Wuppertal, Universiẗat, Diss., 2001.

Konstanz, Univ., Diplomarbeit, 2006.

Techn. Universiẗat, Diss., 2002--Berlin.

We study numerical methods for finding the maximal symmetric positive definite solution of the nonlinear matrix equation $X = Q + LX^{-1}L^T$, where Q is symmetric positive definite and L is nonsingular. Such equations arise for instance in the analysis of stationary Gaussian reciprocal processes over a finite interval. Its unique largest positive definite solution coincides with the unique positive definite solution of a related discrete-time algebraic Riccati equation (DARE). We discuss how to use the butterfly SZ algorithm to solve the DARE. This approach is compared to several fixed point type iterative methods suggested in the literature.

In der Dissertation werden Schranken für Abschätzungen des Kommutators in verschiedenen Normen gegeben. Den Ausgangspunkt bildet die Frobenius-Norm, für die eine überraschend kleine Schranke bewiesen werden kann. Auf diesem Resultat aufbauend lassen sich über eine spezielle Adaption der Interpolationsmethode von Riesz-Thorin scharfe Schranken bei Verwendung von Schatten- und Vektornormen weitestgehend bestimmen. Es werden ferner die Fälle untersucht, in denen die obere Abschätzung erreicht wird (sog. Maximalität). Eine wichtige Rolle spielen verschiedene Darstellungen der Ungleichung, welche vielfältige Interpretationsmöglichkeiten eröffen und Verbindungen der algebraischen Abschätzung zu einem wichtigen Satz der Differentialgeometrie über die Krümmung von Mannigfaltigkeiten aufzeigen.

We study numerical methods for finding the maximal symmetric positive definite solution of the nonlinear matrix equation $X = Q + LX^{-1}L^T$, where Q is symmetric positive definite and L is nonsingular. Such equations arise for instance in the analysis of stationary Gaussian reciprocal processes over a finite interval. Its unique largest positive definite solution coincides with the unique positive definite solution of a related discrete-time algebraic Riccati equation (DARE). We discuss how to use the butterfly SZ algorithm to solve the DARE. This approach is compared to several fixed point type iterative methods suggested in the literature.

In der Dissertation werden Schranken für Abschätzungen des Kommutators in verschiedenen Normen gegeben. Den Ausgangspunkt bildet die Frobenius-Norm, für die eine überraschend kleine Schranke bewiesen werden kann. Auf diesem Resultat aufbauend lassen sich über eine spezielle Adaption der Interpolationsmethode von Riesz-Thorin scharfe Schranken bei Verwendung von Schatten- und Vektornormen weitestgehend bestimmen. Es werden ferner die Fälle untersucht, in denen die obere Abschätzung erreicht wird (sog. Maximalität). Eine wichtige Rolle spielen verschiedene Darstellungen der Ungleichung, welche vielfältige Interpretationsmöglichkeiten eröffen und Verbindungen der algebraischen Abschätzung zu einem wichtigen Satz der Differentialgeometrie über die Krümmung von Mannigfaltigkeiten aufzeigen.