L'objet de cette thèse est le développement de méthodes variationnelles pour l'étude des solutions presque-périodiques au sens de H. Bohr et au sens de Besicovitch de quelques classes d'équations différentielles ordinaires du second ordre à retard. Pour cela on utilise le Calcul des Variations en Moyenne Temporelle. Dans un premier temps on étudie une classe d'équations différentielles du type neutre, puis une classe d'équations différentielles à retard fini, enfin on s'intéresse à une classe d'équations différentielles à retard infini.

L'objectif de cette thèse est d'étudier les matériaux adoucissants à l'aide de modèles d'endommagement à gradient. On construit dans un premier temps le modèle local sous-jacent en montrant sa forme nécessairement standard, ce qui fournit automatiquement un cadre variationnel à l'écriture du problème d'évolution quasi-statique. Celui-ci est constitué des trois principes physiques d'irréversibilité, de stabilité et de bilan d'énergie. Cependant, la modélisation des matériaux adoucissants requiert un enrichissement du modèle local. La régularisation se fait par l'introduction de termes `a gradient d'endommagement dans le travail de déformation. Les mérites de l'approche variationnelles ainsi que les apports de la régularisation sont mis en évidence via l'étude des états homogènes. Dans une deuxième partie, on mène une étude de bifurcations et de stabilité d'une barre adoucissante en traction simple. On construit explicitement des états localisés bifurquant depuis la branche fondamentale homogène. On peut alors mettre en lumière différents phénomènes tels que la localisation conduisant `a la ruine de la structure ou les snap-back dans la réponse globale. Cette étude permet aussi mieux de comprendre le phénomène de localisation en termes de critères de sélection tels que ceux de non-bifurcation ou de stabilité. Par ailleurs, on illustre sur cet exemple l'utilisation du principe de conservation d'énergie pour gérer dans le cadre quasi-statique les évolutions non-régulières en temps. Finalement on propose dans une dernière partie des méthodes pour l'identification des paramètres du modèle dans le cas du béton. Par une analogie avec la mécanique de la rupture, on identifie tout d'abord la longueur interne au modèle `a l'aide de la densité d'énergie de surface du matériau. Les lois de rigidité et de dissipation sont quant à elles identifiées par le biais des états homogènes en se servant des diagrammes contrainte-déformation et de stabilité de la réponse homogène. On reprend alors l'essai PIED qui vise à stabiliser ces états dans un essai de traction simple en l'analysant dans le détail et en soulignant par une étude théorique et numérique l'utilité et le potentiel de cet essai.

Une approche récente permettant d'étudier les équations issues de la Mécanique des Fluides consiste à considérer les symétries de ces équations. Les succès des développements théoriques, notamment en turbulence, ont justifié la pertinence d'une telle approche. Sur le plan numérique, les méthodes d'intégration construites sur des arguments liés à la structure géométrique des équations s'appellent les intégrateurs géométriques. Dans la première partie de la thèse, on présente la classe d'intégrateurs géométriques probablement la plus connue; ce sont les intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens. Dans une seconde partie, on introduit les intégrateurs variationnels, construits pour reproduire les lois de conservation des systèmes lagrangiens. Cependant, la plupart des équations de la Mécanique des Fluides ne dérive pas d'un Lagrangien. On expose alors dans la dernière partie une méthode de construction de schémas numériques respectant les symétries d'une équation. Cette méthode est basée sur une formulation moderne des repères mobiles. On présente une contribution au développement de cette méthode; elle permet d'obtenir un schéma invariant possédant un ordre de précision déterminé. Des exemples issus des équations modèles de la Mécanique des Fluides sont traités.

Ce travail présente des recherches en Mathématiques appliquées au traitement d'image, en utilisant des approches de type variationnel. En fonction du problème de traitement d'image considéré, on construit une fonctionnelle dont le minimiseur correspond à l'image recherchée. Outre leur grande flexibilité, l'intérêt de ces approches est de pouvoir connaître des résultats qualitatifs sur les solutions obtenues, et ainsi de pouvoir évaluer l'efficacité des modèles.<br /> On présente d'une part des contributions à la<br />modélisation mathématique des images, et notamment des textures, et d'autre part des solutions à des problèmes en imagerie satellitaire.

Cette thèse s'intéresse à la résolution d'EDP non linéaire sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n 3 de la forme : . Ces équations ont une structure variationnelle et on cherche des solutions qui minimisent l'énergie : parmi les fonctions u de W1,2 qui vérifient Cf(u)= . Th. Aubin a montré qu'on a toujours : , où cn est une constante qui ne dépend que de la dimension, et que de plus si l'inégalité est stricte, alors l'équation a des solutions minimisantes. Je montre dans mon travail des théorèmes d'existence dans le cas limite où cette inégalité est une égalité en utilisant une notion de « fonction critique » introduite par E. Hebey et M. Vaugon, et je montre différents résultats concernant ces fonctions critiques.

