We characterize trees that have greatest maximum p-Laplacian eigenvalue among all trees with a given degree sequence. We show that such extremal trees can be obtained by breadth-first search where the vertex degrees are non-increasing. These trees are uniquely determined up to isomorphism. Moreover, their structure does not depend on p. / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics

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Les approches bayésiennes sont largement utilisées dans le domaine du traitement du signal. Elles utilisent des informations a priori sur les paramètres inconnus à estimer ainsi que des informations sur les observations, pour construire des estimateurs. L'estimateur optimal au sens du coût quadratique est l'un des estimateurs les plus couramment employés. Toutefois, comme la loi a posteriori exacte a très souvent une forme complexe, il faut généralement recourir à des outils d'approximation bayésiens pour l'approcher. Dans ce travail, nous nous intéressons particulièrement à deux types de méthodes: les algorithmes d'échantillonnage Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et les approches basées sur des approximations bayésiennes variationnelles (VBA).La thèse est composée de deux parties. La première partie concerne les algorithmes d'échantillonnage. Dans un premier temps, une attention particulière est consacrée à l'amélioration des méthodes MCMC basées sur la discrétisation de la diffusion de Langevin. Nous proposons une nouvelle méthode pour régler la composante directionnelle de tels algorithmes en utilisant une stratégie de Majoration-Minimisation ayant des propriétés de convergence garanties. Les résultats expérimentaux obtenus lors de la restauration d'un signal parcimonieux confirment la rapidité de cette nouvelle approche par rapport à l'échantillonneur usuel de Langevin. Dans un second temps, une nouvelle méthode d'échantillonnage basée sur une stratégie d'augmentation des données est proposée pour améliorer la vitesse de convergence et les propriétés de mélange des algorithmes d'échantillonnage standards. L'application de notre méthode à différents exemples en traitement d'images montre sa capacité à surmonter les difficultés liées à la présence de corrélations hétérogènes entre les coefficients du signal.Dans la seconde partie de la thèse, nous proposons de recourir aux techniques VBA pour la restauration de signaux dégradés par un bruit non-gaussien. Afin de contourner les difficultés liées à la forme compliquée de la loi a posteriori, une stratégie de majoration est employée pour approximer la vraisemblance des données ainsi que la densité de la loi a priori. Grâce à sa flexibilité, notre méthode peut être appliquée à une large classe de modèles et permet d'estimer le signal d'intérêt conjointement au paramètre de régularisation associé à la loi a priori. L'application de cette approche sur des exemples de déconvolution d'images en présence d'un bruit mixte Poisson-gaussien, confirme ses bonnes performances par rapport à des méthodes supervisées de l'état de l'art. / Bayesian approaches are widely used in signal processing applications. In order to derive plausible estimates of original parameters from their distorted observations, they rely on the posterior distribution that incorporates prior knowledge about the unknown parameters as well as informations about the observations. The posterior mean estimator is one of the most commonly used inference rule. However, as the exact posterior distribution is very often intractable, one has to resort to some Bayesian approximation tools to approximate it. In this work, we are mainly interested in two particular Bayesian methods, namely Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling algorithms and Variational Bayes approximations (VBA).This thesis is made of two parts. The first one is dedicated to sampling algorithms. First, a special attention is devoted to the improvement of MCMC methods based on the discretization of the Langevin diffusion. We propose a novel method for tuning the directional component of such algorithms using a Majorization-Minimization strategy with guaranteed convergence properties.Experimental results on the restoration of a sparse signal confirm the performance of this new approach compared with the standard Langevin sampler. Second, a new sampling algorithm based on a Data Augmentation strategy, is proposed to improve the convergence speed and the mixing properties of standard MCMC sampling algorithms. Our methodological contributions are validated on various applications in image processing showing the great potentiality of the proposed method to manage problems with heterogeneous correlations between the signal coefficients.In the second part, we propose to resort to VBA techniques to build a fast estimation algorithm for restoring signals corrupted with non-Gaussian noise. In order to circumvent the difficulties raised by the intricate form of the true posterior distribution, a majorization technique is employed to approximate either the data fidelity term or the prior density. Thanks to its flexibility, the proposed approach can be applied to a broad range of data fidelity terms allowing us to estimate the target signal jointly with the associated regularization parameter. Illustration of this approach through examples of image deconvolution in the presence of mixed Poisson-Gaussian noise, show the good performance of the proposed algorithm compared with state of the art supervised methods.

