L'objet de cette thèse de doctorat est d'étudier quelques aspects géométriques des espaces de Müntz (M'A et M~) dans C([O,l]) et LP([O,l]), 1 ::; p < 00. Ce travail comporte quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré aux préliminaires. Dans le deuxième chapitre, nous démontrerons plusieurs propriétés élémentaires des espaces de Müntz, ces propriétés expliquent la nature géométrique de ces espaces. On s'intéresse aussi à une nouvelle généralisation des espaces de Müntz en considérant les polynômes de Müntz à coefficients dans un Banach quelconque X. Dans le troisième chapitre, On construit un espace de Müntz n'ayant pas de complément dans LI ([0,1]). Comme application de ce travail, on retrouve certains résultats qui ont était récemment obtenus dans le livre de Vladimir I.Gurariy et Wolfgang Lusky, mais avec une méthode complètement différente. On donne aussi une base de Schauder explicite équivalente à la base canonique dans gl pour certains espaces de Müntz MX, avec A une suite non lacunaire. Dans une deuxième partie de ce chapitre, on étudie le cas LP([O, 1]), 1 ::; p < 00, nous verrons que certains phénomènes passent du cas p = 1 au cas p quelconque. Enfin, dans un quatrième chapitre on étudie les opérateurs de composition à poids sur les espaces de Müntz classiques. Notre résultat principal donne une estimation précise de la norme essentielle de cet opérateur agissant sur M'A en termes de valeur de cp et '!/J. Dans la deuxième partie de ce chapitre on étudie les opérateurs de composition à poids, définis sur les espaces de Müntz MX dans LI. / The main subject of this PHD thesis is the study of sorne geometric aspects of Müntz spaces (M'A and M~) in C([O, 1]) and LP([O, 1]),1 ::; p < 00. This work is composed offour chapters. The first chapter is devoted to preliminary. ln the second chapter, we prove sever al basic properties of Müntz spaces, these properties explain the geometric nature of these spaces. There is also a new generalization of Müntz spaces by considering the Müntz polynomials with coefficient in any Banach space X. The aim of the third one is to construct a Müntz space having no complement in LI ([0,1]). As an application of this work, we obtain sorne results that were recently obtained in the monograph of Vladimir I. Gurariy and Wolfgang Lusky, but with a method completely different. We also provide an explicit Schauder basis equivalent to the canonical base in gl for sorne Müntz spaces MX, with A not lacunary. ln a second part of this chapter, we study the case LP([O, 1]), 1 ::; p < 00, we will see that sorne phenomena still true in the case 1 < p < 00. Finally, in the fourth chapter, we discuss the problem of compactness for weighted composition operators T'ljJoC<p, defined on a Müntz space M'A. We compute the essential norm of such operators in terms of the value of r.p and '!/J. As a corollary, we obtain the exact values of essential norms of composition and multiplication operators. ln the second part of this chapter we study the weighted composition operators T'ljJoC<p, defined on a Müntz space MX in LI. TITRE DE LATHESE EN ANGLAIS: Transcrire en toutes lettres les symboles s'''pPiéc'''la:rnu;Vx-------------- Geometry of

Müntz polynomials arise from consideration of Müntz's Theorem, which is a beautiful generalization of Weierstrass's Theorem. We prove a new surprisingly simple representation for the Müntz orthogonal polynomials on the interval of orthogonality, and in particular obtain new formulas for some of the classical orthogonal polynomials (e.g. Legendre, Jacobi, Laguerre). This allows us to determine the strong asymptotics and endpoint limit asymptotics on the interval. The zero spacing behavior follows, as well as estimates for the smallest and largest zeros. This is the first time that such asymptotics have been obtained for general Müntz exponents. We also look at the asymptotic behavior outside the interval and the asymptotic properties of the associated Christoffel functions.

