Godkänd; 1994; 20080401 (ysko)

This thesis concerns the water wave problem corresponding to a piecewise constant vorticity function. There are several results connected to this field. In [1] the authors prove the existence of small-amplitude capillary-gravity water waves in the setting of unidirectional waves, and present an explicit form of the dispersion equation in the case when the vorticity function has two jumps. A two-layer model with constant but different vorticities is studied in [2], while in [3], an analysis of the dispersion equation for a three-layer model is given. In this thesis we first classify all stream solutions to the problem specified above, and then use our classification to prove and analyze solubility of the dispersion equation for a vorticity function with one jump. We do not require streams to be unidirectional (that is, we allow underlying counter-currents and internal stagnation).

Numerical approximations using high order finite differences on summation-byparts (SBP) form are investigated for discontinuous and fully nonlinear systems of partial differential equations. Stability and conservation properties of the approximations are obtained through a weak imposition of interface and boundary conditions with the simultaneous-approximation-term (SAT) technique. The SBP-SAT approximations replicate the continuous integration by parts rule. From this property, well-posedness and integral properties of the continuous problem are mimicked, and energy estimates leading to stability are obtained. The first part of the thesis focuses on the simulations of discontinuous linear advection problems. An artificial interface is introduced, separating parts of the spatial domain characterized by different wave speeds. A set of flexible stability conditions at the interface are derived, which can be adapted to yield conservative or non-conservative approximations. This model can be interpreted as a simplified version of nonlinear problems involving jumps at shocks, or as a prototypical of wave propagation through different materials. In the second part of the thesis, the vorticity/stream function formulation of the nonlinear momentum equation for an incompressible inviscid fluid is considered. SBP operators are used to derive a new Arakawa-like Jacobian with mimetic properties by combining different consistent approximations of the convection terms. Energy and enstrophy conservation is obtained for periodic problems using schemes with arbitrarily high order of accuracy. These properties are crucial for long-term numerical calculations in climate and weather forecasts or ocean circulation predictions. The third and final contribution of the thesis is dedicated to the incompressible Navier-Stokes problem. First, different completely general formulations of energy bounding boundary conditions are derived for the nonlinear equations. The boundary conditions can be used at both far field and solid wall boundaries. The discretisation in time and space with weakly imposed initial and boundary conditions using the SBP-SAT framework is proved to be stable and the divergence free condition is approximated with the design order of the scheme. Next, the same formulations are considered in a linearised setting, whereupon the spectra associated with the initial boundary value problem and its SBP-SAT discretisation are derived using the Laplace-Fourier technique. The influence of different boundary conditions on the spectrum and in particular the convergence to steady state is studied. / Numeriska approximationer av ekvationer som styr fysikaliska lagar är avgörande i många tillämpningar. Förutom en matematisk modell som kan fånga huvuddragen i ett verkligt problem är det nödvändigt att kunna utföra tillförlitliga simuleringar. Denna avhandling behandlar numeriska approximationer som med hög noggrannhet bevarar både rent matematiska aspekter av ekvationerna så väl som viktiga egenskaper hos modellen. Dessutom ges särskild uppmärksamhet åt modeller med diskontinuiteter och icke-linjära beteenden. Den första delen av avhandlingen handlar om diskontinuerliga problem. Det fysiska rummet kan ha olika egenskaper i olika regioner, något som kan resultera i instabila lösningar. Tillvägagångssättet består av att införa artificiella gränssnitt som skiljer dessa regioneråt. På detta sätt kan varje region behandlas separat, men på liknande sätt. Exempel på naturliga tillämningsområden är vågutbredning genom olika material och jordbävningssimuleringar. I den andra delen av avhandlingen visar vi att om den numeriska approximationen imiterar partiell integration, då följer också de väsentliga egenskaperna hos modellen på ett naturligt sätt. Att fysikaliska egenskaper bevaras är nödvändigt för att bibehålla stabilitet under långa simuleringstider för bland annat geofysiska problem. Den sista delen av avhandlingen är ägnasåt en av de mest använda modellerna inom strömningsmekanik, nämligen Navier-Stokes ekvationer. Studien fokuserar på härledningen av randvillkor som garanterar att lösningen inte växer på ett oförutsett och okontrollerat vis. Slutligen visas att de härledda randvillkoren på ett korrekt och noggrant sätt återskapar den dissipativa mekanism som ger upphov till jämviktstillstånd.

This thesis aims to overcome the drawbacks of traditional portfolio optimization by employing Generative Deep Neural Networks on real stock data. The proposed framework is capable of generating return data that have similar statistical characteristics as the original stock data. The result is acquired using Monte Carlo simulation method and presented in terms of individual risk. This method is tested on real Swedish stock market data. A practical example demonstrates how to optimize a portfolio based on the output of the proposed Generative Adversarial Networks.