This thesis develops ways of localizing the Ritz values of non-Hermitian matrices. The restarted Arnoldi method with exact shifts, useful for determining a few desired eigenvalues of a matrix, employs Ritz values to refine eigenvalue estimates. In the Hermitian case, using selected Ritz values produces convergence due to interlacing. No generalization of interlacing exists for non-Hermitian matrices, and as a consequence no satisfactory general convergence theory exists. To study Ritz values, I propose the inverse field of values problem for k Ritz values, which asks if a set of k complex numbers can be Ritz values of a matrix. This problem is always solvable for k = 1 for any complex number in the field of values; I provide an improved algorithm for finding a Ritz vector in this case. I show that majorization can be used to characterize, as well as localize, Ritz values. To illustrate the difficulties of characterizing Ritz values, this work provides a complete analysis of the Ritz values of two 3 × 3 matrices: a Jordan block and a normal matrix. By constructing conditions for localizing the Ritz values of a matrix with one simple, normal, sought-after eigenvalue, this work develops sufficient conditions that guarantee convergence of the restarted Arnoldi method with exact shifts. For general matrices, the conditions provide insight into the subspace dimensions that ensure that shifts do not cluster near the wanted eigenvalue. As Ritz values form the basis for many iterative methods for determining eigenvalues and solving linear systems, an understanding of Ritz value behavior for non-Hermitian matrices has the potential to inform a broad range of analysis.

We explore the connection between quantum error correction and quantum cryptography through the notion of conjugate (or complementary) channels. This connection is at the level of subspaces and operator subsystems; if we use a more general form of subsystem, the link between the two topics breaks down. We explore both the subspace and subsystem settings. Error correction arises as a means of addressing the issue of the introduction of noise to a message being sent from one party to another. Noise also plays a role in quantum measurement theory: If one wishes to measure a system that is in a particular state via a measurement apparatus, one can first act upon the system by a quantum channel, which can be thought of as a noise source, and then measure the resulting system using a different measurement apparatus. Such a setup amounts to the introduction of noise to the measurement process, yet has the advantage of preserving the measurement statistics. Preprocessing by a quantum channel leads to the partial order "cleaner than" on quantum probability measures. Other meaningful partial orders on quantum probability measures exist, and we shall investigate that of cleanness as well as that of absolute continuity. Lastly, we investigate partial orders on vectors corresponding to quantum states; such partial orders, namely majorization and trumping, have been linked to entanglement theory. We characterize trumping first by means of yet another partial order, power majorization, which gives rise to a family of examples. We then characterize trumping through the complete monotonicity of certain Dirichlet polynomials corresponding to the states in question. This not only generalizes a recent characterization of trumping, but the use of such mathematical objects simpli es the derivation of the result. / The Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC)

Trees that have greatest maximum p-Laplacian eigenvalue among all trees with a given degree sequence are characterized. It is shown that such extremal trees can be obtained by breadth-first search where the vertex degrees are non-increasing. These trees are uniquely determined up to isomorphism. Moreover, their structure does not depend on p.

