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In this thesis we study subalgebras in free nilpotent and polynilpotent Lie algebras. Chapter 1 sets up the notation and includes definitions and elementary properties of free and certain reduced free Lie algebras that we use throughout this thesis. We also describe a Hall basis of a free Lie algebra as in [4] and a basis for a free polynilpotent Lie algebra which was developed in [24]. In Chapter 2 we first consider the class of nilpotency of subalbebras of free nilpotent Lie algebras starting with two-generator subalgebras. Then we study those subalgebras in a free nilpotent Lie algebra which, are themselves free nilpotent. We give necessary and sufficient conditions in the case of two-generator subalgebras. Chapter 3 extends the results obtained in Chapter 2 to the polynilpotent case. First we look at two-generator subalgebras of a free polynilpotent Lie algebra. Then we consider more general subalgebras. Finally we study those subalgebras which are themselves free polynilpotent and give necessary and sufficient conditions for two-generator subalgebras to be free polynilpotent. In Chapter 4 we first study certain properties of ideals in free, free nilpotent and free polynilpotent Lie algebras and establish the fact that in a free polynilpotent Lie algebra a nonzero ideal which is finitely-generated as a subalgebra must be equal to the whole algebra. Then we consider the quotient Lie algebra of a lower central term of a free Lie algebra by a term of the lower central series of an ideal. We then generalize the results to cover the free nilpotent and free polynilpotent cases. In the last section of Chapter 4 we consider ideals of free nilpotent (and later polynilpotent) Lie algebras as free nilpotent (polynilpotent) subalgebras and establish the fact that in most non-trivial cases such an ideal cannot be free nilpotent (polynilpotent). In the last chapter we consider the m+k-th term of the lower central series of a free Lie algebra as a subalgebra of the m-th term for m ⩽ k and generalize the results proved in [25]. We give reasons for the failure of these results in the case m > k.

Baseado no artigo Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), demonstramos uma expressão para a curvatura seccional em Grupos de Lie com métrica invariante a esquerda e um teorema de caracterização dos Grupos de Lie com curvatura zero. / Based on the paper Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), we show a formula for seccional curvature on Lie Groups with left invariant metric and we describe at Lie Groups.

The purpose of this paper is to introduce the reader to Lie algebras and representation theory.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2017-04-12T21:52:26Z No. of bitstreams: 1 2016_OttoAugustodeMoraisCosta.pdf: 763428 bytes, checksum: 2ce046a02e4bd46358a4d5d3ee88ba15 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-04-12T21:53:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_OttoAugustodeMoraisCosta.pdf: 763428 bytes, checksum: 2ce046a02e4bd46358a4d5d3ee88ba15 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-12T21:53:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_OttoAugustodeMoraisCosta.pdf: 763428 bytes, checksum: 2ce046a02e4bd46358a4d5d3ee88ba15 (MD5) / Os grupos de Grigorchuk e Gupta-Sidkides empenham um papel fundamental na teoria de grupos moderna, pois são exemplos naturais de grupos periódicos finitamente gerados autos similares. Neste trabalho, construímos exemplos análogos aos grupos referidos no campo das super álgebras de Lie. Em 2006, Petrogradsky construiu exemplos análogos para álgebras de Lie restritas em característica 2.Shestakov e Zelmanov estenderam essa contrução para característica positiva arbitrária, dando um exemplo de algebra de Lie restrita finitamente gerada com p-aplicação nil. Martinez e Zelmanov provaram que, sobre um corpo de característica zero, não é possível construir exemplos de algebras de Lie análogas aos grupos