Les "équations de Schrödinger stochastiques" sont des équations différentielles stochastiques de type non classique qui apparaissent dans le domaine de la mesure en mécanique quantique. Leurs solutions sont appelées "trajectoires quantiques" et décrivent l'évolution de petits systèmes quantiques ouverts soumis à une mesure continue de type indirecte (on mesure l'environnement qui interagit avec le petit système).<br /><br />Habituellement, les justifications mathématiques et physiques de ces modèles sont loin d'être intuitives et évidentes. Soit elles manquent de rigueur car basées sur des arguments heuristiques, soit elles uilisent des outils mathématiques lourds et très abstraits (Filtrage quantique, espérance conditionnelle dans les algèbres de Von Neumann...).<br /><br />Dans cette thèse, on met en place un modèle discret de mesure en mécanique quantique. Ce modèle est basé sur celui des "interactions quantiques répétées" développé par Stéphane ATTAL et Yan PAUTRAT. Le cadre est le suivant. On considère un petit système en contact avec une chaine infinie de petits systèmes (tous notés H) identiques et indépedants entre eux. Chaque copie H interagit avec le petit système pendant un temps h. Après chaque interaction, on effectue une mesure sur H. Cette série de mesures entraine une série de modifications aléatoires de l'état du petit système. Cette série de modifications est alors décrite à l'aide d'une chaine de Markov dépendante du paramètre h. On montre alors que l'on peut obtenir les trajectoires quantiques, solutions des équations de Schrödinger stochastiques, comme limite continue (h tend vers 0) à partir de ces chaines de Markov. Ce résultat de convergence nécessite, au préalable, une étude complète des problèmes d'existence et d'uncité des solutions.<br /><br />Grâce à ce résultat de convergence, à partir d'un modèle physique discret, on justifie de façon rigoureuse et intuive l'utilisation des équations de Schrödinger stochastiques. On étend ensuite ces résultats dans le cas de modèles en dimension finie quelconque et on introduit la notion de controle.

Nous présentons différents aspects de la propagation d'impulsions laser ultra-courtes<br /> dans les milieux transparents. Tout d'abord, après avoir établi les équations de propagation<br /> à partir des équations de Maxwell, nous rappelons les principaux phénomènes physiques auxquels<br /> sont soumises les impulsions ultra-courtes et de forte puissance se propageant dans un milieu transparent.<br /> Celles-ci subissent de l'auto-focalisation causée par la réponse Kerr du milieu. Cette auto-focalisation<br /> est stoppée par la création d'un plasma produit par l'ionisation photonique des molécules du milieu.<br /> La propagation de l'onde laser génère aussi un supercontinuum par auto-modulation de phase. Enfin,<br /> on rappelle les principaux résultats concernant la filamentation simple ou multiple de l'onde provenant<br /> des inhomogénéités du faisceau et qui a lieu lorsque la puissance initiale du laser est supérieure<br /> au seuil d'auto-focalisation. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à l'influence de<br /> non-linéarités optiques d'ordre élevé sur la propagation de l'onde et sur la figure de<br /> filamentation créée. Dans une troisième partie, afin de contrôler la filamentation multiple, <br />nous analysons la propagation de faisceaux particuliers: les impulsions optiques femtosecondes avec gradient<br /> fort et les vortex. Nous justifions les propriétés de robustesse de ces derniers type d'objets<br /> optiques. Enfin, nous examinons la filamentation multiple d'impulsions ultra-courtes à travers une<br /> chambre à brouillard, et dans les cellules d'éthanol dopées à la coumarine, pour différentes<br /> configurations du faisceau.

Ce travail est une contribution à l'étude des équations de Schrödinger non-linéaires (NLS) en dimension un d'espace. De telles équations interviennent notamment comme modèles dans plusieurs domaines de la physique mathématique, tels l'optique non-linéaire, la superfluidité, la supraconductivité et la condensation de Bose-Einstein.Cette thèse contient trois thèmes connexes inclus dans les chapitres 2, 3 et 4. Dans la première partie (chapitre 2), on s'intéresse à la construction des solutions en multi-solitons de l'équation de Gross-Pitaevskii (NLS défocalisante avec non-linéarité cubique), comme une superposition approximative des ondes progressives (solitons). Cette partie contient également une description détaillée des interactions entre les solitons. Ces résultats sont obtenus en exploitant l'intégrabilité de l'équation de Gross-Pitaevskii et son système de Marchenko associé.La deuxième partie (chapitre 4) clarifie les relations entre la formulation classique et la formulation dite hydrodynamique de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette dernière a un sens lorsque la solution ne s'annule jamais dans le domaine spatial. La dernière partie (chapitre 3) est consacrée à l'étude du problème de Cauchy d'une famille d'équations aux dérivées partielles quasi-linéaires qui généralise l'équation du flot par courbure binormal d'une courbe dans l'espace euclidien de dimension trois. Cette dernière est liée formellement à NLS par la transformation de Hasimoto. Dans notre généralisation, la vitesse d'un point de la courbe est toujours dirigée dans la direction du vecteur binormal, mais son amplitude peut dépendre de l'abscisse curviligne ainsi de la position dans l'espace. Notre approche pour prouver l'existence est le suivant: schéma semi-discret (discret en espace et continu en temps), obtention de bornes sur les problèmes discrets et argument par compacité. Un théorème de comparaison entraîne l'unicité. / This work is a contribution to the study of nonlinear Schrödinger equations (NLS) in the one-dimensional space. Such equations arise in many physical fields, including nonlinear optics and Bose-Einstein condensation. The thesis contains three connected themes included in chapters 2, 3 and 4. The first part (chapter 2) constructs multi-soliton solutions of the Gross-Pitaevskii (or defocussing NLS) equation, as an approximate superposition of traveling waves (solitons). This part contains also a detailed description of the interactions between solitons. These results are obtained by exploiting the integrability of the the Gross-Pitaevskii equation and its associated Marchenko system. The second part (chapter 4) clarifies the relations between the classical formulation and the so-called hydrodynamical formulation that only has a meaning when the solution does not vanish anywhere in the spatial domain The last part (chapter 3) of this thesis concerns existence and uniqueness results for a family of quasi-linear partial differential equations that generalize the equation of the binormal curvature flow for a curve in the three-dimensional space. The latter equation is in connection to the focussing cubic NLS by Hasimoto transformation. In our generalization, the velocity of a point on the curve is still directed along the binormal vector (so that in particular the length of the curve is preserved) but the magnitude of the speed is allowed to depend both on the curvilinear parameter and on the position in space. Existence is proven using spatial discretization together with some a priori bounds on the approximate solutions. Uniqueness follows from a comparison theorem.

Les travaux de cette thèse sont regroupés en trois grandes parties traitant respectivement-des ondes stationnaires des systèmes de Schr"odinger-Maxwell-Proca et de Klein-Gordon-Maxwell-Proca sur une variété riemannienne fermée (compacte sans bord dans toute la thèse),-de systèmes elliptiques de Kirchhoff sur une variété riemannienne fermée,-de phénomènes d'explosion propres aux petites dimensions. / This thesis, divided into three main parts, deals with-standing waves for Schrödinger-Maxwell-Proca and Klein-Gordon-Maxwell-Proca systems on a closed Riemannian manifold (compact without boundary during all the thesis),-elliptic Kirchhoff systems on a closed manifold,-low-dimensional blow-up phenomena.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.