Métodos de Lagrangianos aumentados são muito utilizados para resolver problemas de minimização de funções sujeitas a restrições gerais. Em particular, estudamos um método de Lagrangianos aumentados que utiliza a função PHR, implementado em ALGENCAN, e observamos seu comportamento quando o aplicamos na resolução de um problema encontrado na área de Computação Gráfica. O problema estudado é um problema encontrado na geração de malhas de superfícies, na etapa de pós-processamento, para o qual propomos uma técnica de otimização visando a melhoria dos elementos da malha. Quando se trata de geração de malhas de superfícies em \'R POT. 3\', parametrizações de malhas triângulares que representam superfícies são usadas em muitas aplicações de processamento de malhas para vários fins. Muitas vezes é necessário preservar a métrica da superfície e, assim, minimizar a deformação do ângulo e da área. A técnica que propomos de otimização visa melhorar as distorções de ângulos e áreas impostas por uma parametrização. Para verificar o comportamento da técnica proposta, implementamo-na em C++ e utilizamos algumas malhas de modelos clássicos da literatura para realizar os experimentos numéricos. Os resultados obtidos foram promissores / Augmented Lagrangian methods are frequently used to solve minimization problems subject to general constraints. In particular, we study an augmented Lagrangian method that uses the PHR function, implemented in ALGENCAN, and observe its behavior when applied to solve a problem found in the field of Computer Graphics. The problem we will study and solve is found in the post-processing stage of the surface mesh generation, for which we propose an optimization technique to improve the mesh elements. When it comes to meshing surfaces in \'R POT..3\', triangular meshes parametrizations are widely used in applications of mesh processing. It is often necessary to preserve the surface metric and, thus, minimize the angle and area deformation. The optimization technique we propose aims to improve the distortions imposed by a parametrization onto angles and areas. To assert the efectiveness of the proposed technique, we implemented it in C++ language and used some classic mesh models from the literature to performe numerical experiments. The results were promising

Neste trabalho, consideramos uma nova parametrização para o problema de empacotar a maior quantidade possível de círculos idênticos uma região elíptica dada. Apresentamos algoritmos com propriedades de convergência global e algumas estratégias heurísticas. Ilustramos com experimentos numéricos extensivos cada uma das estratégias utilizadas / In this work we consider a new parametrization for the problem of packing the maximum number of identical circles within a given elliptical region. We present algorithms with global convergence properties and some heuristic strategies. We illustrate each described strategy with extensive numerical experiments

Métodos de Lagrangianos aumentados são muito utilizados para resolver problemas de minimização de funções sujeitas a restrições gerais. Em particular, estudamos um método de Lagrangianos aumentados que utiliza a função PHR, implementado em ALGENCAN, e observamos seu comportamento quando o aplicamos na resolução de um problema encontrado na área de Computação Gráfica. O problema estudado é um problema encontrado na geração de malhas de superfícies, na etapa de pós-processamento, para o qual propomos uma técnica de otimização visando a melhoria dos elementos da malha. Quando se trata de geração de malhas de superfícies em \'R POT. 3\', parametrizações de malhas triângulares que representam superfícies são usadas em muitas aplicações de processamento de malhas para vários fins. Muitas vezes é necessário preservar a métrica da superfície e, assim, minimizar a deformação do ângulo e da área. A técnica que propomos de otimização visa melhorar as distorções de ângulos e áreas impostas por uma parametrização. Para verificar o comportamento da técnica proposta, implementamo-na em C++ e utilizamos algumas malhas de modelos clássicos da literatura para realizar os experimentos numéricos. Os resultados obtidos foram promissores / Augmented Lagrangian methods are frequently used to solve minimization problems subject to general constraints. In particular, we study an augmented Lagrangian method that uses the PHR function, implemented in ALGENCAN, and observe its behavior when applied to solve a problem found in the field of Computer Graphics. The problem we will study and solve is found in the post-processing stage of the surface mesh generation, for which we propose an optimization technique to improve the mesh elements. When it comes to meshing surfaces in \'R POT..3\', triangular meshes parametrizations are widely used in applications of mesh processing. It is often necessary to preserve the surface metric and, thus, minimize the angle and area deformation. The optimization technique we propose aims to improve the distortions imposed by a parametrization onto angles and areas. To assert the efectiveness of the proposed technique, we implemented it in C++ language and used some classic mesh models from the literature to performe numerical experiments. The results were promising

Neste trabalho, consideramos uma nova parametrização para o problema de empacotar a maior quantidade possível de círculos idênticos uma região elíptica dada. Apresentamos algoritmos com propriedades de convergência global e algumas estratégias heurísticas. Ilustramos com experimentos numéricos extensivos cada uma das estratégias utilizadas / In this work we consider a new parametrization for the problem of packing the maximum number of identical circles within a given elliptical region. We present algorithms with global convergence properties and some heuristic strategies. We illustrate each described strategy with extensive numerical experiments

