Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

Métodos eficientes para planejamento de caminhos têm sido explorados ao longo dos anos para permitir movimento de robôs autônomos ou agentes virtuais. Basicamente, estes algoritmos buscam pelo ambiente por um caminho com pouca probabilidade de colisão com obstáculos, e que conduza o agente de uma posição inicial para uma posição objetivo. Apesar de os primeiros algoritmos para planejamento de caminhos para calcular rotas em grafos foram apresentados a mais de 50 anos atrás, ainda existe muito trabalho sendo realizado para melhorar as técnicas existentes hoje em dia. Os algoritmos de planejamento de caminhos atuais normalmente assumem que o ambiente pode ser facilmente projetado em um plano. Também existem diversos algoritmos que podem trabalhar facilmente com mais dimensões. Porém, uma classe de ambientes que não podem ser facilmente tratadas pelos algoritmos atuais é composta por superfícies arbitrárias. Estas superfícies, com buracos e torções, por exemplo, não podem ser facilmente projetadas em um plano. O fato de o caminho ser restrito à superfície faz com que, em um dado ponto o algoritmo precise calcular um caminho 2D em uma superfície 3D, o que não é trivial de mapear em um algoritmo de planejamento de caminhos para várias dimensões. Este trabalho apresenta uma nova técnica de planejamento de caminhos em superfícies 3D, chamada 3DS-BVP. Este novo planejador de caminhos é baseado em um algoritmo de planejamento de caminhos para ambientes 2D. O algoritmo anterior, chamado BVPPath- Planner, utiliza problemas de valor de contorno (Boundary Value Problems, BVP) e funções harmônicas para gerar campos potenciais. Ao seguir o gradiente descente destes campos potenciais, é possível produzir caminhos suaves livres de mínimos locais, partindo de qualquer posição do ambiente para um dado objetivo. Nosso algoritmo gera um campo potencial diretamente na superfície 3D utilizando um método numérico que foi inspirado por aquele utilizado no BVP-Path-Planner. O 3DS-BVP trabalha sobre superfícies complexas com buracos ou curvaturas, representadas por malhas de triângulos, sem a necessidade de parametrizar a superfície em uma representação 2D. Nossos resultados demonstram que a técnica pode gerar caminhos com qualidade similar àqueles gerados pelo BVP-Path-Planner em ambientes planos. O mesmo algoritmo é capaz de gerar caminhos em superfícies arbitrárias a taxas de atualização interativas. / Efficient path planning methods are being explored along the years to allow the movement of autonomous robots or virtual agents. Basically these algorithms search the environment for a path with low probability of collision with obstacles that conduces the agent from an initial to a goal position. Although the first path planning algorithms to compute routes in graphs were presented more than 50 years ago, there is still a lot of effort into improving the current approaches. The current path planning algorithms usually assume that the environment can be easily projected on a plane. There are also other algorithms that can easily deal with higher dimensional spaces. But a class of environments that cannot be easily treated by current algorithms is the one composed by arbitrary surfaces. These surfaces, with holes and bends for instance, cannot be directly projected on a plane. Because the path must be on the surface, it has only 2 degrees of freedom in any point of the surface, which is not trivial to map for a higher dimensional path planning algorithm. This work presents a new technique for path planning on 3D surfaces called 3DS-BVP. This new path planner is based on a previous path planning algorithm for 2D environments. The former algorithm, called BVP-Path-Planner, uses Boundary Value Problems (BVP) and harmonic functions to generate potential fields. By following the gradient descent of these potential fields, it is possible to produce smooth paths free from local minima from any point of the environment to a given goal position. Our algorithm generates a potential field directly on the 3D surface using a numerical method inspired on the one used by the BVP-Path-Planner. The 3DS-BVP works over complex surfaces of arbitrary genus or curvature, represented by a triangle mesh, without the need of 2D parametrizations. Our results demonstrate that our technique can generate paths with similar quality as those generated by the BVP-Path-Planner in planar environments. The same algorithm is also able to generate paths in arbitrary surfaces at interactive frame rates.

This thesis aims to provide an introduction to the field of potential theory at an undergraduate level, by studying an important mathematical problem in the field, namely the Dirichlet problem. By examining the historical development of different methods for solving the problem in increasingly general contexts, and the mathematical concepts which were established to support these methods, the aim is to provide an overview of various basic techniques in the field of potential theory, as well as a summary of the fundamental results concerning the Dirichlet problem in Euclidean space. / Målet med detta arbete är att vara en introduktion på kandidatnivå till ämnesfältet potentialteori, genom att studera ett viktigt matematiskt problem inom potentialteori, Dirichletproblemet. Genom att undersöka den historiska utvecklingen av olika lösningsmetoder för problemet i mer och mer allmänna sammanhang, i kombination med de matematiska koncepten som utvecklades för att användas i dessa lösningsmetoder, ges en översikt av olika grundläggande tekniker inom potentialteori, samt en sammanfattaning av de olika matematiska resultaten som har att göra med Dirichletproblemet i det Euklidiska rummet.