No início do século XVII, o escocês John Napier revolucionou os métodos de cálculo da época com a invenção dos logaritmos. O logaritmo de Napier não era exatamente o que usamos hoje. Naquela época, o trabalho de multiplicação, divisão, cálculo de potências e extração de raízes eram trabalhosos e feitos a partir de senos. Surgiram as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por John Napier (1550-1617) e Jost Bürgi (1552-1632). Pouco depois, Henry Briggs (1561-1631) aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais. A contribuição fundamental dos logaritmos é a de facilitar os cálculos através da transformação de operações de multiplicação em adição e de operações de divisão em subtração. Essas transformações foram de grande importância nos cálculos trabalhosos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação. Em 1632, um matemático inglês chamado William Oughtred inventou a régua de cálculo, com base na \"Tábua de Napier\". Esse foi um grande passo em direção à calculadora e à construção dos computadores. Nesse trabalho propomos a utilização da régua de cálculo no ensino das propriedades dos logaritmos. Para tanto, foram estudados tópicos como a história dos logaritmos, a função logaritmo, a caracterização das funções logarítmicas, a associação de logaritmos a progressões aritméticas e geométricas e o uso de uma régua de cálculo / In the early seventeenth century, the Scotsman John Napier revolutionized the calculation methods of that time with the invention of logarithms. The Napier logarithm was not exactly the same as we use now. At that time, the multiplication, division, exponents calculation and extracting roots were demanded extensive labor. John Napier (1550-1617) and Jost Bürgi (1552-1632) invented independently the first logarithm tables. Shortly after, Henry Briggs (1561-1631) improved these boards, presenting the decimal logarithms. The main contribution of logarithms is to make calculations easier by transforming multiplication operations into addition ones and division operations into subtraction ones. These changes have been of great importance in laborious calculations that involved Astronomy and Navigation. In 1632, an English mathematician called William Oughtred invented the slide ruler, based on the \"Napier board\". This was a big step towards the invention of the calculator and the computer. In this work we propose the use of the slide ruler in teaching the properties of logarithms. Thus, topics such as the history of logarithms, the logarithm function, the characterization of logarithmic functions, the association of the logarithms with arithmetical and geometrical progressions, and the use of a slide ruler were studied

Magister Scientiae - MSc / Over the last few years it became clear that the students struggle with the basic concepts of logarithms and inequalities, let alone logarithmic inequalities due to the lack of exposure of these concepts at high school. In order to fully comprehend logarithmic inequalities, a good understanding of the logarithmic graph is important. Thus, the opportunity was seen to change the method of instruction by introducing the graphical method to solve logarithmic inequalities. It was decided to use an mathematical software program, Omnigraph, in this research. / South Africa

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2015-12-09T16:52:41Z No. of bitstreams: 1 marconymeneguellialhadas.pdf: 1407717 bytes, checksum: 0539709bf3e653cb56d1b0e6407ab500 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2015-12-10T14:00:02Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marconymeneguellialhadas.pdf: 1407717 bytes, checksum: 0539709bf3e653cb56d1b0e6407ab500 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-12-10T14:00:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marconymeneguellialhadas.pdf: 1407717 bytes, checksum: 0539709bf3e653cb56d1b0e6407ab500 (MD5) Previous issue date: 2015-03-02 / Este trabalho traz uma proposta diferente para o ensino de logaritmos no nível médio. De maneira distinta da abordagem usual, que trata os logaritmos como expoente, apresentamos uma abordagem geométrica, focada no conceito de áreas, destacando pontos que muitas vezes são deixados de lado. Traz ainda aplicações e implicações que, à luz desta nova rota, tornam-se simples, ou pelo menos mais palpáveis, para professores e alunos, além de atividades sugeridas que envolvem o uso do software Geogebra. / This work brings a different proposal for the teaching of logarithms at the medium level. Differently from the usual approach, which treats the logarithms as exponent, we present a geometric approach, focused on the concept of areas, highlighting points that are often left out. It also brings applications and implications that,in light of this new route, become simple, or at least more tangible for teachers and students, and suggested activities that involve the use of GeoGebra software.

