O câncer (neoplasia) é uma das principais causas de mortalidade no mundo. Apesar dos grandes avanços no diagnóstico e nas formas de tratamento, ele ainda representa um enorme desafio para os pesquisadores de muitas áreas. Recentemente houve uma importante descoberta que poderá fornecer um paradigma completamente diferente no entendimento de como o câncer se inicia e cresce, com eventualmente profundas consequências nas formas de tratamento. Essa descoberta diz respeito a presença de células tronco adultas em tumores e seu possível papel no surgimento e crescimento destes. Propomos nesse trabalho um modelo matemático que considera a presença de células com propriedades de (a) auto renovação , (b) diferenciação e (c) mobilidade , características das células tronco. O modelo proposto é um autômato celular probabilístico com atualização assíncrona em uma rede. Cada elemento da rede pode estar vazio ou conter uma célula tumoral. Há dois tipos de células: as células rotuladas como do tipo 2 que são aquelas associadas com as células tronco tumorais e aquelas rotuladas como do tipo 1 que são as células diferenciadas, somente com capacidade de reprodução. A taxa de reprodução de cada célula é definida como uma função de sua vizinhança e tipo. Diferentes taxas de reprodução foram usadas nas simulações e as células do tipo 2 podem diferenciar-se ou mover-se. Os resultados das simulações mostram como a motilidade das células 2 e as taxas de reprodução de ambos os tipos de células influenciam os padrões morfológicos do tumor. Também investigamos uma possível transição de fase que pode estar relacionada a metástase. Essa transição de fase representa algo de grande interesse biológico, uma vez que a metástase é o mecanismo mais importante que leva o organismo a óbito. Compararemos nossos resultados com dados experimentais dos colaboradores Nascimento TL et al [1] da UNIFESP- Escola Paulista de Medicina. / Cancer (neoplasia) is one of the most dangerous diseases and one of the main cause of mortality around the world. Despite the great advances in diagnosis and treatment, it still represents a huge challenge to researchers of many areas. Recently there was a strinking discovery that may give rise to a complete different paradigm in the understanding of how cancer starts and grows, with eventually profound consequences in the forms of treatment. It is related to the ending of adult stem cells in tumors, and its possible role in the birth and growth of them. We propose in this work a mathematical model that takes into account the presence of cells with the properties of (a) self renewal, (b) differentiation and (c) mobility, characteristics of stem cells. The model developed is a probabilistic cellular automaton with asynchronous update set in a grid. Each element of the grid may be empty or contain a tumor cell. There are two types of cells: the cells labeled as type 2 are those associated with cancer stem cells and those labeled as type 1 are differentiated cells only capable of reproducing. The reproduction rate of each cell is defined as a function of its neighborhood and its type. Different rates of reproduction have been used in the simulations, and type 2 cells may differentiate and some motility. Our simulation results show how the motility of cells 2 and the reproduction rates of both types of cells influence the morphological patterns of tumor. We have also investigated a possible phase transition that may be related to metastasis. This phase transition represents something of great biological interest because metastasis is the most important mechanism that leads to death. We will compare our results with experimental data from collaborators Nascimento TL et al [1] in UNIFESP-Escola Paulista de Medicina.

O câncer (neoplasia) é uma das principais causas de mortalidade no mundo. Apesar dos grandes avanços no diagnóstico e nas formas de tratamento, ele ainda representa um enorme desafio para os pesquisadores de muitas áreas. Recentemente houve uma importante descoberta que poderá fornecer um paradigma completamente diferente no entendimento de como o câncer se inicia e cresce, com eventualmente profundas consequências nas formas de tratamento. Essa descoberta diz respeito a presença de células tronco adultas em tumores e seu possível papel no surgimento e crescimento destes. Propomos nesse trabalho um modelo matemático que considera a presença de células com propriedades de (a) auto renovação , (b) diferenciação e (c) mobilidade , características das células tronco. O modelo proposto é um autômato celular probabilístico com atualização assíncrona em uma rede. Cada elemento da rede pode estar vazio ou conter uma célula tumoral. Há dois tipos de células: as células rotuladas como do tipo 2 que são aquelas associadas com as células tronco tumorais e aquelas rotuladas como do tipo 1 que são as células diferenciadas, somente com capacidade de reprodução. A taxa de reprodução de cada célula é definida como uma função de sua vizinhança e tipo. Diferentes taxas de reprodução foram usadas nas simulações e as células do tipo 2 podem diferenciar-se ou mover-se. Os resultados das simulações mostram como a motilidade das células 2 e as taxas de reprodução de ambos os tipos de células influenciam os padrões morfológicos do tumor. Também investigamos uma possível transição de fase que pode estar relacionada a metástase. Essa transição de fase representa algo de grande interesse biológico, uma vez que a metástase é o mecanismo mais importante que leva o organismo a óbito. Compararemos nossos resultados com dados experimentais dos colaboradores Nascimento TL et al [1] da UNIFESP- Escola Paulista de Medicina. / Cancer (neoplasia) is one of the most dangerous diseases and one of the main cause of mortality around the world. Despite the great advances in diagnosis and treatment, it still represents a huge challenge to researchers of many areas. Recently there was a strinking discovery that may give rise to a complete different paradigm in the understanding of how cancer starts and grows, with eventually profound consequences in the forms of treatment. It is related to the ending of adult stem cells in tumors, and its possible role in the birth and growth of them. We propose in this work a mathematical model that takes into account the presence of cells with the properties of (a) self renewal, (b) differentiation and (c) mobility, characteristics of stem cells. The model developed is a probabilistic cellular automaton with asynchronous update set in a grid. Each element of the grid may be empty or contain a tumor cell. There are two types of cells: the cells labeled as type 2 are those associated with cancer stem cells and those labeled as type 1 are differentiated cells only capable of reproducing. The reproduction rate of each cell is defined as a function of its neighborhood and its type. Different rates of reproduction have been used in the simulations, and type 2 cells may differentiate and some motility. Our simulation results show how the motility of cells 2 and the reproduction rates of both types of cells influence the morphological patterns of tumor. We have also investigated a possible phase transition that may be related to metastasis. This phase transition represents something of great biological interest because metastasis is the most important mechanism that leads to death. We will compare our results with experimental data from collaborators Nascimento TL et al [1] in UNIFESP-Escola Paulista de Medicina.