Este trabalho insere-se no contexto de métodos de multiplicadores para a resolução de problemas de programação convexa semidefinida e a análise de suas propriedades através do método proximal aplicado sobre o problema dual. Nosso foco será uma subclasse de problemas de programação convexa semidefinida com restrições afins, para a qual estudaremos relações de dualidade e condições para a existência de soluções dos problemas primal e dual. Em seguida, analisaremos dois métodos de multiplicadores para resolver essa classe de problemas e que são extensões de métodos conhecidos para programação não-linear. O primeiro, proposto por Doljansky e Teboulle, aborda um método de ponto proximal interior entrópico e sua conexão com um método de multiplicadores exponenciais. O segundo, apresentado por Mosheyev e Zibulevsky, estende para a classe de problemas de nosso interesse um método de lagrangianos aumentados suaves proposto por Ben-Tal e Zibulevsky. Por fim, apresentamos os resultados de testes numéricos feitos com o algoritmo proposto por Mosheyev e Zibulevsky, analisando diferentes escolhas de parâmetros, o aproveitamento do padrão de esparsidade das matrizes do problema e critérios para a resolução aproximada dos subproblemas irrestritos que devem ser resolvidos a cada iteração desse algoritmo de lagrangianos aumentados. / This work deals with multiplier methods to solve semidefinite convex programming problems and the analysis of their proprieties based on the proximal point method applied on the dual problem. We focus on a subclass of semidefinite programming problems with affine constraints, for which we study duality relations an conditions for the existence of solutions of the primal and dual problems. Afterwards, we analyze two multiplier methods to solve this class of problems which are extensions of known methods in nonlinear programming. The first one, introduced by Doljansky e Teboulle, approaches an entropic interior proximal algorithm and their relationship with an exponential multiplier method. The second one, presented by Mosheyev e Zibulevsky, extends a smooth augmented Lagrangian method proposed by Ben-Tal and Zibulevsky for the problems of our interest. Finally, we present the results of numerical experiments for the algorithm proposed by Mosheyev e Zibulevsky, analyzing some choices of parameters, the sparsity patterns of matrices of the problem and criteria to accept approximate solutions of the unconstrained subproblems that must be solved at each iteration of the augmented Lagrangian method.

Muitos problemas de otimização envolvem tanto variáveis inteiras quanto contínuas e podem ser modelados como problemas de programação não-linear inteira mista. Problemas dessa natureza aparecem com freqüência em engenharia química e incluem, por exemplo, síntese de processos, projeto de colunas de destilação, síntese de rede de trocadores de calor e produção de óleo e gás. Neste trabalho, apresentamos algoritmos baseados em Lagrangianos Aumentados e branch and bound para resolver problemas de programação não-linear inteira mista. Duas abordagens são consideradas. Na primeira delas, um algoritmo do tipo Lagrangianos Aumentados é usado como método para resolver os problemas de programação não-linear que aparecem em cada um dos nós do método branch and bound. Na segunda abordagem, usamos o branch and bound para resolver os problemas de minimização em caixas com variáveis inteiras que aparecem como subproblemas do método de Lagrangianos Aumentados. Ambos os algoritmos garantem encontrar a solução ótima de problemas convexos e oferecem recursos apropriados para serem usados na resolução de problemas não convexos, apesar de não haver garantia de otimalidade nesse caso. Apresentamos um problema de empacotamento de retângulos em regiões convexas arbitrárias e propomos modelos para esse problema que resultam em programas não-lineares com variáveis inteiras e contínuas. Realizamos alguns experimentos numéricos e comparamos os resultados obtidos pelo método descrito neste trabalho com os resultados alcançados por outros métodos. Também realizamos experimentos com problemas de programação não-linear inteira mista encontrados na literatura e comparamos o desempenho do nosso método ao de outro disponível publicamente. / Many optimization problems contain both integer and continuous variables and can be modeled as mixed-integer nonlinear programming problems. Problems of this nature appear frequently in chemical engineering and include, for instance, process synthesis, design of distillation columns, heat exchanger network synthesis and oil and gas production. In this work, we present algorithms based on Augmented Lagrangians and branch and bound for solving mixed-integer nonlinear programming problems. Two approaches are considered. In the first one, an Augmented Lagrangian algorithm is used for solving nonlinear programming problems that appear at each node in the branch and bound method. In the second approach, we use a branch and bound method for solving box-constrained problems with integer variables that appear as subproblems of the Augmented Lagrangian algorithm. Both algorithms guarantee to find an optimal solution for convex problems and have appropriate strategies to deal with non-convex problems, although there is no guarantee of optimality in this case. We present a problem of packing rectangles within an arbitrary convex region and propose models for this problem that result in nonlinear programs with integer and continuous variables. We have performed some numerical experiments and compared the results reached by the method described in this work and the results obtained by other methods. We have also performed experiments with mixed-integer nonlinear programming problems found in the literature and compared the performance of our method to that of other method publicly available.