In the past, frameworks for what it means for students to understand elementary mathematical concepts like addition have been well-researched. These frameworks are useful for identifying what students must understand to have a good grasp of the concept. Few such research-based frameworks exist for secondary mathematical topics. The intent of this study was to create such a framework for what it means for students to understand logarithms, a topic that has been under-researched up to this point. Four task-based interviews were conducted with each of four different preservice secondary mathematics teachers in order to test a preliminary framework I had constructed to describe what it means for students to understand logarithms. The framework was adjusted according to the findings from the interviews to better reflect what it means for students to have a good understanding of logarithms. Also, a common practice taught to students learning logarithms, switching from logarithmic form to exponential form, was found to possibly have negative effects on student understanding of logarithms. The refined, research-based framework for what it means for students to understand logarithms is described in full in this document. The implications of the results of this study for mathematics teachers as well as for mathematics education researchers are also discussed.

Submitted by Geyciane Santos (geyciane_thamires@hotmail.com) on 2015-12-15T21:23:01Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Carlos Ronaldo Cardoso de Carvalho.pdf: 521853 bytes, checksum: c9b36e6fba31199c163f9f3b5dde6b63 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-01-20T18:31:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Carlos Ronaldo Cardoso de Carvalho.pdf: 521853 bytes, checksum: c9b36e6fba31199c163f9f3b5dde6b63 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-01-20T18:32:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - Carlos Ronaldo Cardoso de Carvalho.pdf: 521853 bytes, checksum: c9b36e6fba31199c163f9f3b5dde6b63 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-01-20T18:32:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - Carlos Ronaldo Cardoso de Carvalho.pdf: 521853 bytes, checksum: c9b36e6fba31199c163f9f3b5dde6b63 (MD5) Previous issue date: 2015-01-12 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we make a simple approach to the implementation of logarithms in the field of complex numbers and make them more known, because although they have a big role in solving many problems, are somehow forgotten both in basic education and in undergraduate education. The study was carried out in order to investigate one of the many contributions that the remarkable Leonard Euler left to mathematics. In order to redeem such applications, thus developing skills of Complex Numbers field, we will travel showing the construction of Complex Numbers (Chapter 2), through the traditional definition of logarithms dollars Positive Numbers (Chapter 3) and mainly focusing on (Chapter 4) which deals with logarithms of Real Numbers negatives. Finally we will present a special chapter showing the Problem of History (chapter 5) and some approaches in high school (Chapter 6). We believe that both the approach of carrying out the work, with the use of logarithms, for example, the operations and applications we use, can serve to improve the teaching and learning of the use of logarithms and possibly serve as a motivator for students and teachers that seek to enhance their knowledge of logarithms of Real Numbers negatives in its various developments. / Neste trabalho procuramos fazer uma abordagem simples da aplicação dos logaritmos no campo dos números complexos e torná-los mais conhecidos, pois embora tenham um grande papel na resolução de muitos problemas, estão de certa forma esquecidos tanto no ensino básico quanto no ensino de graduação. O estudo foi realizado com o propósito de pesquisar uma das inúmeras contribuições que o notável Leonard Euler deixou para a matemática. No intuito de resgatar tais aplicações, desenvolvendo assim habilidades no campo dos Números Complexos, faremos uma viagem mostrando a construção dos Números Complexos (capítulo 2), passando pela definição tradicional de Logaritmos de Números Reais Positivos (capítulo 3) e focando principalmente o capítulo 4 que trata de Logaritmos de Números Reais Negativos. Por fim apresentaremos um capítulo especial mostrando a História do Problema (capítulo 5) e algumas Abordagens no Ensino Médio (capítulo 6). Acreditamos que tanto o enfoque da realização desse trabalho, com a utilização dos Logaritmos, por exemplo, como as operações e aplicações que utilizamos, pode servir para a melhoria do ensino-aprendizagem do uso dos Logaritmos e possivelmente servir de elemento motivador para alunos e professores que busquem aprimorar seus conhecimentos em Logaritmos de Números Reais Negativos nos seus diversos desdobramentos.