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La tomographie par émission de positrons (TEP) est une technique d'imagerie nucléaire noninvasive qui permet de quantifier les fonctions métaboliques des organes à partir de la diffusion d'un radiotraceur injecté dans le corps. Alors que l'imagerie statique est souvent utilisée afin d'obtenir une distribution spatiale de la concentration du traceur, une meilleure évaluation de la cinétique du traceur est obtenue par des acquisitions dynamiques. En ce sens, la TEP dynamique a suscité un intérêt croissant au cours des dernières années, puisqu'elle fournit des informations à la fois spatiales et temporelles sur la structure des prélèvements de traceurs en biologie \textit{in vivo}. Les techniques de quantification les plus efficaces en TEP dynamique nécessitent souvent une estimation de courbes temps-activité (CTA) de référence représentant les tissus ou une fonction d'entrée caractérisant le flux sanguin. Dans ce contexte, de nombreuses méthodes ont été développées pour réaliser une extraction non-invasive de la cinétique globale d'un traceur, appelée génériquement analyse factorielle. L'analyse factorielle est une technique d'apprentissage non-supervisée populaire pour identifier un modèle ayant une signification physique à partir de données multivariées. Elle consiste à décrire chaque voxel de l'image comme une combinaison de signatures élémentaires, appelées \textit{facteurs}, fournissant non seulement une CTA globale pour chaque tissu, mais aussi un ensemble des coefficients reliant chaque voxel à chaque CTA tissulaire. Parallèlement, le démélange - une instance particulière d'analyse factorielle - est un outil largement utilisé dans la littérature de l'imagerie hyperspectrale. En imagerie TEP dynamique, elle peut être très pertinente pour l'extraction des CTA, puisqu'elle prend directement en compte à la fois la non-négativité des données et la somme-à-une des proportions de facteurs, qui peuvent être estimées à partir de la diffusion du sang dans le plasma et les tissus. Inspiré par la littérature de démélange hyperspectral, ce manuscrit s'attaque à deux inconvénients majeurs des techniques générales d'analyse factorielle appliquées en TEP dynamique. Le premier est l'hypothèse que la réponse de chaque tissu à la distribution du traceur est spatialement homogène. Même si cette hypothèse d'homogénéité a prouvé son efficacité dans plusieurs études d'analyse factorielle, elle ne fournit pas toujours une description suffisante des données sousjacentes, en particulier lorsque des anomalies sont présentes. Pour faire face à cette limitation, les modèles proposés ici permettent un degré de liberté supplémentaire aux facteurs liés à la liaison spécifique. Dans ce but, une perturbation spatialement variante est introduite en complément d'une CTA nominale et commune. Cette variation est indexée spatialement et contrainte avec un dictionnaire, qui est soit préalablement appris ou explicitement modélisé par des non-linéarités convolutives affectant les tissus de liaisons non-spécifiques. Le deuxième inconvénient est lié à la distribution du bruit dans les images PET. Même si le processus de désintégration des positrons peut être décrit par une distribution de Poisson, le bruit résiduel dans les images TEP reconstruites ne peut généralement pas être simplement modélisé par des lois de Poisson ou gaussiennes. Nous proposons donc de considérer une fonction de coût générique, appelée $\beta$-divergence, capable de généraliser les fonctions de coût conventionnelles telles que la distance euclidienne, les divergences de Kullback-Leibler et Itakura-Saito, correspondant respectivement à des distributions gaussiennes, de Poisson et Gamma. Cette fonction de coût est appliquée à trois modèles d'analyse factorielle afin d'évaluer son impact sur des images TEP dynamiques avec différentes caractéristiques de reconstruction. / Thanks to its ability to evaluate metabolic functions in tissues from the temporal evolution of a previously injected radiotracer, dynamic positron emission tomography (PET) has become an ubiquitous analysis tool to quantify biological processes. Several quantification techniques from the PET imaging literature require a previous estimation of global time-activity curves (TACs) (herein called \textit{factors}) representing the concentration of tracer in a reference tissue or blood over time. To this end, factor analysis has often appeared as an unsupervised learning solution for the extraction of factors and their respective fractions in each voxel. Inspired by the hyperspectral unmixing literature, this manuscript addresses two main drawbacks of general factor analysis techniques applied to dynamic PET. The first one is the assumption that the elementary response of each tissue to tracer distribution is spatially homogeneous. Even though this homogeneity assumption has proven its effectiveness in several factor analysis studies, it may not always provide a sufficient description of the underlying data, in particular when abnormalities are present. To tackle this limitation, the models herein proposed introduce an additional degree of freedom to the factors related to specific binding. To this end, a spatially-variant perturbation affects a nominal and common TAC representative of the high-uptake tissue. This variation is spatially indexed and constrained with a dictionary that is either previously learned or explicitly modelled with convolutional nonlinearities affecting non-specific binding tissues. The second drawback is related to the noise distribution in PET images. Even though the positron decay process can be described by a Poisson distribution, the actual noise in reconstructed PET images is not expected to be simply described by Poisson or Gaussian distributions. Therefore, we propose to consider a popular and quite general loss function, called the $\beta$-divergence, that is able to generalize conventional loss functions such as the least-square distance, Kullback-Leibler and Itakura-Saito divergences, respectively corresponding to Gaussian, Poisson and Gamma distributions. This loss function is applied to three factor analysis models in order to evaluate its impact on dynamic PET images with different reconstruction characteristics.