Este trabalho insere-se no contexto de métodos de multiplicadores para a resolução de problemas de programação convexa semidefinida e a análise de suas propriedades através do método proximal aplicado sobre o problema dual. Nosso foco será uma subclasse de problemas de programação convexa semidefinida com restrições afins, para a qual estudaremos relações de dualidade e condições para a existência de soluções dos problemas primal e dual. Em seguida, analisaremos dois métodos de multiplicadores para resolver essa classe de problemas e que são extensões de métodos conhecidos para programação não-linear. O primeiro, proposto por Doljansky e Teboulle, aborda um método de ponto proximal interior entrópico e sua conexão com um método de multiplicadores exponenciais. O segundo, apresentado por Mosheyev e Zibulevsky, estende para a classe de problemas de nosso interesse um método de lagrangianos aumentados suaves proposto por Ben-Tal e Zibulevsky. Por fim, apresentamos os resultados de testes numéricos feitos com o algoritmo proposto por Mosheyev e Zibulevsky, analisando diferentes escolhas de parâmetros, o aproveitamento do padrão de esparsidade das matrizes do problema e critérios para a resolução aproximada dos subproblemas irrestritos que devem ser resolvidos a cada iteração desse algoritmo de lagrangianos aumentados. / This work deals with multiplier methods to solve semidefinite convex programming problems and the analysis of their proprieties based on the proximal point method applied on the dual problem. We focus on a subclass of semidefinite programming problems with affine constraints, for which we study duality relations an conditions for the existence of solutions of the primal and dual problems. Afterwards, we analyze two multiplier methods to solve this class of problems which are extensions of known methods in nonlinear programming. The first one, introduced by Doljansky e Teboulle, approaches an entropic interior proximal algorithm and their relationship with an exponential multiplier method. The second one, presented by Mosheyev e Zibulevsky, extends a smooth augmented Lagrangian method proposed by Ben-Tal and Zibulevsky for the problems of our interest. Finally, we present the results of numerical experiments for the algorithm proposed by Mosheyev e Zibulevsky, analyzing some choices of parameters, the sparsity patterns of matrices of the problem and criteria to accept approximate solutions of the unconstrained subproblems that must be solved at each iteration of the augmented Lagrangian method.

Muitos problemas de otimização envolvem tanto variáveis inteiras quanto contínuas e podem ser modelados como problemas de programação não-linear inteira mista. Problemas dessa natureza aparecem com freqüência em engenharia química e incluem, por exemplo, síntese de processos, projeto de colunas de destilação, síntese de rede de trocadores de calor e produção de óleo e gás. Neste trabalho, apresentamos algoritmos baseados em Lagrangianos Aumentados e branch and bound para resolver problemas de programação não-linear inteira mista. Duas abordagens são consideradas. Na primeira delas, um algoritmo do tipo Lagrangianos Aumentados é usado como método para resolver os problemas de programação não-linear que aparecem em cada um dos nós do método branch and bound. Na segunda abordagem, usamos o branch and bound para resolver os problemas de minimização em caixas com variáveis inteiras que aparecem como subproblemas do método de Lagrangianos Aumentados. Ambos os algoritmos garantem encontrar a solução ótima de problemas convexos e oferecem recursos apropriados para serem usados na resolução de problemas não convexos, apesar de não haver garantia de otimalidade nesse caso. Apresentamos um problema de empacotamento de retângulos em regiões convexas arbitrárias e propomos modelos para esse problema que resultam em programas não-lineares com variáveis inteiras e contínuas. Realizamos alguns experimentos numéricos e comparamos os resultados obtidos pelo método descrito neste trabalho com os resultados alcançados por outros métodos. Também realizamos experimentos com problemas de programação não-linear inteira mista encontrados na literatura e comparamos o desempenho do nosso método ao de outro disponível publicamente. / Many optimization problems contain both integer and continuous variables and can be modeled as mixed-integer nonlinear programming problems. Problems of this nature appear frequently in chemical engineering and include, for instance, process synthesis, design of distillation columns, heat exchanger network synthesis and oil and gas production. In this work, we present algorithms based on Augmented Lagrangians and branch and bound for solving mixed-integer nonlinear programming problems. Two approaches are considered. In the first one, an Augmented Lagrangian algorithm is used for solving nonlinear programming problems that appear at each node in the branch and bound method. In the second approach, we use a branch and bound method for solving box-constrained problems with integer variables that appear as subproblems of the Augmented Lagrangian algorithm. Both algorithms guarantee to find an optimal solution for convex problems and have appropriate strategies to deal with non-convex problems, although there is no guarantee of optimality in this case. We present a problem of packing rectangles within an arbitrary convex region and propose models for this problem that result in nonlinear programs with integer and continuous variables. We have performed some numerical experiments and compared the results reached by the method described in this work and the results obtained by other methods. We have also performed experiments with mixed-integer nonlinear programming problems found in the literature and compared the performance of our method to that of other method publicly available.