de Grigorchuk. Neste trabalho, mostramos que a extensão desse resultado para super álgebras de Lie em característica zero não é válida. Em qualquer característica, construímos uma superálgebra de Lie R com as seguintes propriedades.R tem uma Z²- graduação apropriada tal que todo elemento homogêneo é ad-nilpotente. Além disso, R tem crescimento linear e sua envoltória associativa tem crescimento quadrático. Para uma característica positiva arbitrária p, construímos também exemplos de álgebras de Lie restritas fractais de crescimento linear cujas envoltórias associativas possuem crescimento quadrático. / The Grigorchuk and Gupta-Sidki groups play fundamental role in modern group theory because they are natural examples of self-similar finitely generated periodic groups. In this work we construct their analogue in the world of Lie superalgebras. In 2006, Petrogradsky made an analogous construction for restricted Lie algebras in characteristic 2. Next, Shestakov and Zelmanov extended this construction to an arbitrary positive characteristic, giving an example of finitely generated restricted Lie algebra with a nil p-mapping. Martinez and Zelmanov proved that similar examples do not exist for Lie algebras in characteristic zero. In this work we show that an extension of this result for Lie superalgebras in characteristic zero is not valid. Namely, we construct a Lie superalgebraR with the following properties. We prove thatR has a fine Z²-gradation and it is nil graded. Furthermore, R has linear growth and their associative hulls have quadratic growth. For an arbitrary positive characteristic p, we also construct examples of fractal restricted Lie algebras. These algebras have linear growth and its associative hull has quadratic growth.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-12-14T14:55:31Z No. of bitstreams: 1 2016_SilvioSandroAlvesdeMacedo.pdf: 979821 bytes, checksum: d85c62fe5d0cd1fc78b91d331a722999 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-01-11T20:56:57Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_SilvioSandroAlvesdeMacedo.pdf: 979821 bytes, checksum: d85c62fe5d0cd1fc78b91d331a722999 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-01-11T20:56:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_SilvioSandroAlvesdeMacedo.pdf: 979821 bytes, checksum: d85c62fe5d0cd1fc78b91d331a722999 (MD5) / Nesta tese estudamos os polinômios centrais de algumas álgebras associativas Lie nilpotentes universais. Elas são definidas por Qn = FhXi=T(n) (e também são conhecidas como álgebras associativas Lie nilpotentes relativamente livres) onde F _e um corpo, FhXi _e a álgebra associativa livre unitária, livremente gerada pelo conjunto enumerável X = fx0;x1;x2; : : :g e T(n) é o ideal bilateral de FhXi gerado pelos comutadores [a1; : : : ;an], ai 2 FhXi. O nosso primeiro resultado principal _e uma descrição dos polinômios centrais da álgebra Q4 quando char(F) = 3. Nosso segundo resultado principal _e uma descrição dos polinômios centrais da álgebra Q4 quando char(F)=2. Os polinômios centrais da F-álgebra Q4 quando char(F) 6= 2;3 foram descritos por Grishin (2012). Se char(F) 6= 3, então [x1;x2][x3;x4;x5] pertence a T(4) (Volichenko, 1978). Isso implica que a imagem de T(3) em Q4 _e central nessa álgebra, o que permite reduzir o problema da descrição dos polinômios centrais da álgebra Q4 para um problema sobre elementos da álgebra Q3. Porém, se char(F)=3, então [x1;x2][x3;x4;x5] não pertence a T(4) (Krasilnikov, 2013). Por essa razão, a descrição dos polinômios centrais da F-álgebra Q4 quando char(F) = 3 _e mais sofisticada do que quando char(F) 6= 3. Se char(F) = 2, então x2 0+T(4) não _e central em Q4. Isso implica que a descri_cão dos polinômios centrais de Q4 _e ligeiramente diferente do caso de char(F) 6= 2;3. O nosso terceiro resultado principal _e uma descrição dos geradores da álgebra Q4 como espaço vetorial quando char(F) > 3. Esse resultado _e uma generalização do resultado de Grishin. Também obtivemos uma descrição dos