Ce manuscrit regroupe différents travaux explorant les interactions entre les tenseurs et l'apprentissage automatique. Le premier chapitre est consacré à l'extension des modèles de séries reconnaissables de chaînes et d'arbres aux graphes. Nous y montrons que les modèles d'automates pondérés de chaînes et d'arbres peuvent être interprétés d'une manière simple et unifiée à l'aide de réseaux de tenseurs, et que cette interprétation s'étend naturellement aux graphes ; nous étudions certaines propriétés de ce modèle et présentons des résultats préliminaires sur leur apprentissage. Le second chapitre porte sur la minimisation approximée d'automates pondérés d'arbres et propose une approche théoriquement fondée à la problématique suivante : étant donné un automate pondéré d'arbres à n états, comment trouver un automate à m<n états calculant une fonction proche de l'originale. Le troisième chapitre traite de la régression de faible rang pour sorties à structure tensorielle. Nous y proposons un algorithme d'apprentissage rapide et efficace pour traiter un problème de régression dans lequel les sorties des tenseurs. Nous montrons que l'algorithme proposé est un algorithme d'approximation pour ce problème NP-difficile et nous donnons une analyse théorique de ses propriétés statistiques et de généralisation. Enfin, le quatrième chapitre introduit le modèle de mélanges algébriques de distributions. Ce modèle considère des combinaisons affines de distributions (où les coefficients somment à un mais ne sont pas nécessairement positifs). Nous proposons une approche pour l'apprentissage de mélanges algébriques qui étend la méthode tensorielle des moments introduite récemment. . / This thesis tackles several problems exploring connections between tensors and machine learning. In the first chapter, we propose an extension of the classical notion of recognizable function on strings and trees to graphs. We first show that the computations of weighted automata on strings and trees can be interpreted in a natural and unifying way using tensor networks, which naturally leads us to define a computational model on graphs: graph weighted models; we then study fundamental properties of this model and present preliminary learning results. The second chapter tackles a model reduction problem for weighted tree automata. We propose a principled approach to the following problem: given a weighted tree automaton with n states, how can we find an automaton with m<n states that is a good approximation of the original one? In the third chapter, we consider a problem of low rank regression for tensor structured outputs. We design a fast and efficient algorithm to address a regression task where the outputs are tensors. We show that this algorithm generalizes the reduced rank regression method and that it offers good approximation, statistical and generalization guarantees. Lastly in the fourth chapter, we introduce the algebraic mixture model. This model considers affine combinations of probability distributions (where the weights sum to one but may be negative). We extend the recently proposed tensor method of moments to algebraic mixtures, which allows us in particular to design a learning algorithm for algebraic mixtures of spherical Gaussian distributions.

Comme la puissance de calcul des systèmes de calcul haute performance continue de croître, en utilisant un grand nombre de cœurs CPU ou d’unités de calcul spécialisées, les applications hautes performances destinées à la résolution des problèmes de très grande échelle sont de plus en plus sujettes à des pannes. En conséquence, la communauté de calcul haute performance a proposé de nombreuses contributions pour concevoir des applications tolérantes aux pannes. Cette étude porte sur une nouvelle classe d’algorithmes numériques de tolérance aux pannes au niveau de l’application qui ne nécessite pas de ressources supplémentaires, à savoir, des unités de calcul ou du temps de calcul additionnel, en l’absence de pannes. En supposant qu’un mécanisme distinct assure la détection des pannes, nous proposons des algorithmes numériques pour extraire des informations pertinentes à partir des données disponibles après une pannes. Après l’extraction de données, les données critiques manquantes sont régénérées grâce à des stratégies d’interpolation pour constituer des informations pertinentes pour redémarrer numériquement l’algorithme. Nous avons conçu ces méthodes appelées techniques d’Interpolation-restart pour des problèmes d’algèbre linéaire numérique tels que la résolution de systèmes linéaires ou des problèmes aux valeurs propres qui sont indispensables dans de nombreux noyaux scientifiques et applications d’ingénierie. La résolution de ces problèmes est souvent la partie dominante; en termes de temps de calcul, des applications scientifiques. Dans le cadre solveurs linéaires du sous-espace de Krylov, les entrées perdues de l’itération sont interpolées en utilisant les entrées disponibles sur les nœuds encore disponibles pour définir une nouvelle estimation de la solution initiale avant de redémarrer la méthode de Krylov. En particulier, nous considérons deux