Este trabalho trata das medidas de máxima entropia para certos difeomorfismos em nilvariedades. Considere um difeomorfismo parcialmente hiperbólico f definido em T3, dinamicamente coerente com folheação central compacta. Suponha ainda que a aplicação induzida por f no espaço das folhas centrais é um homeomorfismo de Anosov transitivo em T2. Mostramos que o conjunto das medidas ergódicas hiperbólicas de máxima entropia é enumerável. Usando o princípio de invariância, mostramos que se o primeiro retorno de f à alguma folha periódica tem número de rotação irracional, então, f tem no máximo duas medidas ergódicas de máxima entropia e ter apenas uma medida de máxima entropia equivale a ser extensão de rotação. Se a aplicação de primeiro retorno à alguma folha central periódica é Morse-Smale, então existe um su-toro periódico, ou temos uma cota superior para o número de medidas ergódicas de máxima entropia que depende do número de atratores da dinâmica nessa folha. Além disso, estudamos a topologia da bacia das medidas ergódicas de máxima entropia para uma outra classe de difeomorfismos especiais que são genéricos no espaço dos difeomorfismos absolutamente parcialmente hiperbólicos e denotada por SPH1(M). / This work is about maximal entropy measures for certain diffeomorphisms on nilmanifolds. Consider a partially hyperbolic diffeomorphism f on T3 , C2 , dinamically coherent with compact center foliation which is a circle bundle. Assume that the map induced by f on the space of center leaves is a transitive Anosov homeomorphism. We show that the set of hyperbolic ergodic maximal entropy measures of f is countable. Using the invariance principle, we show that if the first return map to some periodic leaf has irrational rotation number then f has at most two ergodic maximal entropy measures and, in this case, if f has only one maximal entropy measure then f is a rotation extension. If the first return map to some periodic leaf is Morse-Smale then either there exists some periodic su-torus or an upper bound for the number of ergodic maximal entropy measure depending on the number of the attractors of the dynamics in this leaf. Moreover, we study the topology of basin of ergodic maximal entropy measures of another set of special diffeomorphisms that are generic in the space of absolutely partially hyperbolic systems and denoted by SPH1(M).

Este trabalho trata das medidas de máxima entropia para certos difeomorfismos em nilvariedades. Considere um difeomorfismo parcialmente hiperbólico f definido em T3, dinamicamente coerente com folheação central compacta. Suponha ainda que a aplicação induzida por f no espaço das folhas centrais é um homeomorfismo de Anosov transitivo em T2. Mostramos que o conjunto das medidas ergódicas hiperbólicas de máxima entropia é enumerável. Usando o princípio de invariância, mostramos que se o primeiro retorno de f à alguma folha periódica tem número de rotação irracional, então, f tem no máximo duas medidas ergódicas de máxima entropia e ter apenas uma medida de máxima entropia equivale a ser extensão de rotação. Se a aplicação de primeiro retorno à alguma folha central periódica é Morse-Smale, então existe um su-toro periódico, ou temos uma cota superior para o número de medidas ergódicas de máxima entropia que depende do número de atratores da dinâmica nessa folha. Além disso, estudamos a topologia da bacia das medidas ergódicas de máxima entropia para uma outra classe de difeomorfismos especiais que são genéricos no espaço dos difeomorfismos absolutamente parcialmente hiperbólicos e denotada por SPH1(M). / This work is about maximal entropy measures for certain diffeomorphisms on nilmanifolds. Consider a partially hyperbolic diffeomorphism f on T3 , C2 , dinamically coherent with compact center foliation which is a circle bundle. Assume that the map induced by f on the space of center leaves is a transitive Anosov homeomorphism. We show that the set of hyperbolic ergodic maximal entropy measures of f is countable. Using the invariance principle, we show that if the first return map to some periodic leaf has irrational rotation number then f has at most two ergodic maximal entropy measures and, in this case, if f has only one maximal entropy measure then f is a rotation extension. If the first return map to some periodic leaf is Morse-Smale then either there exists some periodic su-torus or an upper bound for the number of ergodic maximal entropy measure depending on the number of the attractors of the dynamics in this leaf. Moreover, we study the topology of basin of ergodic maximal entropy measures of another set of special diffeomorphisms that are generic in the space of absolutely partially hyperbolic systems and denoted by SPH1(M).

