This paper describes the tension between intuition about number theory and attempts to formalize it. I will first examine the root of the dilemma, Godel's First Incompleteness Theorem, which demonstrates that in any reasonable formalization of number theory, there will be independent statements. After proving the theorem, I consider some of its consequences on intuition, focusing on Freiling's "Dart Experiment" which is based on our usual notion of the real numbers as a line. This experiment gives an apparent refutation of the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis; however, it also leads to an equally apparent paradox. I conclude that such paradoxes are inevitable as the formalization of mathematics takes us further from our initial intuitions.

Os estudos da Epistemológica Genética são capazes de responder a maior parte dos problemas a respeito do conhecimento, todavia, acreditamos que é possível avançar mais na compreensão do papel ativo dos objetos e conteúdos. As operações lógicomatemáticas caracterizam situações ideais de ação mental, mas a introdução dos conteúdos dificulta a organização de um pensamento que precisa enfrentar os problemas do real. Defendemos a importância da atribuição de significados aos conteúdos como uma dos fatores determinantes dos modos de organização do pensamento. Estes significados são oriundos dos esquemas disponíveis a partir dos conhecimentos prévios do sujeito e são arranjados em sistemas de conjunto através de conexões lógicas que Piaget chamou de implicação significante. Temos chamado esta estrutura de conjunto, em virtude dos esquemas e de sua possibilidade de serem atribuídos aos objetos e às situações, de modelos de significação. Eles representam os modos pelos quais o sujeito arranja os conteúdos em função de suas particularidades. Nesse sentido, realizamos três provas com a intenção de pesquisar como os participantes significam problemas que envolvem operações aritméticas elementares, geometria plana e frações. A referência metodológica é o Método Clínico praticado pela Escola de Genebra. Foram investigados sessenta e um estudantes universitários. Em cada uma das atividades foi possível perceber a variedade de comportamentos dos adultos frente aos problemas, de maneira que suas condutas eram influenciadas enormemente pelos graus de complexidade e novidade da tarefa proposta. Por fim, concluímos que o pensamento do adulto apresenta uma estrutura muito poderosa que se desdobra em uma mobilidade e uma agilidade de raciocínio muito grandes. Entretanto, a presença de uma capacidade lógico-matemática não é garantia que o sujeito operará sempre da mesma maneira. Os conteúdos resistem à assimilação do sujeito e evidenciam o caráter ativo do objeto nos processos de interação. / The Genetic Epistemology studies are able to answer most part of the problems related to knowledge, otherwise, we believe that it is possible to go further into the objects and contents active role understanding. The mathematical logic operations characterize ideal mental action situations, but the contents introduction makes difficult the organization of a thought which needs to face the problems of the real. We are for the importance of meaning atribution to the contents as one of the determinant factors of the thought organization model. These meanings come from avaible schemas from subject previous knowledges and are placed into group systems through logical conection that Piaget called significant implication. We have called this structure of group, because of its schemas and their possibility of being related to objects and situations, of signification models. They represent the ways through which the subject place the contents according their particularities. So, three tests were applied with the objective of researching how participants significate problems that have elementary aritmetical operations, practical geometry and fractions. The methodological reference is the Clinical Method performed by the Genebra School. 61 university students were investigated. In each one of the activities it was possible to notice the variety of behaviours in adults facing the problems, in a way that their performance were strongly influenced by the complexity levels and novelty of the task proposed. At the end, we concluded that the adult thought presents a powerful structure that turns into a very high mobility and thought agility. However, the presence of a mathematical logic ability is not a guaranty that the subject will always work the same way. The contents resist to the subject aquisition and put in evidence the object active character in the interaction process.

