Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-02-19T16:24:23Z No. of bitstreams: 1 ulissesdossantosborges.pdf: 1138379 bytes, checksum: a36ee974ac00a183ccc63f70893ab91f (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-02-26T13:51:12Z (GMT) No. of bitstreams: 1 ulissesdossantosborges.pdf: 1138379 bytes, checksum: a36ee974ac00a183ccc63f70893ab91f (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-26T13:51:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ulissesdossantosborges.pdf: 1138379 bytes, checksum: a36ee974ac00a183ccc63f70893ab91f (MD5) Previous issue date: 2014-06-06 / Neste trabalho pretende-se abordar o ensino de logaritmos e das funções exponenciais e logarítmicas por meio de modelos matemáticos que os caracterizam. Faremos uso das progressões aritméticas e geométricas como pontos importantes no entendimento das funções exponenciais e logarítmicas. E, recomendamos, antes de iniciar o estudo destas funções, fazer um breve estudo daquelas progressões; visto esta ordem não ser comun no Ensino Médio. Por meio de situações problemas, onde a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, se mostram os modelos matemáticos mais adequados, devido as suas caracterizações, procuraremos mostrar as principais características, propriedades e definições dessas duas funções. Estas situações problemas serão dadas em atividades propostas onde pretendemos mostrar o desenvolvimento dos conceitos e propriedades dos logaritmos no decorrer do tempo, exemplificar a caracterização da função logarítmica e da função exponencial e apresentar exemplos de problemas do cotidiano que são modelados por essas funções. Faremos uso, também, de uma planilha eletrônica, em uma das atividades propostas, para mostrar propriedades das funções exponenciais e logarítmicas e a importante constante matemática e, que aparece naturalmente em fenômenos da Natureza. Veremos que a razão inicial do sucesso dos logaritmos, aumentar o poder de computação, perdeu este lugar, nos dias de hoje, para os computadores e as máquinas de calcular. Atualmente, o motivo que fazem com que os logaritmos continuem a merecer destaque no ensino de Matemática é porque a função logarítmica e a função exponencial constituem a única maneira de descrever matematicamente uma grandeza cuja taxa de variação é proporcional à quantidade daquela grandeza presente num dado instante. / This work intends to address the teaching of logarithms and exponential and logarithmic functions by means of mathematical models that characterize them. We will use the arithmetic and geometric progressions as main points in understanding of exponential and logarithmic functions. We also recommend that before starting the study of these functions, make a brief study of those progressions, since this order may not be common in High School. Through problem situations, where the logarithmic function and its inverse, the exponential function, it is shown the most appropriate mathematical models, due to its specifications, we will show the main features, properties and definitions of these two functions. These problem situations will be given in proposed activities where we intend to show the development of the concepts and the logarithms properties in the course of time, exemplify the characterization of the logarithmic function and the exponential function and provide examples of everyday problems that are modeled by these functions. We will also use a spreadsheet, in one of the proposed activities, to show properties of the exponential and logarithmic functions and the important mathematical constant "e", which usually appears in natural phenomena. We will see that the initial reason of logarithms success, to increase computing power, lost ground nowadays, for computers and calculators. Currently, the reason that makes the logarithms continue to receive emphasis on the teaching of Mathematics is because the logarithmic function and the exponential function is the only way to describe the magnitude mathematically whose rate of variation is proportional to the quantity of that magnitude in a given moment.

A dinâmica de crescimento populacional de uma espécie é permeada pela relação entre as desvantagens da competição intraespecífica e os benefícios da presença de conspecíficos. Para muitas espécies, os benefícios da cooperação podem superar as desvantagens da competição. A correlação positiva entre tamanho populacional e adaptabilidade em populações muito pequenas é conhecida como efeito Allee demográfico. Apesar de haver modelos matemáticos isolados para os diferentes tipos de efeitos Allee, não há um modelo simples que os abranja e os conecte a modelos de crescimento mais gerais (como o de Richards). Propomos unificar modelos de efeitos Allee e o de crescimento de Richards em um modelo que permita um novo ponto de vista sobre o efeito Allee demográfico. Um exemplo do aumento das possibilidades descritivas de tal generalização é a emergência de mais de uma transição cooperação-competição quando considerado um caso particular desse novo modelo (Allee-Gompertz). Apesar da importância do crescimento populacional, a maioria dos modelos básicos de transmissão de doenças infecciosas considera o tamanho populacional constante ou adota simplificações pouco plausíveis. Nesta tese, mostramos as deficiências de um modelo compartimental dinâmico de tuberculose já consagrado e propomos um novo modelo com crescimento populacional logístico. Quando comparados, nosso modelo apresenta previsões mais pessimistas para a erradicação da doença a longo prazo quando testado com parâmetros que definem políticas de controle pouco eficientes. Realizamos tais predições adotando estratégias de controle de países desenvolvidos e subdesenvolvidos. Visto que esses modelos compartimentais desprezam aspectos espaciais, desenvolvemos uma modelagem computacional de agentes, baseada no modelo proposto, com duas estruturas subjacentes: redes aleatórias e redes reais. A súbita emergência de tuberculose resistente a drogas como consequência de tratamentos ineficazes é também um resultado das implementações desses modelos em dois cenários distintos. Esses resultados são comparados com os do modelo compartimental e com os de um modelo de estrutura subjacente mais simples e, como novo resultado, surge nos dois modelos a possibilidade de erradicação da doença em menos de uma década após o início do tratamento. Esse resultado é possível desde que sejam adotadas estratégias eficientes de controle. / The one-species population growth dynamics is permeated by the relationship between the harms from the intraspecific competition and the benefits from the presence of conspecifics. For many species, the benefits from conspecific cooperation may