This thesis is focused on the utilization of simplified functional equations in logarithm exercise. The goal of this work is to assess the degree of formalism in the logarithm knowledge of high school students. The first part attends to the origin and development on the term logarithm and logarithmic tables. These findings are subsequently put into the context of present day logarithm teaching extracted from contemporary high school textbooks. The second part describes an experiment which was conducted for the purpose of this thesis. The final part contains the results of the thesis and the evaluation of their relevance for logarithm tuition. Keywords: logarithm, logarithm tables, textbook analysis, functional equations.

in English This text is devoted to the creation of logarithmic tables at the beginning of the 17th century. The key person is John Napier and the thesis focuses on his work. The goal is to explain the historical context and to show how mathematicians of that time were thinking when inventing logarithms. 1

Esta tese estuda as contribuições proporcionais a In(T) da função de três pontos na teoria de Yang-Mills no calibre axial temporal na ordem de um loop no limite de altas temperaturas. Nós provamos que tais contribuições satisfazem uma identidade de Ward abeliana que as relaciona com o tensor de polarização do glúon, concluindo que são invariantes de Lorentz e têm a mesma estrutura dos pólos ultravioleta que ocorrem a temperatura zero. Usando uma simples prescrição para as constantes de renormalização e as equações do grupo de renormalização a temperatura finita, foi possível mostrar que a constante de acoplamento efetiva decai logaritmicamente em função da temperatura, de acordo com a liberdade assintótica, e é idêntica ao resultado obtido numa classe geral de calibres covariantes. / This thesis studies the In(T) contributions of the three-point function in the Yang-Mills theory in the temporal axial gauge at one-loop level in high-temperature limit. We proved that such contributions satisfy an abelian Ward identity which relates them with the gluon polarization tensor, concluding that they are Lorentz invariant and have the same structure of the ultraviolet poles which occur at zero temperature. Using a simple prescription for the renormalization constants and the finite-temperature renormalization group equations, it was possible to show that the effective coupling constant decreases logarithmically as a function of temperature, in accordance with asymptotic freedom, and is identical to the results obtained in a general class of covariant gauges.

Este trabalho tem o objetivo de verificar como o logaritmo e a função logarítmica são abordados nos livros didáticos de Matemática do século XIX ao XXI, indicando a inserção desses conteúdos na Matemática Escolar brasileira. Baseamo-nos, dentre outros autores, em Choppin (2004), Valente (1999, 2004, 2005 e 2008) e Bittencourt (2004 e 2008) para identificarmos o livro didático como fonte de pesquisa da Matemática Escolar, a partir de suas formas conceituais, de enfoque didático ou referente à organização do saber. A fim de verificar relações entre o histórico dos logaritmos e da função logarítmica na Matemática e na Matemática Escolar, apresentamos a ideia dos logaritmos de Napier como facilitadores de cálculos, interpretamos sua definição geométrica por meio de um sistema de equações diferenciais ordinárias e, assim, mostramos um breve histórico sobre a inserção do logaritmo como função no Cálculo Integral. Os livros didáticos de Matemática analisados foram publicados entre os anos de 1879 e 2013. Nesta análise, consideramos o modo como os autores abordam ou tratam a Matemática, os tipos de atividades que são propostas, os tipos de explicações, definições, exemplos, gráficos, exercícios, aplicações e problemas associados aos logaritmos e à função logarítmica. Os resultados apontam que no século XIX os logaritmos eram tratados nos livros didáticos, quase sempre, por meio da Aritmética. A partir da década de 1890, eles são abordados, tanto no campo aritmético, pela associação à teoria das progressões, como no campo algébrico, sendo expoentes numa equação ou função. A partir da década de 1930 até os dias de hoje verificamos uma predominância da concepção algébrico-funcional dos logaritmos. Com base nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), nos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio (PCNs - 2000), nos Parâmetros Curriculares Nacionais+ Ensino Médio (PCNs+ Ensino Médio - 2002), no Exame Nacional do Ensino Médio e em livros didáticos recentes, verificamos que os logaritmos e a função logarítmica se inserem, atualmente, na Matemática Escolar brasileira, pela sua associação às aplicações, como por exemplo, juros compostos, dinâmica populacional, desintegração radioativa, potencial hidrogeniônico, Escala Richter, Escala de Magnitude de Momento (MMS) e nível de intensidade sonora. / This work aims to verify how the logarithm and logarithmic function are approached in the textbooks of Mathematics from the 19th to the 21st century, indicating the insertion of these contents in Brazilian School Mathematics. We are based, among other authors, in Choppin (2004), Valente (1999, 2004, 2005 and 2008) and Bittencourt (2004 and 2008) to identify the didactic book as a research source of School Mathematics, from its conceptual forms, of didactic approach or referring to the organization of knowledge. In order to verify relations between the logarithmic and logarithmic functions in Mathematics and School Mathematics, we present the idea of the logarithms of Napier as facilitators of calculations, we interpret their geometric definition by means of a system of ordinary differential equations and we show a brief history about the insertion of the logarithm as a function in the Integral Calculus. The mathematical textbooks analyzed were published between the years 1879 and 2013. In this analysis, we consider how authors approach or treat mathematics, the types of activities that are proposed, the types of explanations, definitions, examples, graphs, exercises, applications and problems associated with logarithms and logarithmic function. The results show that in the 19th century, logarithms were treated in textbooks, almost always, through Arithmetic. From the 1890s, they are approached, both in the arithmetic field, by association with the theory of progressions, and in the algebraic field, being exponents in an equation or function. From the 1930s to the present day we have found a predominance of the algebraic-functional conception of logarithms. Based on the Curriculum Guidelines for Secondary Education (2006), the National Curriculum Parameters - Secondary Education (PCN\'s - 2000), the National Curriculum Parameters + High School (PCN\'s + High School - 2002), the National High School Examination and textbooks recent, we have verified that the logarithms and the logarithmic function are currently inserted in Brazilian School Mathematics, by their association to the applications, such as compound interest, population dynamics, radioactive disintegration, hydrogen ionic potential, Richter Scale, Momentum Magnitude Scale (MMS) and level of sound intensity.