polinômios hipercentrais das álgebras Q4 e Q5. Um polinômio hipercentral _e uma generalização de polinômio central. Essa generalização foi introduzida por Laue (1984). _________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this PhD thesis we study the central polinomials of some universal Lie nilpotent associative algebras. They are de_ned by Qn = FhXi=T(n) (and also are called relatively free Lie nilpotent associative algebras) where F is a _eld, FhXi is the free unital associative algebra freely generated by the in_nite countable set X = fx0;x1;x2; : : :g and T(n) is the two-sided ideal of FhXi generated by the commutators [a1; : : : ;an], ai 2 FhXi. Our _rst main result is a description of the central polynomials of the algebra Q4 when char(F) = 3. Our second main result is a description of the central polynomials of the algebra Q4 when char(F)=2. The central polynomials of the F-algebra Q4 when char(F) 6= 2;3 have been described by Grishin (2012). If char(F) 6= 3, then [x1;x2][x3;x4;x5] belongs to T(4) (Volichenko, 1978). This implies that the image of T(3) in Q4 is central in this algebra that allows us to reduce the problem of description of the central polynomials of the algebra Q4 to a problem about elements of the algebra Q3. However, if char(F) = 3, then [x1;x2][x3;x4;x5] does not belong to T(4) (Krasilnikov, 2013). For this reason the description of the central polynomials of the F-algebra Q4 when char(F) = 3 is more sophisticated than in the case when char(F) 6= 3. If char(F) = 2, then x2 0 +T(4) is not central in Q4. This implies that the description of the central polynomials of Q4 is slightly di_erent from the case char(F) 6=2;3. Our third main result is a description of generators of the algebra Q4 as a vector space when char(F) > 3. This result is a generalization of result of Grishin's result. We also obtain a description of the hipercentral polynomials of the algebras Q4 and Q5. A hipercentral polynomial is a generalization of a central polynomial. This generalization was introduced by Laue (1984).

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Camila Duarte (camiladias@bce.unb.br) on 2017-01-30T13:32:25Z No. of bitstreams: 1 2016_ClaudWagnerGonçalvesDiasJúnior.pdf: 2990416 bytes, checksum: 3698eda2b6ac5cd396849465bdcc9c21 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-02-14T20:04:41Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_ClaudWagnerGonçalvesDiasJúnior.pdf: 2990416 bytes, checksum: 3698eda2b6ac5cd396849465bdcc9c21 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-14T20:04:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_ClaudWagnerGonçalvesDiasJúnior.pdf: 2990416 bytes, checksum: 3698eda2b6ac5cd396849465bdcc9c21 (MD5) / Seja A uma álgebra associativa unitária sobre um anel associativo, comutativo e unitário k . Defina o comutador normado à esquerda [a1, a2,..., an] (ai ϵ A) indutivamente por [a1, a2]=a1a2-a2a1; [a1, a2,..., an]=[[a1, ...an-1]. Para n ≥2, seja T(n) (A) o ideal bilateral de A gerado pelos comutadores [a1, a2,..., an] (ai Є A). Seja ɛ={e1, e2,...} um conjunto gerador da álgebra A. A primeira parte desta tese diz respeito aos elementos que geram T(n) (A) como um ideal bilateral em A. O objetivo principal dessa parte consiste em mostrar que 1. Se 1/(6 ) ∈k, então T(n) (A) é gerado como ideal bilateral pelos comutadores [u1, ..., un] em que u_i ε∪ ε^2. Se 1/(3 ) ∈k , então T(n) (A) é gerado como ideal bilateral pelos comutadores [u1, ..., un] em que u_i ∈ε∪ ε^2∪ε^3. Aqui ε^(k ) (k≥1) denota o conjunto dos elementos de A da forma ei1 ei2...eik ∈ ε. Para isso, em um primeiro momento, será descrito um método recursivo que permite obter um conjunto de geradores para o ideal T (n) (A) (n≥3), como ideal bilateral em A , a partir dos geradores de T (n-2) (A) . A demonstração dos itens 1 e 2 acima é feita com base nesse resultado. Seja Z <X> a álgebra unitária associativa livre sobre Z no conjunto X= {x1,x2...