Le travail présenté porte sur deux aspects des méthodes microscopiques variationnelles utilisées de manière extensive dans les calculs de structure nucléaire à basse énergie. La première étude se situe à l'approximation du champ moyen où la formalisation du lien entre la fonction d'onde d'un noyau pair-pair et celle du voisin pair-impair est revisitée. Afin d'en obtenir une description cohérente quelle que soit l'intensité de l'appariement dans le système, l'utilité de la formalisation de ce lien selon un processus en deux étapes est démontrée. La séparation des étapes autorise l'extraction d'effets associés à différents canaux de la force lors de l'ajout d'un nucléon dans la fonction d'onde du système. En particulier, des formules perturbatives évaluant la contribution des termes de la fonctionnelle impairs sous renversement du temps à l'énergie de séparation d'un nucléon en présence et en l'absence d'appariement sont dérivées. Des calculs auto-cohérents valident ensuite le schéma théorique ainsi que les formules d'approximation d'un point de vue quantitatif. Cette première étude se termine par une analyse approfondie de l'oscillation pair/impair des masses dans les noyaux. Le schéma développé permet à nouveau d'identifier la contribution de chacun des canaux de la force à cette observable. La nécessité d'une meilleure connaissance des termes impairs de la fonctionnelle de l'énergie pour conclure quant à la formule de différence de masses la plus apte à isoler le gap d'appariement au niveau de Fermi est identifiée. Ces termes n'étant pas sous contrôle aujourd'hui, c'est au prix d'un travail significatif sur ceux-ci qu'un ajustement précis de la force d'appariement sur l'oscillation pair/impair des masses expérimentales sera possible. La seconde étude porte sur les méthodes de calculs au-delà du champ moyen visant à inclure les corrélations associées aux mouvements de grande amplitude dans le noyaux. Leurs effets sont introduits au moyen de la GCM et de la méthode du champ moyen projeté qui se caractérisent par l'utilisation d'un mélange de fonctions de champ moyen non-orthogonales comme fonction d'essai dans le processus variationnel. Une théorie de perturbation permettant pour la première fois de fonder ces calculs sur une base diagrammatique est développée. Dans le même temps, la resommation des corrélations à deux corps autorise la définition de l'interaction effective minimale renormalisant les divergences associées au cur dur de l'interaction nucléon-nucléon libre dans ce contexte. Procédant à une approximation locale de cette interaction, la première prescription reposant sur des bases théoriques solides est proposée pour la dépendance en densité des forces effectives phénoménologiques à utiliser dans les calculs de mélange de configurations. Traitant d'une autre origine de la dépendance en densité de l'interaction, la possible renormalisation de l'effet des forces à plus de deux corps par une dépendance en la densité mixte est démontrée pour les calculs de mélange de configurations. La forme étendue de la force de Skyrme issue de ces développements formels est alors testée au moyen de calculs de mélange de configurations visant à reproduire le phénomène de coexistence de forme dans le 186Pb.

Cette thèse aborde le problème de la modélisation et de la détection des filaments dans des images 3D. Nous avons développé des méthodes variationnelles pour quatre applications spécifiques : l'extraction de routes où nous avons introduit la notion de courbure totale pour conserver les réseaux réguliers en tolérant les discontinuités de direction ; la détection et la complétion de filaments fortement bruités et présentant des occultations. Nous avons utilisé la magnétostatique et la théorie de Ginzburg-Landau pour représenter les filaments comme ensemble de singularités d'un champ vectoriel ; la détection de filaments dans des images biologiques acquises en microscopie confocale. On modélise les filaments en tenant compte des spécificités de cette dernière. Les filaments sont alors obtenus par une méthode de maximum à posteriori ; la détection de cibles dans des séquences d'images infrarouges. Dans cette application, on cherche des trajectoires optimisant la différence de luminosité moyenne entre la trajectoire et son voisinage en tenant compte des capteurs utilisés. Par ailleurs, nous avons démontré des résultats théoriques portant sur la courbure totale et la convergence de la méthode d'Alouges associée aux systèmes de Ginzburg-Landau. Ce travail réunit à la fois modélisation, résultats théoriques et recherche d'algorithmes numériques performants permettant de traiter de réelles applications.

Note de l'administrateur du service : le résumé de cette thèse est disponible dans le fichier déposé par l'auteur. Il ne peut techniquement pas être placé sous cette rubrique, dans la mesure où il contient des formules mathématiques avec des caractères grecs.