Given a factor code [pi] from a shift of finite type X onto an irreducible sofic shift Y, and a fully supported ergodic measure v on Y we give an explicit upper bound on the number of ergodic measures on X which project to v and have maximal entropy among all measures in the fiber [pi]-1{v}. This bound is invariant under conjugacy. We relate this to an important construction for finite-to-one symbolic factor maps.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

No description available.

[pt] Nesta tese, estudamos algumas propriedades dinâmicas e geométricas do fluxo geodésico de certas variedades compactas sem pontos conjugados. A tese tem duas partes principais. Primeiro estendemos o trabalho de Gelfert-Ruggiero sobre a existência de um fator expansivo para o fluxo geodésico ao caso de superfícies compactas sem pontos conjugados e gênero maior que um. A idéia principal é definir uma relação de equivalência que colapsa as órbitas bi-asintóticas do fluxo geodésico. Isto induz um fator que preserva o tempo e é semi-conjugado ao fluxo geodésico sob o mapa do quociente. Além disso, o fator é expansivo, topologicamente misto e tem uma estrutura de produto local. Estas propriedades implicam que o fator tem uma única medida de máxima entropia. Levantamos esta medida para o fibrado tangente unitário e nos certificamos de que é a única medida de máxima entropia para o fluxo geodésico. Isto fornece uma prova alternativa do teorema de Climenhaga-Knieper-War para o resultado de unicidade. Na última parte da tese, estendemos alguns resultados de Gelfert e Ruggiero de superfícies compactas do gênero superior e sem pontos conjugados para n-variedades compactas sem pontos conjugados e recobrimento universal Gromov hiperbólico. Assumindo que os fibrados de Green são contínuos e a existência de uma geodésica fechada hiperbólica, mostramos que os fibrados de Green são tangentes às foliações horósfericas. Além disso, as foliações horósfericas são as únicas foliações contínuas do fibrado tangente unitário, invariantes pelo fluxo geodésico e que satisfazem uma condição de transversalidade local. Este fato só foi conhecido para superfícies compactas sem pontos conjugados pelo trabalho de Barbosa-Ruggiero, e em dimensões mais elevadas assumindo a condição mais forte de assíntota limitada pelo trabalho de Eschenburg. / [en] In this thesis, we study some dynamical and geometrical properties of the geodesic flow of certain compact manifolds without conjugate points. The thesis has two main parts. We first extend Gelfert-Ruggiero s work about the existence of an expansive factor for the geodesic flow to the case of compact surfaces without conjugate points and genus greater than one. The main idea is to define an equivalence relation that collapses biasymptotic orbits of the geodesic flow. This induces a factor time-preserving semi-conjugate to the geodesic flow under the quotient map. Moreover, the factor is expansive, topologically mixing and has a local product structure. These properties imply that the factor has a unique measure of maximal entropy. We lift this measure to the unit tangent bundle and make sure that it is the unique measure of maximal entropy for the geodesic flow. This provides an alternative proof of Climenhaga-Knieper-War’s theorem for the uniqueness result. In the last part of the thesis, we extend some results of Gelfert and Ruggiero from compact higher genus surfaces without conjugate points to compact n-manifolds without conjugate points and Gromov hyperbolic universal covering. Assuming that Green bundles are continuous and the existence of a hyperbolic closed geodesic, we show that Green bundles are tangent to the horospherical foliations. Moreover, the horospherical foliations are the only continuous foliations of the unit tangent bundle, invariant by the geodesic flow and satisfying a condition of local transversality. This fact was only known for compact surfaces without conjugate points by Barbosa-Ruggiero s work, and in higher dimensions assuming the stronger condition of bounded asymptote by Eschenburg s work.