outweigh the harms from competition. The positive correlation between population size and total fitness in very small population known as demographic Allee effect. Although there are isolated mathematical models for different types of Allee effects, there is not a simple model that covers and connects them to more general growth models (like Richards). We propose to unify models of Allee effects and the Richards growth one in a model that allows a new perspective on the demographic Allee effect. An example of the increased descriptive possibilities of such generalization is the emergence of more than one transition cooperation-competition when considering a particular case of this new model (Gompertz-Allee). Despite the importance of population growth, most basic models of infectious diseases transmission considers population size constant or adopts implausible simplifications. In this thesis, we show the shortcomings of a dynamic compartmental model of tuberculosis already established and we propose a new model with population logistic growth. When compared, our model provides more pessimistic forecasts for the eradication of the disease in the long term if it is tested with parameters that define inefficient control policies. We perform such predictions adopting control strategies from developed and underdeveloped countries. Since these compartmental model disregards spatial aspects, we developed a computational agent model, based on the proposed model, with two underlying structures: random networks and real networks. The sudden emergence of drug-resistant tuberculosis as a result of ineffective treatments is also a result from the implementations of these models in two distinct scenarios. These results are compared with the ones from a compartimental model and with the ones from a model with simpler underlying structure and, as a new result, the possibility of eradicating the disease in less than a decade after beginning the treatment appears on the two models. This result is possible adopting effective control strategies.

A dinâmica de crescimento populacional de uma espécie é permeada pela relação entre as desvantagens da competição intraespecífica e os benefícios da presença de conspecíficos. Para muitas espécies, os benefícios da cooperação podem superar as desvantagens da competição. A correlação positiva entre tamanho populacional e adaptabilidade em populações muito pequenas é conhecida como efeito Allee demográfico. Apesar de haver modelos matemáticos isolados para os diferentes tipos de efeitos Allee, não há um modelo simples que os abranja e os conecte a modelos de crescimento mais gerais (como o de Richards). Propomos unificar modelos de efeitos Allee e o de crescimento de Richards em um modelo que permita um novo ponto de vista sobre o efeito Allee demográfico. Um exemplo do aumento das possibilidades descritivas de tal generalização é a emergência de mais de uma transição cooperação-competição quando considerado um caso particular desse novo modelo (Allee-Gompertz). Apesar da importância do crescimento populacional, a maioria dos modelos básicos de transmissão de doenças infecciosas considera o tamanho populacional constante ou adota simplificações pouco plausíveis. Nesta tese, mostramos as deficiências de um modelo compartimental dinâmico de tuberculose já consagrado e propomos um novo modelo com crescimento populacional logístico. Quando comparados, nosso modelo apresenta previsões mais pessimistas para a erradicação da doença a longo prazo quando testado com parâmetros que definem políticas de controle pouco eficientes. Realizamos tais predições adotando estratégias de controle de países desenvolvidos e subdesenvolvidos. Visto que esses modelos compartimentais desprezam aspectos espaciais, desenvolvemos uma modelagem computacional de agentes, baseada no modelo proposto, com duas estruturas subjacentes: redes aleatórias e redes reais. A súbita emergência de tuberculose resistente a drogas como consequência de tratamentos ineficazes é também um resultado das implementações desses modelos em dois cenários distintos. Esses resultados são comparados com os do modelo compartimental e com os de um modelo de estrutura subjacente mais simples e, como novo resultado, surge nos dois modelos a possibilidade de erradicação da doença em menos de uma década após o início do tratamento. Esse resultado é possível desde que sejam adotadas estratégias eficientes de controle. / The one-species population growth dynamics is permeated by the relationship between the harms from the intraspecific competition and the benefits from the presence of conspecifics. For many species, the benefits from conspecific cooperation may outweigh the harms from competition. The positive correlation between population size and total fitness in very small population known as demographic Allee effect. Although there are isolated mathematical models for different types of Allee effects, there is not a simple model that covers and connects them to more general growth models (like Richards). We propose to unify models of Allee effects and the Richards growth one in a model that allows a new perspective on the demographic Allee effect. An example of the increased descriptive possibilities of such generalization is the emergence of more than one transition cooperation-competition when considering a particular case of this new model (Gompertz-Allee). Despite the importance of population growth, most basic models of infectious diseases transmission considers population size constant or adopts implausible simplifications. In this thesis, we show the shortcomings of a dynamic compartmental model of tuberculosis already established and we propose a new model with population logistic growth. When compared, our model provides more pessimistic forecasts for the eradication of the disease in the long term if it is tested with parameters that define inefficient control policies. We perform such predictions adopting control strategies from developed and underdeveloped countries. Since these compartmental model disregards spatial aspects, we developed a computational agent model, based on the proposed model, with two underlying structures: random networks and real networks. The sudden emergence of drug-resistant tuberculosis as a result of ineffective treatments is also a result from the implementations of these models in two distinct scenarios. These results are compared with the ones from a compartimental model and with the ones from a model with simpler underlying structure and, as a new result, the possibility of eradicating the disease in less than a decade after beginning the treatment appears on the two models. This result is possible adopting effective control strategies.