Pour une suite ⋀ = (λn) satisfaisant la condition de Müntz Σn 1/λn < +∞ et pour p ∈ [1,+∞), on définit l'espace de Müntz Mp⋀ comme le sous-espace fermé de Lp([0, 1]) engendré par les monômes yn : t ↦ tλn. L'espace M∞⋀ est défini de la même façon comme un sous-espace de C([0, 1]). Lorsque la suite (λn + 1/p)n est lacunaire avec un grand indice, nous montrons que la famille (gn) des monômes normalisés dans Lp est (1 + ε)-isométrique à la base canonique de lp. Dans le cas p = +∞, les monômes (yn) forment une famille normalisée et (1 + ε)-isométrique à la base sommante de c. Ces résultats sont un raffinement asymptotique d'un théorème bien connu pour les suites lacunaires. D'autre part, pour p ∈ [1, +∞), nous étudions les mesures de Carleson des espaces de Müntz, c'est-à-dire les mesures boréliennes μ sur [0,1) telles que l'opérateur de plongement Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) est borné. Lorsque ⋀ est lacunaire, nous prouvons que si les (gn) sont uniformément bornés dans Lp(μ), alors μ est une mesure de Carleson de Mq⋀ pour tout q > p. Certaines conditionsgéométriques sur μ au voisinage du point 1 sont suffsantes pour garantir la compacité de Jμ,p ou son appartenance à d'autres idéaux d'opérateurs plus fins. Plus précisément, nous estimons les nombres d'approximation de Jμ,p dans le cas lacunaire et nous obtenons même des équivalents pour certaines suites ⋀. Enfin, nous calculons la norme essentielle del'opérateur de moyenne de Cesàro Γp : Lp → Lp : elle est égale à sa norme, c'est-à-dire à p'. Ce résultat est aussi valide pour l'opérateur de Cesàro discret. Nous introduisons les sous-espaces de Müntz des espaces de Cesàro Cesp pour p ∈ [1, +∞]. Nous montrons que la norme essentielle de l'opérateur de multiplication par Ψ est égale à ∥Ψ∥∞ dans l'espace deCesàro, et à |Ψ(1)| dans les espaces de Müntz-Cesàro. / For a sequence ⋀ = (λn) satisfying the Müntz condition Σn 1/λn < +∞ and for p ∈ [1,+∞), we define the Müntz space Mp⋀ as the closed subspace of Lp([0, 1]) spanned by the monomials yn : t ↦ tλn. The space M∞⋀ is defined in the same way as a subspace of C([0, 1]). When the sequence (λn + 1/p)n is lacunary with a large ratio, we prove that the sequence of normalized Müntz monomials (gn) in Lp is (1 + ε)-isometric to the canonical basis of lp. In the case p = +∞, the monomials (yn) form a sequence which is (1 + ε)-isometric to the summing basis of c. These results are asymptotic refinements of a well known theorem for the lacunary sequences. On the other hand, for p ∈ [1, +∞), we investigate the Carleson measures for Müntz spaces, which are defined as the Borel measures μ on [0; 1) such that the embedding operator Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) is bounded. When ⋀ is lacunary, we prove that if the (gn) are uniformly bounded in Lp(μ), then for any q > p, the measure μ is a Carleson measure for Mq⋀. These questions are closely related to the behaviour of μ in the neighborhood of 1. Wealso find some geometric conditions about the behaviour of μ near the point 1 that ensure the compactness of Jμ,p, or its membership to some thiner operator ideals. More precisely, we estimate the approximation numbers of Jμ,p in the lacunary case and we even obtain some equivalents for particular lacunary sequences ⋀. At last, we show that the essentialnorm of the Cesàro-mean operator Γp : Lp → Lp coincides with its norm, which is p'. This result is also valid for the Cesàro sequence operator. We introduce some Müntz subspaces of the Cesàro function spaces Cesp, for p ∈ [1, +∞]. We show that the value of the essential norm of the multiplication operator TΨ is ∥Ψ∥∞ in the Cesàaro spaces. In the Müntz-Cesàrospaces, the essential norm of TΨ is equal to |Ψ(1)|.