Orientador: Sergio Roberto Nobre / Banca: Ítala Maria Loffredo D'Ottaviano / Banca: Lafayette de Moraes / Banca: Ubiratan D'Ambrosio / Banca: Henrique Lazari / Resumo: Este trabalho, organizado em três grandes eixos, focaliza a vida e a obra do Prof. Mario Tourasse Teixeira, mostrando-o como incentivador da atividade matemática e como precursor do movimento de Educação Matemática que teve origem em Rio Claro, estado de São Paulo. Inicialmente é apresentada uma biografia, procurando mostrar a face do homem, a do educador e a do matemático Mario Tourasse. A segunda parte do trabalho apresenta os temas de investigação que se constituíram em objeto de seu interesse, mostrando elos entre seu pensamento matemático, suas concepções e até alguns traços de seu comportamento. Nessa abordagem procurei apresentar algo sobre sua tese de doutoramento "M-álgebras", orientada pelo Prof. Antônio Aniceto Ribeiro Monteiro e pouco divulgada no universo acadêmico. Na última parte, explicito minhas crenças e os pressupostos teóricos dos quais me apropriei em busca de suporte para a realização deste trabalho. Assumindo que a História é a ciência dos homens em sociedade no tempo, como propôs Marc Bloch, revelo minhas concepções sobre a natureza do conhecimento histórico, minhas noções de documentos e fontes e discuto questões relacionadas aos métodos do historiador e à subjetividade do seu trabalho. / Abstract: This work, organised in three major stages, focuses on the life and work of Prof. Mario Tourasse Teixeira, showing him up as a great upholder of mathematical activities and a precursor of the movement towards Mathematics Education which started in Rio Claro, a town in the state of São Paulo. To begin with, his biography is presented, in an endeavour to show the man, the educator and the mathematician Mario Tourasse. The second part presents the topics that constituted his research interests, depicting links between his mathematical thoughtmathematical thought, his concepts and some of his behavioural ticks. Under this point of view, I tried to present something taken from his PhD thesis "M-algebras", which was supervised by Prof. Antonio Aniceto Ribeiro Monteiro but scarcely read in the academic world. In the last part I clarify my beliefs and the theoretical presuppositions which I used as support for this work. Assuming that History is the science of men inserted into a society in a given time, as proposed by Marc Bloch, I state not only my concepts about the nature of historical knowledge and my notions about documentation and sources but I also discuss questions related to the methods used by historians and to the subjectivity of their work. / Doutor

Os estudos da Epistemológica Genética são capazes de responder a maior parte dos problemas a respeito do conhecimento, todavia, acreditamos que é possível avançar mais na compreensão do papel ativo dos objetos e conteúdos. As operações lógicomatemáticas caracterizam situações ideais de ação mental, mas a introdução dos conteúdos dificulta a organização de um pensamento que precisa enfrentar os problemas do real. Defendemos a importância da atribuição de significados aos conteúdos como uma dos fatores determinantes dos modos de organização do pensamento. Estes significados são oriundos dos esquemas disponíveis a partir dos conhecimentos prévios do sujeito e são arranjados em sistemas de conjunto através de conexões lógicas que Piaget chamou de implicação significante. Temos chamado esta estrutura de conjunto, em virtude dos esquemas e de sua possibilidade de serem atribuídos aos objetos e às situações, de modelos de significação. Eles representam os modos pelos quais o sujeito arranja os conteúdos em função de suas particularidades. Nesse sentido, realizamos três provas com a intenção de pesquisar como os participantes significam problemas que envolvem operações aritméticas elementares, geometria plana e frações. A referência metodológica é o Método Clínico praticado pela Escola de Genebra. Foram investigados sessenta e um estudantes universitários. Em cada uma das atividades foi possível perceber a variedade de comportamentos dos adultos frente aos problemas, de maneira que suas condutas eram influenciadas enormemente pelos graus de complexidade e novidade da tarefa proposta. Por fim, concluímos que o pensamento do adulto apresenta uma estrutura muito poderosa que se desdobra em uma mobilidade e uma agilidade de raciocínio muito grandes. Entretanto, a presença de uma capacidade lógico-matemática não é garantia que o sujeito operará sempre da mesma maneira. Os conteúdos resistem à assimilação do sujeito e evidenciam o caráter ativo do objeto nos processos de interação. / The Genetic Epistemology studies are able to answer most part of the problems related to knowledge, otherwise, we believe that it is possible to go further into the objects and contents active role understanding. The mathematical logic operations characterize ideal mental action situations, but the contents introduction makes difficult the organization of a thought which needs to face the problems of the real. We are for the importance of meaning atribution to the contents as one of the determinant factors of the thought organization model. These meanings come from avaible schemas from subject previous knowledges and are placed into group systems through logical conection that Piaget called significant implication. We have called this structure of group, because of its schemas and their possibility of being related to objects and situations, of signification models. They represent the ways through which the subject place the contents according their particularities. So, three tests were applied with the objective of researching how participants significate problems that have elementary aritmetical operations, practical geometry and fractions. The methodological reference is the Clinical Method performed by the Genebra School. 61 university students were investigated. In each one of the activities it was possible to notice the variety of behaviours in adults facing the problems, in a way that their performance were strongly influenced by the complexity levels and novelty of the task proposed. At the end, we concluded that the adult thought presents a powerful structure that turns into a very high mobility and thought agility. However, the presence of a mathematical logic ability is not a guaranty that the subject will always work the same way. The contents resist to the subject aquisition and put in evidence the object active character in the interaction process.