Introdução: Os Logaritmos, objeto matemático desenvolvido há quatro séculos como uma ferramenta facilitadora de cálculos hoje gozam de uma miríade de outros significados, mas manteve seu signo, sua maneira de representação, estagnado no tempo. A Língua Materna e a Matemática estão entrelaçadas e impregnam uma à outra. Como a Língua Materna é a principal influência na formação do raciocínio, esta enraíza-se e permeia as aulas e o ensino de todas as disciplinas, incluindo as de Matemática. Objetivo: Este trabalho visa propor uma modernização para a notação matemática e modo de se interpretar os logaritmos para uma forma mais concordante com a organização de pensamento dos falantes de Língua Portuguesa do Brasil, haja visto que a leitura e maneira de representar um objeto matemático estão diretamente ligadas com o processo de aprendizagem de um indivíduo. Método: Delineada como pesquisa explicativa de abordagem qualitativa, o estudo utilizou de textos e ideias da Linguística, Educação e Matemática para explicitar os efeitos da notação de representação de um objeto matemático no ensino e aprendizagem, e propor maneiras de como utilizar estes efeitos de maneira positiva para a transposição didática do conhecimento. Conclusões: A maneira como a Língua Materna embasa o raciocínio de seus falantes é um fator importante a se considerar na elaboração de uma notação de representação em Matemática. Como as diferentes representações de um objeto estão diretamente ligadas com a aprendizagem, torna-se essencial buscar uma maior concordância entre a representação, impregnada tanto de Matemática quanto de Língua Materna, e o representado, o conhecimento matemático em questão. / Introduction: The Logarithms, the mathmatical object developed four centuries ago as a tool to facilitate calculations today possesses a myriad of other meanings, but kept its sign, its representation, stagnant in time. The Mother Language and the Mathmatics are entangled and impregnate one another. Since the Mother Language is the main influence in the development of the reasoning, it permeates classes and teaching of all subjects, including the Mathmatical ones. Goal: This paper aims to propose an update to the mathmatical notation and way of rendering the logarithms to a more concordant form with the though organization of the Portuguese speakers of Brazil, since the signs and representation of a mathmatical object are directly connected with the learning process of an individual. Method: Outlined as an qualitative approach and explanatory research, the paper used texts and ideas from Linguistics, Education and Mathmatics to explicit the effects of notation and the representations of a mathmatical object in the learning process while also proposing ways to use this effects in a positive manner to the didactic transposition of the knowledge. Conclusions: The way the Mother Language bases the thought organization is an important factor to consider in the elaboration of a mathmatical notation and representation in Mathmatics. Since a multitude of representations are directly connected with the learning process, its essential to search for a concordance between the representation, impregnated both with Mother Language and Mathmatics, and the represented, the mathmatical object.