}. Considere sua série central inferior como álgebra de Lie, isto é, a série dos ideais de Lie L(i)= Z <X> definido recursivamente por L^((1),)=z<X>,L^((i+1) )=[L^((i) ),Z<x>], e a correspondente álgebra de Lie graduada associada B: i≥1Bi=L(i)/L(i+1). A segunda parte desta tese diz respeito a série central inferior de X Z . É bem conhecido que a imagem J de T(3) (Z<X>) em B1 é central na álgebra de Lie B. Além disso, sabe-se que o isolador de J é maior que J . O objetivo principal da segunda parte desta tese é mostrar que o isolador de J está contido no centro de B. / Let A be an associative unitary algebra over a commutative, associative and unitary ring K. De_ne a left-normed commutator [a1, a2,..., an] (ai ϵ A) inductively by [a1, a2]=a1a2-a2a1; [a1, a2,..., an]=[[a1, ...an-1]. For n ≥2, let T(n) (A) be the two-sided ideal in A generated by all commutators [a1, a2,..., an] (ai Є A). Let ɛ={e1, e2,...} be a generating set of algebra A. The _rst part of this thesis concerns with the elements that generateT(n) (A) as two-sided ideal in A. The main purpose of the _rst part of this thesis is to show that 1. If 1/(6 ) ∈k, then T(n) (A) is generated as two-sided ideal by the commutators [u1, ..., un] where u_i ε∪ ε^2. 2. If 1/(3 ) ∈k , then T(n) (A) is generated as two-sided ideal by the commutators [u1, ..., un] where u_i ∈ε∪ ε^2∪ε^3. Here ε^(k ) (k≥1) denotes the set of elements of the form ei1 ei2...eik ∈ ε. For this, at _rst, we describe a recursive method which allows us to obtain a set of generators for the ideal T (n) (A) (n≥3), as a two-sided ideal in A from generators of the ideal T (n-2) (A) . The proof of the items 1 and 2 above is based on this result. Let Z <X> be the free unitary associative algebra over a Z on the set X= {x1,x2...}. Consider its lower central series as a Lie algebra, i.e., the series of the Lie ideal L(i)= Z <X> de_ned recursively by L^((1),)=z<X>,L^((i+1) )=[L^((i) ),Z<x>], and the corresponding associated graded Lie algebra: i≥1Bi=L(i)/L(i+1). The second part of this thesis concerns with the lower central series of X Z . It is well-known that the image J de T(3) (Z<X>) in B1 is central in the Lie algebra B. Furthermore, it is known that the isolator of J is greater than I. The main purpose of the second part of this thesis is to show that the isolator of J is contained in the center of B.

Baseado no artigo Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), demonstramos uma expressão para a curvatura seccional em Grupos de Lie com métrica invariante a esquerda e um teorema de caracterização dos Grupos de Lie com curvatura zero. / Based on the paper Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), we show a formula for seccional curvature on Lie Groups with left invariant metric and we describe at Lie Groups.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2012. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2013-02-07T13:02:33Z No. of bitstreams: 1 2012_AndreCaldasSouza.pdf: 3607084 bytes, checksum: 2975fad6876e07f1bcad5425024218bf (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2013-02-07T14:29:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_AndreCaldasSouza.pdf: 3607084 bytes, checksum: 2975fad6876e07f1bcad5425024218bf (MD5) / Made available in DSpace on 2013-02-07T14:29:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_AndreCaldasSouza.pdf: 3607084 bytes, checksum: 2975fad6876e07f1bcad5425024218bf (MD5) / Na presente tese, estendemos para sistemas dinâmicos não-compactos, o conceito de entropia topológica formulado por Adler, Konheim e McAndrew. Estendemos o princípio variacional, que relaciona as entropias topológica, de Kolmogorov-Sinai, e de Bowen, Na presente tese, estendemos para sistemas dinâmicos não-compactos, o conceito de entropia topológica formulado por Adler, Konheim e McAndrew. Estendemos o princípio variacional, que relaciona as entropias topológica, de Kolmogorov-Sinai, e de Bowen, demonstrando que para todo sistema dinâmico contínuo T : X ? X, toda medida de Radon ?, e toda métrica d compatível com a topologia de X, h? (T) ? h (T) ? hd (T). Mostramos também que vale a igualdade sup h? (T) = h (T) = min hd (T) para uma classe de aplicações contínuas, definidas sobre o produto enumerável de espaços localmente compactos separáveis que chamamos de sistemas dinâmicos do tipo produto. Esta classe inclui aplicações contínuas quaisquer definidas em espaços localmente compactos separáveis, generalizando resultados de [HKR95] e [Pat10]. Na segunda parte, utilizamos o princípio variacional para mostrar que para um endomorfismo sobrejetivo ? : G ? G de um grupo de Lie G nilpotente ou redutível, a entropia topológica de ? coincide com a entropia de ? restrita ao maior subgrupo compacto e conexo do centro de G, T(G). Ou seja, h(?) = h(?|T(G)) , generalizando o resultado em [Pat10]. ______________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this thesis, we extend for non-compact dynamical systems the concept of topological entropy formulated by Adler, Konheim e McAndrew. We extend the variational principle, that relates the topological entropy, the Kolmogorov-Sinai entropy and the Bowen entropy, showing that for every continuous system T : X ? X, every Radon measure ?, and every metric d compatible with the topology of X, h? (T) ? h (T) ? hd (T). We also show that the equality suph h? (T) = h (T) = min hd (T) holds for a class of continuous systems de ned over the countable product of locally compact separable spaces that we have called product type dynamical system. This class contains the continuous applications de ned over locally compact separable spaces, generalizing the results in [HKR95] and [Pat10]. In the second part, we use the variational principle to show that for a surjective endomorphism ? : G ? G of a nilpotent or reducible Lie group G, the topological entropy of is equal to the topological entropy of restricted to the maximal connected and compact subgroup of the center of G. That is, h(?) = h(?|T(G)), generalizing the result in [Pat10].

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2008. / Submitted by Suelen Silva dos Santos (suelenunb@yahoo.com.br) on 2010-02-26T15:43:28Z No. of bitstreams: 1 Dissert_Lindemberg Massa.pdf: 388806 bytes, checksum: ee017b1c423b81da26fd676a1a898c4d (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2010-02-27T00:12:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissert_Lindemberg Massa.pdf: 388806 bytes, checksum: ee017b1c423b81da26fd676a1a898c4d (MD5) / Made available in DSpace on 2010-02-27T00:12:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissert_Lindemberg Massa.pdf: 388806 bytes, checksum: ee017b1c423b81da26fd676a1a898c4d (MD5) Previous issue date: 2008 / O tema principal deste trabalho é a chamada aplicação de Gauss em um grupo de Lie G munido de uma métrica bi-invariante. Em particular, com base em, Espirito Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, apresentamos uma versão para hipersuperfícies orientadas imersas em G do teorema de Ruh-Vilms sobre a harmonicidade da aplicação de Gauss. Seguindo Masal'tsev, fazemos um estudo detalhado sobre o caso particular importante em que G é a esfera tridimensional S3, munida da métrica canônica, e, inspirados em Urbano e Castro, relacionamos via aplicação de Gauss, superfícies mínimas em S3 com superfícies mínimas lagrangeanas no produto de esferas S2 XS2 munido com a métrica produto canônica. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main theme of this work is the so-called Gauss map in a Lie group G with a bi-invariant metric. In particular, based in Espirito Santo, Fornari, Frensel, Ripoll, we present a version for oriented hypersurfaces immersed in G of the Ruh-Vilms theorem about the harmonicity of the Gauss map. Following Masal'tsev, we also treat in detail the important special case where G is the three-dimensional sphere S3, with the canonical metric, and relate, inspired by Urbano e Castro, using the Gauss map, minimal surfaces in S3 with minimal Lagrangian surfaces in the product of spheres S2 XS2 whith the canonical product metric.