In this thesis we consider problems related to rational inner functionsand several different Hilbert spaces on the unit polydisc. In the general introduction the functions and the function spaces we will be interested in are introduced, and in particular we point outproblems and phenomena that occur in higher dimensions and are notpresent for one variable functions. For example, we provide a detailed construction of a non-trivial shift-invariant subspace of Dirichlet-type spaces on the bidisc which is not fnitely generated. Furthermore, Clark-Aleksandrov measures are generalized to higher dimensions, and certain results about such measures are proved. Paper I concerns containment of rational inner functions in Dirichlet-type spaces on polydiscs. In particular a theorem relating H^p integrability of the partial derivatives of a rational inner function to containment of the function in certain Dirichlet-type spaces is proved. As a corollary, we see that every rational inner function on D^n belongs to the isotropic Dirichlet-type space with weight 1/n. In Paper II, Zhu's sub-Bergman spaces of one variable functions on the unit disc are generalized to weighted Bergman spaces on D^n. Unlike in one variable,we show that sub-Bergman spaces associated to a rational inner function are generally not contained in a weighted Bergman space of higher regularity. We also show how Clark measures on the n-torus can be used to study model spaces on D^n associated to rational inner functions.

Denna studie har som syfte att utifrån ett didaktiskt perspektiv undersöka hur derivata introduceras i gymnasiets Matematik 3-kurser. I en granskning av väsentlig litteratur har tidigare forskning och olika teorier inom området granskats. Ett antal intervjuer av gymnasielärare med varierade erfarenhet i ämnet matematik har genomförts. Som komplement till dessa intervjuer har en litteraturstudie av fyra Ma3b-kursböcker utförts. Det centrala innehållet i skolverkets kursplaner är det samma för båda Ma3b och Ma3c kurserna.Resultatet av analysen visar att de lärare som deltagit i studien undervisar begreppet derivata på ett liknande sätt. Det finns inte heller några avgörande skillnader i kurslitteraturen. Sammanfattningsvis visar analysen att det finns en röd tråd i hur detta avsnitt undervisas. En väg som både kursmaterial och lärare följer utan alltför stora avvikelser. Det som avviker från äldre studier är att inslagen av stöd i undervisningen av digitala hjälpmedel har ökat.

A bank run occurs when a large number of customers withdraw their deposits from a financial institution at the same time. This can destabilise the bank to the point where it runs out of cash and thus faces sudden bankruptcy. As more people withdraw their deposits, the likelihood of bankruptcy increases, thus triggering further withdrawals. In game theory this type of situation can be modelled as a “coordination game”, that is, a game with two pure equilibria: If sufficiently many people keep their money in the bank, then it will not default and it is rational for everyone to keep their money in the bank. On the other hand, if sufficiently many people withdraw their deposits the bank will default and it is then rational for everyone to try to withdraw their deposits. The overall objective of this study is to explain the phenomenon of bank runs by introducing the Diamond–Dybvig model. This model assumes that the function of a bank is to offer both long-term loans for investments and relatively short-term deposit service. Bank runs comes out as one of two equilibria when too many withdraw early before the long-term loans is paid back. Our task is to find out the condition that can lead to bank runs and more importantly, we will suggest two ways to address the problem of bank runs.

In this thesis we survey several interpolation methods that are used to construct the yield curves. We also review the bootstrapping and show that the bootstrap is closely connected to the interpolation in the case of bootstrapping yield curve. The most effort is dedicated, in this thesis, on the monotone convex method and on investigation of the difficulties to get accurate yield curves.

