La thèse porte essentiellement sur la stabilisation indirecte de certains systèmes d’équations couplées moyennant un seul contrôle agissant localement à l’intérieur ou sur le bord du domaine. La nature du système ainsi couplé dépend du couplage des équations et du type de l’amortissement, et ceci donne divers résultats de stabilisation (exponentielle ou polynômiale) des systèmes étudiés. D’abord, dans le cas de la stabilisation d’un système de Bresse formé de trois équations d’ondes couplées, un amortissement local de type chaleur est appliqué à une seule équation. Par une méthode fréquentielle combinée avec une méthode de multiplicateurs par morceau la décroissance exponentielle de l’énergie du système est établie sous la condition d’égalité de vitesses de propagation des ondes. Dans le cas contraire, une décroissance polynomiale est assurée. Ensuite, un système de deux équations d’ondes couplées sous l’effet d’un seul amortissement frontière appliqué à une seule équation est considéré. Dans ce cas, la stabilité du système est influencée par la nature algébrique du terme de couplage ainsi que par la nature arithmétique du quotient de vitesses de propagation des ondes. Par conséquence, différents résultats de stabilité exponentielle ou polynomiale sont établis. Une étude spectrale conduit à l’optimalité des résultats obtenus. Finalement, dans le cas de la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées, un amortissement localement distribué de type Kelvin-Voight est appliqué à une seule équation. D’abord, d’après un théorème de Hormander, un résultat d’unicité est montré et par conséquent la stabilité forte du système est assurée. Ensuite, une décroissance polynomiale de l’énergie du système est établie. / Résumé en anglais non disponible

L’étude analytique proposée porte sur le comportement en vibration de nanotubes de carbone et de nanoplaques de graphène. Pour ce faire, il s’agira dans un premier temps d’étudier les traditionnelles théories de Bresse-Timoshenko pour les poutres et de Uflyand-Mindlin pour les plaques. Des modèles de cisaillement alternatifs sont développés, notamment basés sur des approches asymptotiques issues du milieu élastique tri-dimensionnel. Les interactions interatomiques, ne pouvant pas être négligées à une échelle nanoscopique, seront ensuite prises en compte dans les modèles à travers la présence de paramètres non locaux. Ainsi, différentes approches continues seront considérées : phénoménologiques, asymptotiques et continualisées. Ce dernier type d’approche est récent et est basé sur le développement de modèles continus à partir des équations discrètes de poutres et plaques épaisses et de l’utilisation des approximants de Padé et des développements en séries de Taylor. Pour chaque modèle développé au cours de cette étude, les fréquences propres seront déterminées pour différentes conditions aux limites. Il s’agira ainsi de définir le meilleur cadre pour l’utilisation de chaque modèle et de déterminer l’éventuelle supériorité d’un modèle sur les autres. / This thesis deals with the analytical study of vibration of carbon nanotubes and graphene plates. First, a brief overview of the traditional Bresse-Timoshenko models for thick beams and Uflyand- Mindlin models for thick plates will be conducted. It has been shown in the literature that the conventionally utilized mechanical models models overcorrect the shear effect and that of rotary inertia. To improve the situation, two alternative versions of theories of beams and plates are proposed. The first one is derived through the use of equilibrium equations and leads to a truncated governing differential equation in displacement. It is shown, by considering a power series expansion of the displacement, that this is asymptotically consistent at the second order. The second theory is based on slope inertia and results in the truncated equation with an additional sixth order derivative term. Then, these theories will be extended in order to take into account some scale effects such as interatomic interactions that cannot be neglected for nanomaterials. Thus, different approaches will be considered: phenomenological, asymptotic and continualized. The basic principle of continualized models is to build continuous equations starting from discrete equations and by using Taylor series expansions or Padé approximants. For each of the different models derived in this study, the natural frequencies will be determined, analytically when the closed-form solution is available, numerically when the solution is given through a characteristic equation. The objective of this work is to compare the models and to establish the eventual superiority of a model on others.

Cette thèse est constituée de deux parties principales. Dans la première partie on traite l'observabilité et la contrôlabilité exacte internes indirectes des systèmes hyperboliques faiblement couplés et du système de Timoshenko. La deuxième partie est consacrée à l'étude de problèmes concernant la stabilisation directe du système de Bresse par des feedbacks non linéaires en utilisant la méthode des multiplicateurs et des techniques d'inégalités intégrales, et sa stabilisation indirecte seulement par deux feedbacks localement distribués au voisinage du bord en utilisant l'approche de fréquence de domaine. On traite dans cette partie aussi la stabilisation indirecte du système de Timoshenko dans le cas d'un seul feedback localement distribué au voisinage du bord / This thesis consists of two main parts. In the fi#rst part, it treats the indirect internal observability and exact controllability of a weakly coupled hyperbolic system and of the Timoshenko system. The second part is devoted to the study of problems concerning the direct stabilization of the Bresse system by non-linear feedbacks using multiplier method and integral inequality techniques, and its indirect stabilization only by two locally distributed feedbacks at the neighborhood of the boundary using the frequency domain method. Is treated in this part also the indirect stabilization of the Timoshenko system subject to a single feedback locally distributed at the neighborhood of the boundary

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Made available in DSpace on 2015-03-04T18:57:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dilberto.pdf: 3192288 bytes, checksum: c781d5e4d13d5a0028c8c410967fe213 (MD5) Previous issue date: 2009-08-14 / Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior / In this thesis we study models of plane beams governed by Timoshenko s hypothesis and models of curved beams governed by Bresse s hypothesis in the presence of dissipative mechanism, which act partially on the rotation function in the transverse section or on the transverse displacement ones. We realize an analytic study of these models and we show they are exponentially stable, if and only if, the velocities of wave propagations are equal. Such result is more interesting on the point of mathematical view whereas in the practice the velocities of wave propagations are never equal. We study in the general case the polynomial stability property and we show the dissipative systems are stable and, in these situations, the decay rate can be improved according to the regularity of the initial data. In the specific cases of the models of curved beams, the differential factor is in the mathematical techniques we use, which they are much more sophisticated. Finally we realize a numerical study of the dissipative models using semi-discrete and totally discrete models in finite differences, purposing to avoid the problem of shear locking and to we confirm the theoretical results developed here. / Neste trabalho estudamos modelos de vigas planas governados pelas hipóteses de Timoshenko e modelos de vigas curvas governados pelas hipóteses de Bresse, na presença de mecanismos dissipativos atuando parcialmente, quer sobre a função de rotação na seção transversal ou sobre a função de deslocamento transversal. Desenvolvemos um estudo analítico desses modelos e mostramos que eles são exponencialmente estáveis se, e somente se, as velocidades de propagações de ondas são iguais. Este resultado é interessante do ponto de vista matemático, visto que na prática as velocidades de propagações de ondas nunca são iguais. No caso geral, estudamos a propriedade de estabilidade polinomial e mostramos que os sistemas dissipativos são polinomialmente estáveis, com taxas de decaimento que podem ser melhoradas de acordo com a regularidade dos dados iniciais. Nos casos específficos dos modelos de vigas curvas, o fator diferencial reside nas técnicas matemáticas que aplicamos, as quais são muito mais sofisticadas. Finalmente realizamos um estudo numérico dos modelos dissipativos usando modelos semidiscretos e totalmente discretos em diferenças finitas, com a preocupação de se evitar o problema de trancamento no cortante e para comprovarmos os resultados teóricos desenvolvidos nesta tese.