The symplectic formalism applied to the phase-space representation of bosonic quantum systems provides us with a powerful mathematical tool for the characterisation of Gaussian states and transformations. As a consequence, quantum information protocols involving the latter are very well understood from a theoretical point of view. Nevertheless, it has become clear in recent years that the use of non-Gaussian resources is necessary in order to perform various crucial information-processing tasks. An illustration of this fact can for instance be found in situations where a Gaussian no-go theorem precludes the use of Gaussian transformations in order to achieve a task involving Gaussian states, such as quantum entanglement distillation, quantum error correction, or universal quantum computation. In the first part of this thesis, we develop a new method based on the generating function of a sequence, which gives rise to an elegant description of intrinsically non-Gaussian objects. Building on the generating function of the matrix elements of Gaussian unitaries in Fock basis, our approach gives access to the multi-photon transition probabilities via unexpectedly simple recurrence equations. The method is developed for Gaussian unitaries effecting both passive and active linear coupling between two bosonic modes. It predicts an interferometric suppression term which generalises the Hong-Ou-Mandel effect for more than two indistinguishable photons impinging on a balanced beam splitter. Furthermore, it exhibits an unsuspected 2-photon suppression effect in optical parametric amplification of gain 2, which originates from the indistinguishability between the input and output photon pairs. Finally, we extend our method to Bogoliubov transformations acting on an arbitrary number of modes. In the second part of this thesis, we introduce a class of Gaussian-dilatable bosonic quantum channels (characterised by a Gaussian unitary in their Stinespring dilation) called passive-environment channels. These channels are interesting from a quantum thermodynamical viewpoint because they correspond to the coupling of a bosonic system with a bosonic environment that is passive in the Fock-basis (that is, no energy can be extracted from it by using unitary transformations) followed by discarding the environment. Making use of the generating function, we provide a description of these channels in terms of Gaussian bosonic channels. We then introduce a new preorder relation called Fock-majorization, which coincides with regular majorization for passive states but also induces another relation in terms of mean boson number, thereby connecting the concepts of energy and disorder of a quantum state. We prove various properties of Fock-majorization, showing in particular that the latter can be interpreted as a relation indicating the existence of a heating or amplifying map between two quantum states. This new preorder relation happens to be relevant in the context of passive-environment bosonic channels. Indeed, we show that these channels are Fock-majorization-preserving, so that any two input states that obey a Fock-majorization relation are transformed into output states respecting a similar relation. As a consequence, it also implies that passive-environment channels are majorization-preserving over the set of passive states of the harmonic oscillator. The consequences of majorization preservation are discussed in the context of the so-called entropy photon-number inequality. Most of our results being independent of the specific nature of the system under investigation, they could be generalised to other quantum systems and Hamiltonians, providing new tools that may prove useful in quantum information theory. In the last part of our thesis, we lay out a resource theory of local activity for bosonic systems. We introduce a notion of local-activity distance, and compare it with the work that can be extracted from a quantum state under local unitaries assisted by passive global unitaries. With this framework, we hope to connect the area of continuous-variable bosonic channels together with quantum thermodynamics. / Le formalisme symplectique appliqué à la représentation des systèmes bosoniques dans l'espace des phases donne accès à un outil mathématique puissant pour la caractérisation des états gau-ssiens et transformations gaussiennes. Les protocoles d'information quantique impliquant ces derniers sont d'ailleurs