With the increasing popularity of interest rate swaps the need to understandswaptions, an option of an interest rate swap, is of great importance. A swap-tion can be used in both speculative purposes and to hedge against changesin interest rates. The most important thing to understand is the pricing for-mula. By starting at the basic rate instrument, bonds, we will work our waytowards the pricing formula for a swaption, the Black76 model. The Black76model is a variant of the Nobel prize winning formula Black-Scholes-Merton.With the pricing model we can start looking at the main scope of this thesis,a hedging strategy against swaptions from a clearinghouse perspective.Clearinghouses are central to the modern financial market. They act asa middleman in order to clear trades from clearing members and have anoversight of the financial market. In case a clearing member defaults, theclearinghouse will gain control over the defaulted portfolio. The clearing-house will host an auction of the portfolio which they strive to hold after5 to 15 days. When they hold the portfolio, they are exposed to the risksand therefore it’s of great importance to be able to hedge the assets in theportfolio. In this thesis a strategy and algorithm have been developed todelta-hedge swaptions in order to be delta-neutral under stable market con-ditions.In the thesis we will consider two cases. The first case is when the clear-inghouse receives the portfolio long before the swaptions maturity. In thiscase forward swaps are used to hedge and in order to reduce the number offorward swaps obtained, compression is used. The second case is when theswaption maturity will be reached within the period the clearinghouse holdsthe portfolio. For the days before maturity is reached, forward swaps andcompression is used. After maturity is reached interest rate swaps is used tohedge.For both cases the result is very close to achieving delta-neutrality. Withnormalized deltas with respect to the notional amount the mean delta ex-posure is of the magnitude 10−4 for the first case and 10−6 for the second.However, one thing to keep in mind is that everything is based on simu-lated values under some simplifying assumptions. This thesis should be asolid ground for future studies where more extreme scenarios are considered.With more extreme scenarios one could investigate the possibility to hedgewith Gamma or another Greek such as Vega. / Med den ökande användningen av ränteswappar är det av stor vikt att förståswaptioner, vilket är en option på en ränteswapp. En swaption kan användasbåde för spekulativa syften och för att hedgea mot risker i ränteförändringar.Det viktigaste att förstå är hur man prissätter en swaption. Eftersom swap-tioner baseras på underliggande tillgångar så kommer vi börja med det mestgrundläggande, obligationer, och arbeta oss fram till modellen vi kommer an-vända, Black76. Black76-modellen är en variant av den nobelprisvinnandemodellen Black-Scholes-Merton. Med denna modell kan vi börja undersökadet huvudsakliga syftet med avhandlingen, en hedgningsstrategi för swap-tioner från perspektivet av ett clearingshus.Clearinghus är en central del av den moderna finansmarknaden. De agerarsom en mellanhand för att hantera affärer mellan clearingmedlemmar ochhar en översikt över marknaden. Ifall en clearingmedlem går i konkurs,kommer clearinghuset att ta över portföljen med tillgångar. Clearinghusetkommer att hålla en auktion för att sälja av portföljen. De strävar efteratt hålla auktionen så snabbt som möjligt och det sker generellt efter 5 till15 dagar. Medan de har portföljen så är de exponerade mot riskerna i till-gångarna och därför är det av största vikt att kunna hedga tillgångarna. Iden här avhandlingen har en strategi och en algorithm tagits fram för attanvända delta-hedging för att uppnå delta-neutralitet under normala mark-nadsrörelser.Vi kommer att undersöka två olika fall. Det första fallet är när portföljen tasöver när det är lång tid kvar till swaptionens förfallodatum. Då kommer viatt använda forward swaps för att hedgea och för att minska antalet swapparkommer vi att använda kompression. Det andra fallet är när förfallodatumetuppnås under tiden som clearinghuset håller i portföljen. Dagarna innan för-fallodatumet kommer vi hedgea med forward swaps med kompression. Närdatumet är nått så kommer vi istället att använda ränteswappar.I båda fallen är resultaten nära att uppnå delta-neutralitet. Med normalis-erade deltan med avsenende på det nominella beloppet är medelvärdet avdelta-exponeringen av magnituden 10−4 för det första fallet och 10−6 för detandra. Men, det är värt att komma ihåg att allting är baserat på simuler-ade värden under förenklade antaganden. Denna avhandling bör utgöra enbra grund för vidare studier där man kan undersöka mer extrema mark-nadsrörelser. Med extremare rörelser skulle man kunna undersöka hedgn-ingsstrategier med andra Greker som till exempel Gamma och Vega.

We consider a class of partial differential equations whose solutions are elements of a space of measures. The motivation for modeling with measures is that sometimes selection-mutation models or models of for example population dynamics or opinion-formation are designed to describe not functions, but rather evolving distributions which can be described by measures. We present a way to prove wellposedness for a particular class of models. Additionally, we briefly discuss a couple of ways to perform the numerical approximation of the evolving measures so that their expected behaviour can be captured. / Vi undersöker en klass av partiella differentialekvationer vars lösningar tillhör rum av mått. Motivationen för att modellera med mått är att selektion-mutations modeller och modeller inom till exempel populationsdynamik och opinionsformation ibland inte beskriver funktioner utan snarare tidsberoende distributioner som kan beskrivas av mått. Vi presenterar ett sätt att bevisa att en specifik klass av dessa modeller är välställda. Vi diskuterar även lite om ett par sätt att använda numeriska approximationer för att visa det förväntade beteendet av de tidsberoende måtten.