i que apareixen en diversos articles de la bibliografia, només incloc les demostracions en algun cas on no les he trobades explicitades. En el segon capítol introdueixo la definició de AMT i enuncio les principals propietats d'aquestes àlgebres. En el tercer capítol introdueixo la noció de LQMT (no necessàriament finitària) i de LMT (finitària) generalitzant les propietats de la proposició 2.30, taI com abans he exposat. En el capítol quart estudio les lògiques sobre una àlgebra abstracta “A” projectivament generades per famílies d’homomorfismes de de la lògica formada per M(4-m) i el sistema clausura de tots els filtres. En el cinquè i últim capítol estudio les LMTs des d'una perspectiva més lògica (en contraposició a la perspectiva algebraica dels capítols anteriors). / The aim of this paper is to define and study some kind of abstract logics (we have named them tetravalent modal logics (TMLs)) which are related to the tetravalent modal algebras (TMAs). We have study the TMA from a logic perspective and we introduce the TMLs as the generalization of the logic or all filters on a TML to algebras or suitable type. With the techniques of modern algebraic logic we study the properties or TMLs and their relationship with the M(4-m) algebra, generator of the TMAs variety. This relationship will allow us lo give a semantic definition or TML; indeed, on an algebra or a suitable type, the TMLs are obtained generating projectively by suitable families of homomorphisms from the logic formed by M(4-m) and all its fillers. On the sentential algebra we define a deductive system, in the sense or Blok and Pigozzi, closely connected with the TMLs. We study the matrices, the generalized matrices and the models. We conclude proving that the TMLs are not algebraizables; thus, their study isn't a part of the general theory of Blok's and Pigozzi's aIgebraizables logics.

L'objectiu d'aquesta memòria és estudiar, classificar i caracteritzar extensions unitàries del càlcul infinitvalorat de Lukasiewicz. Per mostrar les motivacions que ens han portat a fer aquest treball remarcarem alguns resultats sobre les lògiques i els càlculs multivalorats de Lukasiewicz. Al 1918, Jan Lukasiewicz, en una conferència a la Universitat de Varsòvia, manifesta la necessitat d'obtenir una lògica, lleugerament diferent a la lògica preposicional clàssica, que admeti més de dos valors de veritat. Al 1920 introdueix la lògica trivalorada que més tard, al 1922, generalitza en definir les lògiques n- valents i la lògica infinitvalent. Totes aquestes lògiques estan definides semànticament utilitzant el mètode de les matrius.Hem optat per fer l'estudi algebíaic usant les MV-àlgebres per diverses raons. En primer lloc la presentació és més propera a la presentació clàssica de les àlgebres de Boole. En segon lloc, i tal com detallarem més endavant, les MV-àlgebres estan estretament lligades als grups reticulats abelians, la teoria dels quals ha estat àmpliament estudiada. Per altra banda, la literatura sobre MV-àlgebres és molt extensa i això, sense dubte, simplifica la tasca a l'hora d'emprar propietats de les MV-àlgebres.Finalment, voldríem remarcar que a l'hora d'estudiar quasivarietats de MV-àlgebres, hen fet servir tècniques pertanyents a matèries diferents: per exemple, per obtenir els resultats referents a les varietats hem usat resultats i nocions de Teoria de Models i Teoria de Grups; en el cas de les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples, el Teorema de McNaughton, Topologia lineal "a trossos" i Teoria de Grups; per les quasivarietats n-acotades sobretot hem usat resultats de la pròpia Teoria de MV-àlgebres i d'Àlgebra Universal; i per les quasivarietats congruent distributives Àlgebra Universal i Teoria de Grups Totalment Ordenats.Hem dividit la memòria en quatre parts: Hi ha una primera part de preliminars que inclou un capítol dedicat a Àlgebra Universal i Lògica Algebraica, on el lector no familiaritzat amb aquestes dues matèries hi trobarà algunes nocions i resultats necessaris per seguir aquest treball. El segon capítol està dedicat als càlculs multivalorats de Lukasiewicz. La segona part de la tesi està dedicada íntegrament a les MV-àlgebres. Elcapítol 3 conté la teoria general de MV-àlgebres: àlgebres equivalents, ordre natural, aritmètica, teorema de representació, etc. No es tracta d'un estudi exhaustiu, sinó més aviat d'un recull de nocions i resultats necessaris per l'elaboració de la memòria. Un tractament a part mereix la relació entre els grups abelians reticulats i les MV-àlgebres. En el capítol 4, recordem l'equivalència functorial entre la categoria de les MV-àlgebres i la categoria dels grups abelians reticulats amb unitat forta definida a partir del functor F de Mundici. Al final d'aquesta secció, obtenim els primers resultats originals que ens asseguren, sota