In this thesis, we investigate two stock price models, the Black-Scholes (BS) model and the Merton Jump-Diffusion (MJD) model. Comparing the logarithmic return of the BS model and the MJD model with empirical stock price data, we conclude that the Merton Jump-Diffusion Model is substantially more suitable for the stock market. This is concluded visually not only by comparing the density functions but also by analyzing mean, variance, skewness and kurtosis of the log-returns. One technical contribution to the thesis is a suggested decision rule for initial guess of a maximum likelihood estimation of the MJD-modeled parameters.

The purpose of this thesis is to compare option pricing models. We have investigated the constant volatility models Black-Scholes-Merton (BSM) and Merton’s Jump Diffusion (MJD) as well as the stochastic volatility models Heston and Bates. The data used were option prices from Microsoft, Advanced Micro Devices Inc, Walt Disney Company, and the S&P 500 index. The data was then divided into training and testing sets, where the training data was used for parameter calibration for each model, and the testing data was used for testing the model prices against prices observed on the market. Calibration of the parameters for each model were carried out using the nonlinear least-squares method. By using the calibrated parameters the price was calculated using the method of Carr and Madan. Generally it was found that the stochastic volatility models, Heston and Bates, replicated the market option prices better than both the constant volatility models, MJD and BSM for most data sets. The mean average relative percentage error for Heston and Bates was found to be 2.26% and 2.17%, respectively. Merton and BSM had a mean average relative percentage error of 6.90% and 5.45%, respectively. We therefore suggest that a stochastic volatility model is to be preferred over a constant volatility model for pricing options. / Syftet med denna tes är att jämföra prissättningsmodeller för optioner. Vi har undersökt de konstanta volatilitetsmodellerna Black-Scholes-Merton (BSM) och Merton’s Jump Diffusion (MJD) samt de stokastiska volatilitetsmodellerna Heston och Bates. Datat vi använt är optionspriser från Microsoft, Advanced Micro Devices Inc, Walt Disney Company och S&P 500 indexet. Datat delades upp i en träningsmängd och en test- mängd. Träningsdatat användes för parameterkalibrering med hänsyn till varje modell. Testdatat användes för att jämföra modellpriser med priser som observerats på mark- naden. Parameterkalibreringen för varje modell utfördes genom att använda den icke- linjära minsta-kvadratmetoden. Med hjälp av de kalibrerade parametrarna kunde priset räknas ut genom att använda Carr och Madan-metoden. Vi kunde se att de stokastiska volatilitetsmodellerna, Heston och Bates, replikerade marknadens optionspriser bättre än båda de konstanta volatilitetsmodellerna, MJD och BSM för de flesta dataseten. Medelvärdet av det relativa medelvärdesfelet i procent för Heston och Bates beräknades till 2.26% respektive 2.17%. För Merton och BSM beräknades medelvärdet av det relativa medelvärdesfelet i procent till 6.90% respektive 5.45%. Vi anser därför att en stokastisk volatilitetsmodell är att föredra framför en konstant volatilitetsmodell för att prissätta optioner.

The paper examines the impact of fees on the return of a fund investment using different simulation and fee structure models. The results show that fees have a significant expected impact, particularly for well-performing funds. Two simulation models were used, the Geometric Brownian Motion (GBM) model and Merton Jump Diffusion (MJD) model. Two fee structures were also analysed for each simulation, a High-water mark fee structure and a Hurdle fee structure. Comparing the GBM and MJD models, the two tend to generate very similar fee statistics even though the MJD model's day-to-day returns fit better with empirical data. When comparing the HWM and Hurdle fee models, larger differences are observed. While overall average fee statistics are similar, the performance fee statistics are significantly higher in the Hurdle fee structure for assets achieving higher returns, e.g. at least an 8% annual return. However, the HWM fee structure tends to generate higher performance fees for assets with low returns. Regression models are also developed for each combination of the simulation model and fee structure. The regression models reflect the above conclusions and can for investors serve as simple key indicators to estimate expected fund fee payments. The GBM regression results are likely more useful than the MJD regression results, as the parameters of the former are easier to calculate based on historical return data. / Uppsatsen undersöker effekten av avgifter på avkastningen av en fondinvestering med hjälp av olika simuleringar och avgiftsmodeller. Resultaten visar att avgifter förväntas ha en betydande påverkan, särskilt för fonder som genererar hög avkastning. Två simuleringar användes, Geometric Brownian Motion (GBM) och Merton Jump Diffusion (MJD). Två avgiftsstrukturer analyserades också för varje simulering, en High-water mark avgiftsstruktur och en Hurdle avgiftsstruktur. Jämförelse mellan GBM och MJD-modellerna visar att de två tenderar att generera mycket liknande avgiftsstatistik trots att MJD-modellens dagliga avkastning passar bättre med empiriska data. Vid jämförelse av HWM- och Hurdle avgiftsmodellerna observeras större skillnader. Medan den övergripande genomsnittliga avgiftsstatistiken är liknande för avgiftsmodellerna, är resultatbaserade avgifterna betydligt högre i Hurdle avgiftsstrukturen för tillgångar som uppnår högre avkastning, t.ex. minst 8% årlig avkastning. Däremot tenderar HWM-avgiftsstrukturen att generera högre resultatbaserade avgifter för tillgångar med låg avkastning. Regressionsmodeller utvecklades också för varje kombination av simulering och avgiftsstruktur. Regressionmodellerna återspeglar ovanstående slutsatser och kan för investerare fungera som enkla nyckeltal för att uppskatta förväntad kostnad av fondavgifter. GBM-regressionsresultaten är sannolikt mer användbara än MJD-regressionsresultaten, eftersom parametrarna för den förra är lättare att beräkna baserat på historisk avkastningsdata.