Os estudos da Epistemológica Genética são capazes de responder a maior parte dos problemas a respeito do conhecimento, todavia, acreditamos que é possível avançar mais na compreensão do papel ativo dos objetos e conteúdos. As operações lógicomatemáticas caracterizam situações ideais de ação mental, mas a introdução dos conteúdos dificulta a organização de um pensamento que precisa enfrentar os problemas do real. Defendemos a importância da atribuição de significados aos conteúdos como uma dos fatores determinantes dos modos de organização do pensamento. Estes significados são oriundos dos esquemas disponíveis a partir dos conhecimentos prévios do sujeito e são arranjados em sistemas de conjunto através de conexões lógicas que Piaget chamou de implicação significante. Temos chamado esta estrutura de conjunto, em virtude dos esquemas e de sua possibilidade de serem atribuídos aos objetos e às situações, de modelos de significação. Eles representam os modos pelos quais o sujeito arranja os conteúdos em função de suas particularidades. Nesse sentido, realizamos três provas com a intenção de pesquisar como os participantes significam problemas que envolvem operações aritméticas elementares, geometria plana e frações. A referência metodológica é o Método Clínico praticado pela Escola de Genebra. Foram investigados sessenta e um estudantes universitários. Em cada uma das atividades foi possível perceber a variedade de comportamentos dos adultos frente aos problemas, de maneira que suas condutas eram influenciadas enormemente pelos graus de complexidade e novidade da tarefa proposta. Por fim, concluímos que o pensamento do adulto apresenta uma estrutura muito poderosa que se desdobra em uma mobilidade e uma agilidade de raciocínio muito grandes. Entretanto, a presença de uma capacidade lógico-matemática não é garantia que o sujeito operará sempre da mesma maneira. Os conteúdos resistem à assimilação do sujeito e evidenciam o caráter ativo do objeto nos processos de interação. / The Genetic Epistemology studies are able to answer most part of the problems related to knowledge, otherwise, we believe that it is possible to go further into the objects and contents active role understanding. The mathematical logic operations characterize ideal mental action situations, but the contents introduction makes difficult the organization of a thought which needs to face the problems of the real. We are for the importance of meaning atribution to the contents as one of the determinant factors of the thought organization model. These meanings come from avaible schemas from subject previous knowledges and are placed into group systems through logical conection that Piaget called significant implication. We have called this structure of group, because of its schemas and their possibility of being related to objects and situations, of signification models. They represent the ways through which the subject place the contents according their particularities. So, three tests were applied with the objective of researching how participants significate problems that have elementary aritmetical operations, practical geometry and fractions. The methodological reference is the Clinical Method performed by the Genebra School. 61 university students were investigated. In each one of the activities it was possible to notice the variety of behaviours in adults facing the problems, in a way that their performance were strongly influenced by the complexity levels and novelty of the task proposed. At the end, we concluded that the adult thought presents a powerful structure that turns into a very high mobility and thought agility. However, the presence of a mathematical logic ability is not a guaranty that the subject will always work the same way. The contents resist to the subject aquisition and put in evidence the object active character in the interaction process.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:31:43Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-12-07Bitstream added on 2014-06-13T19:21:05Z : No. of bitstreams: 1 souto_rma_dr_rcla.pdf: 1860479 bytes, checksum: cbcd5602cc543f88c9dfca5cf5715df8 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho, organizado em três grandes eixos, focaliza a vida e a obra do Prof. Mario Tourasse Teixeira, mostrando-o como incentivador da atividade matemática e como precursor do movimento de Educação Matemática que teve origem em Rio Claro, estado de São Paulo. Inicialmente é apresentada uma biografia, procurando mostrar a face do homem, a do educador e a do matemático Mario Tourasse. A segunda parte do trabalho apresenta os temas de investigação que se constituíram em objeto de seu interesse, mostrando elos entre seu pensamento matemático, suas concepções e até alguns traços de seu comportamento. Nessa abordagem procurei apresentar algo sobre sua tese de doutoramento M-álgebras, orientada pelo Prof. Antônio Aniceto Ribeiro Monteiro e pouco divulgada no universo acadêmico. Na última parte, explicito minhas crenças e os pressupostos teóricos dos quais me apropriei em busca de suporte para a realização deste trabalho. Assumindo que a História é a ciência dos homens em sociedade no tempo, como propôs Marc Bloch, revelo minhas concepções sobre a natureza do conhecimento histórico, minhas noções de documentos e fontes e discuto questões relacionadas aos métodos do historiador e à subjetividade do seu trabalho. / This work, organised in three major stages, focuses on the life and work of Prof. Mario Tourasse Teixeira, showing him up as a great upholder of mathematical activities and a precursor of the movement towards Mathematics Education which started in Rio Claro, a town in the state of São Paulo. To begin with, his biography is presented, in an endeavour to show the man, the educator and the mathematician Mario Tourasse. The second part presents the topics that constituted his research interests, depicting links between his mathematical thoughtmathematical thought, his concepts and some of his behavioural ticks. Under this point of view, I tried to present something taken from his PhD thesis M-algebras, which was supervised by Prof. Antonio Aniceto Ribeiro Monteiro but scarcely read in the academic world. In the last part I clarify my beliefs and the theoretical presuppositions which I used as support for this work. Assuming that History is the science of men inserted into a society in a given time, as proposed by Marc Bloch, I state not only my concepts about the nature of historical knowledge and my notions about documentation and sources but I also discuss questions related to the methods used by historians and to the subjectivity of their work.