Submitted by Rosivalda Pereira (mrs.pereira@ufma.br) on 2017-06-13T17:22:58Z No. of bitstreams: 1 WashingtonMenezes.pdf: 349401 bytes, checksum: 40e24e24fcc72911a8a30e2a9d7b0f1b (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-13T17:22:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 WashingtonMenezes.pdf: 349401 bytes, checksum: 40e24e24fcc72911a8a30e2a9d7b0f1b (MD5) Previous issue date: 2016-08-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work, we introduce results of local and global solution for a heat equation in RN with nonlocal nonlinearity in time. / Neste trabalho, apresentamos resultados de existência local e global para uma equação do calor em RN com não-linearidade não local no tempo.

Les systèmes hyperboliques interviennent dans de nombreuses branches des sciences : théorie cinétique, mécanique des fluides non visqueux, magnéto hydrodynamique, dynamique des gaz non visqueux, trafic routier, flux d’une rivière ou d’un glacier, processus de sédimentation, processus d’échanges chimiques, etc. Et souvent, les systèmes qui régissent ces évènements font intervenir des petits paramètres, dont l’étude asymptotique permet d’envisager des simplifications mathématiques et/ou informatiques notoires. L’existence locale et l’existence globale de solutions, uniformément par rapport à ces paramètres, sont des questions fondamentales. Cette thèse regroupe à la fois des résultats généraux sur l’existence locale uniforme de solutions pour des systèmes hyperboliques quasi-linéaires du premier ordre ; et sur l’existence globale uniforme de solutions autour d’un équilibre constant pour ces mêmes systèmes. Le cas du système d’Euler-Maxwell ne satisfaisant pas les conditions requises pour l’existence uniforme globale, nous le traitons à part. / Hyperbolic systems arise in a large field of sciences : kinetic theory, inviscid reactive flow, magnetohydrodynamics, inviscid gas dynamics, traffic flow, river or glacier flow, sedimentation processes, chemical exchange processes, etc. In these kind of systems, small paramaters often appear, and an asymptotic study may lead to mathematical or computational simplifications. One fundamental problem that we may work on is local and global existence of solutions for these systems, uniformly with respect to these parameters. This Ph.D. thesis includes, on one hand, general results on uniform local existence of solutions for first order quasi-linear hyperbolic systems ; and on the other hand, results on uniform global existence of solutions near constant equilibriums for these same systems. In the case of Euler-Maxwell systems, required conditions are not fulfilled for uniform global existence, then we treat it separately.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.