In this thesis we study certain geometric properties of Müntz spa- ces as subspaces of continuous functions. In the first chapter we present some of the most important examples of the Müntz type theorems. Namely, we present the classic Müntz theorem and the Full Müntz theorem in the setting of the space of continuous functions on the interval [0, 1]. We also mention several extensions of these theorems to the case of continuous functions on the general interval [a, b] as well as an analogy of the Full Müntz theorem for the Lp ([0, 1]) spaces. The second chapter is divided into three sections. In the first section we present some definitions and well-known theorems of Choquet theory, which we use to characterize the Choquet boundary of Müntz spa- ces. In the second section we present the result concerning non-reflexivity of Müntz spaces as well as its corollary describing the non-existence of an equiva- lent uniformly convex norm on these spaces. In the third section, we concern ourselves with the question of Müntz spaces having the Radon-Nikodym pro- perty. As a main result of this part we show that a certain type of Müntz spaces doesn't have the Radon-Nikodym property. The final chapter contains a summary of some known results as well as open problems related to the theory of Müntz spaces....

Après avoir fait le point sur l’état des recherches dans l’Histoire de l’histoire de l’art, la thèse interroge la notion de Renaissance italienne à partir de l’esthétique classique (Quatremère) et de la réaction romantique en faveur du gothique (Lassus, Viollet-le-Duc, Didron) et des primitifs (Rio). L’auteur rapproche la définition de Renaissance consacrée par Michelet au débat contemporain entre tenants du gothique et de la Renaissance. On souligne en même temps, l’émergence de nouvelles données liées à la race et au milieu dans le débat sur la Renaissance (Beulé, Ramée, Viollet-le-Duc) qui insiste sur son origine latine et méditerranéenne. En suite sont approfondies la vision de Taine (fondée sur l’exaltation du corps, de la forme et du paganisme), celle de Renan et de Gebhart (qui placent les origines de la Renaissance au Moyen âge chrétien), et elles sont rapportée au nouveau climat philosophique et idéologique de la seconde moitié du siècle. Un nouveau pan du débat s’ouvre avec les doctrines de Courajod, qui place l’origine de la Renaissance en France au XIVe siècle, et de Müntz tenant de l’esthétique classique, partisan de l’origine italienne et d’une vision de la Renaissance en tant qu’ « âge d’or » de l’humanité. La dernière partie de la thèse suit le développement du débat au XXe siècle, et retrace la ‘victoire’ des tenants du Moyen âge (Mâle, Lemonnier, Michel, Vitry, contre Louis Dimier), la crise de l’histoire de la culture reléguée au second plan par le formalisme (Bertaux, Hourticq, Faure), la définition de Renaissance en tant que prolongement du Moyen âge de Focillon, pour conclure avec la ‘réforme’ de l’histoire de la culture opérée par André Chastel et sa nouvelle définition de Renaissance. / After an update on the state of research on the history of History of Art, the thesis questions the concept of the Italian Renaissance from the classical aesthetics (Quatremère) and the romantic reaction in favor of Gothic (Lassus, Viollet-le-Duc, Didron) and Primitives (Rio). The author makes a comparison between the definition of Renaissance given by Michelet and the contemporary debate between supporters of Gothic and supporters of Renaissance. It is noted -at the same time-, the emergence of new data related to race and “milieu” in the debate on the Renaissance (Beulé, Ramée, Viollet-le-Duc) who insists on his Latin and Mediterranean origin. Moreover, the thesis thoroughly analyzes the vision of Taine (based on the exaltation of the body, shape and paganism), Renan and Gebhart (who place the origins of the Renaissance to the Christian Middle Ages) according to the new philosophical and ideological climate of the second half of the century. A new side of the debate opens with the doctrines of Courajod, who places the origin of the Renaissance in France in the fourteenth century, and the theory of Müntz supporter of the classical aesthetics and advocate of Italian origin and the definition of Renaissance as a "Golden Age" of mankind. The last part of the thesis follows the development of the debate in the twentieth century, and traces the 'victory' of the supporters of the Middle Ages, (Mâle, Lemonnier, André Michel, Vitry, against Louis Dimier), the crisis in the history of culture overshadowed by the formalism (Bertaux, Hourtiq Faure), the definition of Renaissance as an extension of the Middle Ages by Focillon, concluding with the 'reform' of the history of culture made by André Chastel and his new definition of “Renaissance”.