très bien compris d'un point de vue théorique. Toutefois, il s'est avéré clair durant ces dernières années que l'utilisation de ressources non-gaussiennes est nécessaire afin d'effectuer des tâches cruciales de traitement de l'information. En effet, certaines tâches — telles que la distillation d’intrication quantique, le codage quantique ou encore le calcul quantique — impliquant des états gaussiens ne peuvent être effectuées avec des transformations gaussiennes. Dans la première partie de cette thèse, nous développons une nouvelle méthode basée sur la fonction génératrice d'une suite qui donne lieu à une description élégante d'objets intrinsèquement non-gaussiens. Se basant sur la fonction génératrice des éléments de matrice d'unitaires gaussiens dans la base de Fock, notre approche donne accès aux probabilités de transition multi-photon via des équations de récurrence étonnamment simples. La méthode est développée pour des unitaires gaussiens produisant des couplages linéaires passifs et actifs entres deux modes bosoniques. Elle prédit un terme d'interférence destructive qui généralise l'effet Hong-Ou-Mandel pour plus de deux photons indistinguables pénétrant dans un diviseur de faisceau équilibré. De plus, elle met en évidence un effet inattendu de suppression de deux photons dans un amplificateur paramétrique optique de gain 2. Cette suppression résulte de l’indistinguabilité entre les paires de photons d’entrée et de sortie. Finalement, nous étendons notre méthode à des transformations de Bogoliubov agissant sur un nombre de modes arbitraire. Dans la seconde partie de cette thèse, nous introduisons une classe de canaux quantiques bosoniques gaussiens-dilatables (caractérisés par un unitaire gaussien dans leur ``Stinespring dilation") appelés canaux à environnement passif. Ces canaux sont intéressants du point de vue de la thermodynamique quantique puisqu’ils correspondent au couplage d’un système bosonique avec un environnement bosonique qui est passif dans la base de Fock (en d’autres termes, il est impossible d’en extraire de l’énergie avec des transformations unitaires), suivi du rejet de l’environnement. Grâce à la fonction génératrice, nous fournissons une description de ces transformations en termes de canaux quantiques bosoniques gaussiens limités par le bruit du vide. Nous introduisons ensuite une nouvelle relation de pré-ordre appelé ``majorization" de Fock, qui coïncide avec la ``majorization" usuelle pour les états passifs mais induit une autre relation en terme du nombre moyen de bosons, connectant ainsi les concepts d’énergie et de désordre d’un état quantique. Dans ce contexte, nous prouvons des propriétés variées de la ``majorization" de Fock et montrons en particulier que cette dernière peut être interprétée comme une relation indiquant l’existence d’une transformation d’amplification entre deux états quantiques. Cette nouvelle relation de pré-ordre s’avère appropriée dans le contexte des canaux bosonique à environnement passif. En effet, nous montrons que ces canaux conservent la ``majorization" de Fock, de sorte que n’importe quels deux états d’entrée obéissant une relation de ``majorization" de Fock sont transformés en états de sortie vérifiant une relation similaire. En particulier, cela implique que les canaux à environnement passif préservent la ``majorization" pour l'ensemble des états passifs de l’oscillateur harmonique. Les conséquences de la préservation de la ``majorization" sont examinées dans le contexte de la ``entropy photon-number inequality". Étant indépendants de la nature spécifique du système étudié, la plupart de nos résultats peuvent être généralisés à d’autres systèmes et hamiltoniens quantiques, donnant lieu à de nouveaux outils qui pourraient s’avérer utiles en théorie de l’information quantique. Dans la dernière partie de notre thèse, nous mettons en place une théorie de l’activité locale pour les système bosoniques. Nous introduisons une notion de distance en terme d'activité locale et la comparons avec le travail qui peut être extrait d'un état quantique avec des unitaires locaux assistés par des unitaires globaux passifs. Le but à long terme est de se baser sur cette théorie afin de connecter les domaines des canaux bosoniques à variables continues et de la thermodynamique quantique. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur et technologie / info:eu-repo/semantics/nonPublished

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