O objetivo deste trabalho foi o estudo do Ansatz de Bethe Algébrico (ABA), que é uma técnica utilizada na obtenção dos auto-estados do hamiltoniano de inúmeros modelos da Mecânica Estatística e da Teoria Quântica de Campos. Aplicamos este procedimento na diagonalização de três modelos de spins: o modelo de Heisenberg, o modelo de Heisenberg-Sklyanin e o modelo de Heisenberg-Cherednik. Na diagonalização do primeiro modelo, não foi possível encontrar todos os auto-estados do hamiltoniano através do ABA e, durante o procedimento de obtenção das expressões analíticas, nos deparamos com um conjunto de identidades inédito na literatura. A matriz de borda do modelo de Heisenberg-Sklyanin acopla o último e o primeiro sítios, generalizando o modelo anterior, e permite estabelecer uma relação limite com outros modelos integráveis. Neste caso também não conseguimos obter todos os auto-estados utilizando a técnica do ABA. Diferentemente do que ocorreu para os primeiros modelos, o de Heisenberg-Cherednik, com acoplamentos que alternam a intensidade ao longo da cadeia de spin, apresentou um conjunto completo de auto-estados quando diagonalizado pelo ABA. / The goal of this work was to study the Algebraic Bethe ansatz (ABA), which is a technique used to obtain the eigenstates of Hamiltonian of many models of Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. We apply this procedure to diagonalize three types of spin models: the Heisenberg model, the Heisenberg-Sklyanin model and the Heisenberg-Cherednik model. On diagonalization of the …rst model, we could not …nd all the eigenstates of Hamiltonian through ABA, and during the procedure for obtaining the analytical expressions, we face an unprecedented set of identities in literature. The Sklyanin´s boundary matrix couples the fi…rst and last sites, generalizing the previous model, and provides a limit for other integrable models. In this case also did not get all eigenstates using the technique of ABA. Unlike what happened with the …rst models, the Heisenberg-Cherednik model, with alternating couplings the intensity along the spin chain, presented a complete set of eigenstates when diagonalized by ABA.

O objetivo deste trabalho foi o estudo do Ansatz de Bethe Algébrico (ABA), que é uma técnica utilizada na obtenção dos auto-estados do hamiltoniano de inúmeros modelos da Mecânica Estatística e da Teoria Quântica de Campos. Aplicamos este procedimento na diagonalização de três modelos de spins: o modelo de Heisenberg, o modelo de Heisenberg-Sklyanin e o modelo de Heisenberg-Cherednik. Na diagonalização do primeiro modelo, não foi possível encontrar todos os auto-estados do hamiltoniano através do ABA e, durante o procedimento de obtenção das expressões analíticas, nos deparamos com um conjunto de identidades inédito na literatura. A matriz de borda do modelo de Heisenberg-Sklyanin acopla o último e o primeiro sítios, generalizando o modelo anterior, e permite estabelecer uma relação limite com outros modelos integráveis. Neste caso também não conseguimos obter todos os auto-estados utilizando a técnica do ABA. Diferentemente do que ocorreu para os primeiros modelos, o de Heisenberg-Cherednik, com acoplamentos que alternam a intensidade ao longo da cadeia de spin, apresentou um conjunto completo de auto-estados quando diagonalizado pelo ABA. / The goal of this work was to study the Algebraic Bethe ansatz (ABA), which is a technique used to obtain the eigenstates of Hamiltonian of many models of Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. We apply this procedure to diagonalize three types of spin models: the Heisenberg model, the Heisenberg-Sklyanin model and the Heisenberg-Cherednik model. On diagonalization of the …rst model, we could not …nd all the eigenstates of Hamiltonian through ABA, and during the procedure for obtaining the analytical expressions, we face an unprecedented set of identities in literature. The Sklyanin´s boundary matrix couples the fi…rst and last sites, generalizing the previous model, and provides a limit for other integrable models. In this case also did not get all eigenstates using the technique of ABA. Unlike what happened with the …rst models, the Heisenberg-Cherednik model, with alternating couplings the intensity along the spin chain, presented a complete set of eigenstates when diagonalized by ABA.