L'imagerie médicale joue un rôle de plus en plus important avec le développement de nombreuses techniques d'acquisition. Il faut principalement pouvoir restaurer (débruiter) les images et en faire une segmentation. Ainsi toute l'information qualitative et quantitative sera disponible pour affiner les diagnostics. Dans cette thèse nous proposons une contribution à cette analyse dans un contexte 3D. Nous étudions deux grands types de méthodes : les méthodes variationnelles et les méthodes par ondelettes. Nous commençons par présenter les modèles variationnels du second ordre, qui s'avèrent plus performants que la classique méthode du premier ordre de Rudin-Osher-Fatemi. Nous l'utilisons pour débruiter et segmenter après avoir donné un bref état de l'art des procédés d'acquisition des images en médecine. Nous introduisons ensuite la transformée en ondelettes et présentons des algorithmes basés sur cette méthode. Les résultats numériques montrent que ces méthodes sont performantes et compétitives. Le coeur de notre travail est de développer des rerésentations 3D qui sont bien adaptées à des données médicales complexes comme des images IRM sous échantillonnées, peu contrastées (cervelets de souris) ou des images IRM d'angiographie (cerveaux de souris). Chaque technique a ses avantages et ses inconvénients. Aussi nous proposons un modèle variationnel mixte second ordre / seuillage par ondelettes. Ce modèle se comporte particulièrement bien : le bruit est correctement éliminé et les contours et textures préservés. Pour finir, nous adaptons plusieurs méthodes de fermeture de contours (hystérésis et distance de chanfrein) dans un contexte 3D. Le mémoire se termine par une synthèses des résultats et une présentation de futures directions de recherche.

L’imagerie médicale joue un rôle de plus en plus important avec le développement de nombreuses techniques d’acquisition. Il faut principalement pouvoir restaurer (débruiter) les images et en faire une segmentation. Ainsi toute l’information qualitative et quantitative sera disponible pour affiner les diagnostics. Dans cette thèse nous proposons une contribution à cette analyse dans un contexte 3D. Nous étudions deux grands types de méthodes : les méthodes variationnelles et les méthodes par ondelettes. Nous commençons par présenter les modèles variationnels du second ordre, qui s’avèrent plus performants que la classique méthode du premier ordre de Rudin-Osher-Fatemi. Nous l’utilisons pour débruiter et segmenter après avoir donné un bref état de l’art des procédés d’acquisition des images en médecine. Nous introduisons ensuite la transformée en ondelettes et présentons des algorithmes basés sur cette méthode. Les résultats numériques montrent que ces méthodes sont performantes et compétitives. Le coeur de notre travail est de développer des rerésentations 3D qui sont bien adaptées à des données médicales complexes comme des images IRM sous échantillonnées, peu contrastées (cervelets de souris) ou des images IRM d’angiographie (cerveaux de souris). Chaque technique a ses avantages et ses inconvénients. Aussi nous proposons un modèle variationnel mixte second ordre / seuillage par ondelettes. Ce modèle se comporte particulièrement bien : le bruit est correctement éliminé et les contours et textures préservés. Pour finir, nous adaptons plusieurs méthodes de fermeture de contours (hystérésis et distance de chanfrein) dans un contexte 3D. Le mémoire se termine par une synthèses des résultats et une présentation de futures directions de recherche. / Medical procedures have become a critical application area that makes substantial use of image processing. Medical image processing tasks mainly deal with image restoration, image segmentation that bring out medical image details, measure quantitatively medical conditions etc. The diagnosis of a health problem is now highly dependent on the quality and the credibility of the image analysis. The practical contributions of this thesis can be considered in many directions for medical domain. This manuscript addresses a 3D image analysis with variational methods and wavelet transform in the context of medical image processing. We first survey the second-order variational minimization model, which was proved that better than the classical Rudin-Osher-Fatemi model. This method is considered in problems associated to image denoising, image segmentation, that makes a short state of the art on medical imaging processing techniques. Then we introduce the concept of wavelet transform and present some algorithms that also used in this domain. Experimental results show that these tools are very useful and competitive. The core of this research is the development of new 3D representations, which are well adapted to representing complicated medical data, and filament structures in 3D volumes: the cerebellum and mice vessels network. Each of these two based methods has advantages and disadvantages, we then propose a new modified model that combines these schemes in the rest of the thesis. In this situation we propose a new modified model that combines these schemes. With the new decomposition model, in the reconstructed image, noise can be removed successfully and contours, textures are well preserved. This leads to further improvements in denoising performance. Finally, the further part of the thesis is devoted to the description of contribution to extend some classical contour closing methods, namely hysteresis thresholding and contour closing based on chamfer distance transform, in the 3D context. The thesis concludes with a review of our main results and with a discussion of a few of many open problems and promising directions for further research and application.