certescondicions, la distributivitat dels productes reduïts i ultraproductes respecte de la transformació F i que usarem sovint al llarg del treball.El capítol 5 està dedicat a les MV-cadenes. La importància d'aquestes ve donada pel fet que tota MV-àlgebra és representable com a producte subdirecte de MV-cadenes (teorema 3.30) i que la classe de les MV-cadenes és la classe de les MV-àlgebres finitament subdirectament irreductibles (corol·lari 3.31). La tercera part és la més extensa i la principal de la memòria. Està dedicada a l'estudi de les quasivarietats de MV-àlgebres. En el capítol 6, tractem les varietats i repassem de quina manera havien estat abordades anteriorment. En el capítol 7, estudiem les quasivarietats generades per MV-àlgebres simples. En el capítol 8, tractem les quasivarietats n-acotades, on demostrem que coincideixen amb les quasivarietats de MV-àlgebres localment finites (teorema 8.7). En el capítol 9, estudiem les quasivarietats congruent distributives. En el capítol 10, estudiem les propietats (R)CEP i EDPC(R) en les quasivarietats tractades. Fem un esquema de les relacions que hi ha entre els diversos tipus de quasivarietats que hem estudiat i finalment, com a resum, donem una taula classificatòria de les seves propietats. .La quarta part és la darrera i conté les conclusions d'aquest treball. En el capítol 11, a partir de la teoria d'algebrització de. sistemes deductius traduïm els resultats algebrals de les quasivarietats estudiades a propietats lògiques. Finalment, a tall d'apèndix, enunciem alguns dels problemes que resten encara oberts i que tenim la intenció d'estudiar en el futur.

El presente trabajo fue iniciado como un estudio de las negaciones utilizadas en las diversas lógicas, tema que fue motivado por los trabajos que sobre lógica algebraica vienen desarrollándose en el departamento de Estadística. Partimos de la definición de negación dada por el profesor F. de A. Sales Vallés, que es una aplicación entre ordenados y, en especial, entre retículos, que cumple las condiciones máximas posibles de forma que las negaciones utilizadas en las distintas lógicas sean casos particulares de la definición dada. Dichas negaciones han sido objeto, anteriormente a esta memoria, de varios trabajos de los que se han publicado los del profesor F. de A. Sales Vallés, el de J. Pla y el de F. Esteva.La presente memoria parte de estos trabajos y se dedica al estudio de las negaciones en los retículos completos. En resumen, los resultados que se obtienen son los siguientes:En el capítulo 1 se parte de que la imagen por una negación de un retículo completo es un inf-semirretículo completo que contiene al máximo, y se estudia si, dado cualquier inf-semirretículo que contiene al máximo, existe siempre una negación que lo tenga por imagen. La respuesta es negativa, y se dan condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación entre negaciones e inf-semirret!oulos completos que contienen al máximo, sea inyectiva, exhaustiva o biyectiva. As! se ve que esta aplicación es una biyección si, y sólo si, el retículo es una cadena finita.En el capítulo 2 se estudia el conjunto N(L) de todas las negaciones que pueden definirse en un retículo completo. En el apartado 1 se demuestra que N(L) es un retículo completo. En el apartado 2 se dan condiciones, unas necesarias y otras suficientes, para que dicho retículo sea distributivo e infinitamente distributivo. En el apartado 3 se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que el retículo sea un álgebra de Boole es que sea atómica, resultado que se completa en el apartado 4 al demostrar que toda álgebra de Boole de negaciones es atómica, así como al hallar la posición ocupada por la complementación del álgebra de Boole en el retículo de las negaciones. Por último, en el apartado. 5 se halla una aplicación entre un álgebra de Boole y el retículo de sus negaciones que es un monomorfismo reticular, y que nos permite, por tanto, sumergir toda álgebra de Boole completa en el retículo de sus negaciones.En el capítulo 3 se recogen y completan diversos resultados hallados en los capítulos anteriores sobre las negaciones en las cadenas completas. Así, en el cap. 2 se da una regla para construir el supremo de dos negaciones y en este capítulo se demuestra que sólo es válida para hallar el supremo de familias finitas de negaciones. También en el cap. 2 se demuestra que si un retículo es completo, atómico y distributivo, el retículo de sus negaciones es distributivo, y en el cap. 3 al demostrar que el retículo de las negaciones de una cadena completa es siempre distributivo, se prueba que la condición dada en el cap. 2 es sólo suficiente.Por último, en una nota se da una demostración del conocido teorema de completación de Mac Neille en el caso de cadenas, utilizando los retículos de negaciones.