politiques d’interpolation qui préservent les propriétés numériques clés de solveurs linéaires bien connus, à savoir la décroissance monotone de la norme-A de l’erreur du gradient conjugué ou la décroissance monotone de la norme résiduelle de GMRES. Nous avons évalué l’impact du taux de pannes et l’impact de la quantité de données perdues sur la robustesse des stratégies de résilience conçues. Les expériences ont montré que nos stratégies numériques sont robustes même en présence de grandes fréquences de pannes, et de perte de grand volume de données. Dans le but de concevoir des solveurs résilients de résolution de problèmes aux valeurs propres, nous avons modifié les stratégies d’interpolation conçues pour les systèmes linéaires. Nous avons revisité les méthodes itératives de l’état de l’art pour la résolution des problèmes de valeurs propres creux à la lumière des stratégies d’Interpolation-restart. Pour chaque méthode considérée, nous avons adapté les stratégies d’Interpolation-restart pour régénérer autant d’informations spectrale que possible. Afin d’évaluer la performance de nos stratégies numériques, nous avons considéré un solveur parallèle hybride (direct/itérative) pleinement fonctionnel nommé MaPHyS pour la résolution des systèmes linéaires creux, et nous proposons des solutions numériques pour concevoir une version tolérante aux pannes du solveur. Le solveur étant hybride, nous nous concentrons dans cette étude sur l’étape de résolution itérative, qui est souvent l’étape dominante dans la pratique. Les solutions numériques proposées comportent deux volets. A chaque fois que cela est possible, nous exploitons la redondance de données entre les processus du solveur pour effectuer une régénération exacte des données en faisant des copies astucieuses dans les processus. D’autre part, les données perdues qui ne sont plus disponibles sur aucun processus sont régénérées grâce à un mécanisme d’interpolation. / As the computational power of high performance computing (HPC) systems continues to increase by using huge number of cores or specialized processing units, HPC applications are increasingly prone to faults. This study covers a new class of numerical fault tolerance algorithms at application level that does not require extra resources, i.e., computational unit or computing time, when no fault occurs. Assuming that a separate mechanism ensures fault detection, we propose numerical algorithms to extract relevant information from available data after a fault. After data extraction, well chosen part of missing data is regenerated through interpolation strategies to constitute meaningful inputs to numerically restart the algorithm. We have designed these methods called Interpolation-restart techniques for numerical linear algebra problems such as the solution of linear systems or eigen-problems that are the inner most numerical kernels in many scientific and engineering applications and also often ones of the most time consuming parts. In the framework of Krylov subspace linear solvers the lost entries of the iterate are interpolated using the available entries on the still alive nodes to define a new initial guess before restarting the Krylov method. In particular, we consider two interpolation policies that preserve key numerical properties of well-known linear solvers, namely the monotony decrease of the A-norm of the error of the conjugate gradient or the residual norm decrease of GMRES. We assess the impact of the fault rate and the amount of lost data on the robustness of the resulting linear solvers.For eigensolvers, we revisited state-of-the-art methods for solving large sparse eigenvalue problems namely the Arnoldi methods, subspace iteration methods and the Jacobi-Davidson method, in the light of Interpolation-restart strategies. For each considered eigensolver, we adapted the Interpolation-restart strategies to regenerate as much spectral information as possible. Through intensive experiments, we illustrate the qualitative numerical behavior of the resulting schemes when the number of faults and the amount of lost data are varied; and we demonstrate that they exhibit a numerical robustness close to that of fault-free calculations. In order to assess the efficiency of our numerical strategies, we have consideredan actual fully-featured parallel sparse hybrid (direct/iterative) linear solver, MaPHyS, and we proposed numerical remedies to design a resilient version of the solver. The solver being hybrid, we focus in this study on the iterative solution step, which is often the dominant step in practice. The numerical remedies we propose are twofold. Whenever possible, we exploit the natural data redundancy between processes from the solver toperform an exact recovery through clever copies over processes. Otherwise, data that has been lost and is not available anymore on any process is recovered through Interpolationrestart strategies. These numerical remedies have been implemented in the MaPHyS parallel solver so that we can assess their efficiency on a large number of processing units (up to 12; 288 CPU cores) for solving large-scale real-life problems.