Aquesta tesi té tres objectius. En primer lloc, estudiem generalitzacions de la jerarquia no ample relatives a una família de tipus parcials. Aquestes jerarquies en permeten classificar la complexitat del “forking” respecte a una família de tipus parcials. Si considerem la família de tipus algebraics, aquestes generalitzacions corresponen a la jerarquia ordinària, on el primer i el segon nivell corresponen a one-basedness i a CM-trivialitat, respectivament. Fixada la família de tipus regulars “no one-based”, el primer nivell d'una d'aquestes possibles jerarquies no ample ens diu que el tipus de la base canònica sobre una realització és analitzable en la família. Demostrem que tota teoria simple amb suficients tipus regulars pertany al primer nivell de la jerarquia dèbil relativa a la família de tipus regulars no one-based. Aquest resultat generalitza una versió dèbil de la “Canonical Base Property” estudiada per Chatzidakis i Pillay. En segon lloc, discutim problemes d'eliminació de hiperimaginaris assumint que la teoria és CM-trivial, en tal cas la independència del “forking” té un bon comportament. Més concretament, demostrem que tota teoria simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris si elimina els hiperimaginaris finitaris. En particular, tota teoria petita simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris. Cal remarcar que totes les teories omega-categòriques simples que es coneixen són CM-trivials; en particular, aquelles teories obtingudes mitjançant una construcció de Hrushovski. Finalment, tractem problemes de classificació en les teories simples. Estudiem la classe de les teories simples baixes; classe que inclou les teories estables i les teories supersimples de D-rang finit. Demostrem que les teories simples amb pes finit acotat també pertanyen a aquesta classe. A més, provem que tota teoria omega-categòrica simple CM-trivial és baixa. Aquest darrer fet resol parcialment una pregunta formulada per Casanovas i Wagner. / The development of first-order stable theories required two crucial abstract notions: forking independence, and the related notion of canonical base. Forking independence generalizes the linear independence in vector spaces and the algebraic independence in algebraically closed fields. On the other hand, the concept of canonical base generalizes the field of definition of an algebraic variety. The general theory of independence adapted to simple theories, a class of first-order theories which includes all stable theories and other interesting examples such as algebraically closed fields with an automorphism and the random graph. Nevertheless, in order to obtain canonical bases for simple theories, the model-theoretic development of hyperimaginaries --equivalence classes of arbitrary tuple modulo a type-definable (without parameters) equivalence relation-- was required. In the present thesis we deal with topics around the geometry of forking in simple theories. Our first goal is to study generalizations of the non ample hierarchy which will code the complexity of forking with respect to a family of partial types. We introduce two hierarchies: the non (weak) ample hierarchy with respect to a fixed family of partial types. If we work with respect to the family of bounded types, these generalizations correspond to the ordinary non ample hierarchy. Recall that in the ordinary non ample hierarchy the first and the second level correspond to one-basedness and CM-triviality, respectively. The first level of the non weak ample hierarchy with respect to some fixed family of partial types states that the type of the canonical base over a realization is analysable in the family. Considering the family of regular non one-based types, the first level of the non weak ample hierarchy corresponds to the weak version of the Canonical Base Property studied by Chatzidakis and Pillay. We generalize Chatzidakis' result showing that in any simple theory with enough regular types, the canonical base of a type over a realization is analysable in the family of regular non one-based types. We hope that this result can be useful for the applications; for instance, the Canonical Base Property plays an essential role in the proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero and Manin-Mumford due to Hrushovski. Our second aim is to use combinatorial properties of forking independence to solve elimination of hyperimaginaries problems. For this we assume the theory to be simple and CM-trivial. This implies that the forking independence is well-behaved. Our goal is to prove that any simple CM-trivial theory which eliminates finitary hyperimaginaries --hyperimaginaries which are definable over a finite tuple-- eliminates all hyperimaginaries. Using a result due to Kim, small simple CM-trivial theories eliminate hyperimaginaries. It is worth mentioning that all currently known omega-categorical simple theories are CM-trivial, even those obtained by an ab initio Hrushovski construction. To conclude, we study a classification problem inside simple theories. We study the class of simple low theories, which includes all stable theories and supersimple theories of finite D-rank. In addition, we prove that it also includes the class of simple theories of bounded finite weight. Moreover, we partially solve a question posed by Casanovas and Wagner: Are all omega-categorical simple theories low? We solve affirmatively this question under the assumption of CM-triviality. In fact, our proof exemplifies that the geometry of forking independence in a possible counterexample cannot come from finite sets.