We investigate systems with a mixed phase space, where regular and chaotic dynamics coexist. Classically, regions with regular motion, the regular islands, are dynamically not connected to regions with chaotic motion, the chaotic sea. Typically, this is also reflected in the quantum properties, where eigenstates either concentrate on the regular or the chaotic regions. However, it was shown that quantum mechanically, due to the tunneling process, a coupling is induced and flooding of regular islands may occur. This happens when the Heisenberg time, the time needed to resolve the discrete spectrum, is larger than the tunneling time from the regular region to the chaotic sea. In this case the regular eigenstates disappear. We study this effect by the time evolution of wave packets initially started in the chaotic sea and find increasing probability in the regular island. Using random matrix models a quantitative prediction is derived. We find excellent agreement with numerical data obtained for quantum maps and billiards systems. For open systems we investigate the phenomenon of flooding and disappearance of regular states, where the escape time occurs as an additional time scale. We discuss the reappearance of regular states in the case of strongly opened systems. This is demonstrated numerically for quantum maps and experimentally for a mushroom shaped microwave resonator. The reappearance of regular states is explained qualitatively by a matrix model. / Untersucht werden Systeme mit gemischtem Phasenraum, in denen sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik auftritt. In der klassischen Mechanik sind Gebiete regulärer Bewegung, die sogenannten regulären Inseln, dynamisch nicht mit den Gebieten chaotischer Bewegung, der chaotischen See, verbunden. Dieses Verhalten spiegelt sich typischerweise auch in den quantenmechanischen Eigenschaften wider, so dass Eigenfunktionen entweder auf chaotischen oder regulären Gebieten konzentriert sind. Es wurde jedoch gezeigt, dass aufgrund des Tunneleffektes eine Kopplung auftritt und reguläre Inseln geflutet werden können. Dies geschieht wenn die Heisenbergzeit, das heißt die Zeit die das System benötigt, um das diskrete Spektrum aufzulösen, größer als die Tunnelzeit vom Regulären ins Chaotische ist, wobei reguläre Eigenzustände verschwinden. Dieser Effekt wird über eine Zeitentwicklung von Wellenpaketen, die in der chaotischen See gestartet werden, untersucht. Es kommt zu einer ansteigenden Wahrscheinlichkeit in der regulären Insel. Mithilfe von Zufallsmatrixmodellen wird eine quantitative Vorhersage abgeleitet, welche die numerischen Daten von Quantenabbildungen und Billardsystemen hervorragend beschreibt. Der Effekt des Flutens und das Verschwinden regulärer Zustände wird ebenfalls mit offenen Systemen untersucht. Hier tritt die Fluchtzeit als zusätzliche Zeitskala auf. Das Wiederkehren regulärer Zustände im Falle stark geöffneter Systeme wird qualitativ mithilfe eines Matrixmodells erklärt und numerisch für Quantenabbildungen sowie experimentell für einen pilzförmigen Mikrowellenresonator belegt.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, in which regular and chaotic motion coexist. In the chaotic sea the classical transport is limited by partial barriers, which allow for a flux \Phi given by the corresponding turnstile area. Quantum mechanically the transport is suppressed if Planck's constant is large compared to the classical flux, h >> \Phi, while for h << \Phi classical transport is recovered. For the transition between these limiting cases there are many open questions, in particular concerning the correct scaling parameter and the width of the transition. To investigate this transition in a controlled way, we design a kicked system with a particularly simple phase-space structure, consisting of two chaotic regions separated by one dominant partial barrier. We find a universal scaling with the single parameter \Phi/h and a transition width of almost two orders of magnitude in \Phi/h. In order to describe this transition, we consider several matrix models. While the numerical data is not well described by the random matrix model proposed by Bohigas, Tomsovic, and Ullmo, a deterministic 2x2-model, a channel coupling model, and a unitary model are presented, which describe the transitional behavior of the designed kicked system. This is also confirmed for the generic standard map, suggesting a universal scaling behavior for the quantum transition of a partial barrier. / Generische Hamilton'sche Systeme besitzen einen gemischten Phasenraum, in dem sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik vorkommen. Der klassische Transport in der chaotischen See wird durch partielle Barrieren begrenzt, die nur einen Fluss \Phi hindurch lassen. Der quantenmechanische Transport ist stark unterdrückt, wenn die Planck'sche Konstante groß gegen den klassischen Fluss ist, h >> \Phi. Ist hingegen h << \Phi folgt die Quantenmechanik der klassischen Dynamik. Für den Übergangsbereich zwischen diesen Grenzfällen gibt es noch viele offene Fragen, insbesondere bezüglich des richtigen Skalierungsparameters und der Breite des Übergangs. Um gezielt diesen Übergang zu untersuchen, haben wir ein System mit einem besonders einfachen Phasenraum entworfen. Er besteht aus zwei chaotischen Gebieten, die durch eine dominante partielle Barriere getrennt sind. Es zeigt sich, dass das universelle Verhalten durch den Parameter \Phi/h beschrieben wird und der Übergang sich über zwei Größenordnungen erstreckt. Wir betrachten verschiedene Matrixmodelle um diesen Übergang zu verstehen. Die numerischen Daten werden nicht durch das Zufallsmatrixmodell von Bohigas, Tomsovic und Ullmo beschrieben. Ein deterministisches 2x2-Modell, eine Kanalkopplung und ein unitäres Matrixmodell beschreiben hingegen den Übergang des entworfenen gekickten Systems. Die Tatsache, dass auch die generische Standardabbildung diesem Verhalten folgt, spricht für ein universelles Verhalten des Quantenübergangs einer partiellen Barriere.

The asymptotic state of a quantum system, which is in contact with a heat bath, is strongly disturbed by a time-periodic driving in comparison to a time-independent system. In this thesis an extensive picture of the asymptotic state of time-periodic quantum systems is drawn by relating it to the structure of the corresponding classical phase space. To this end the occupation probabilities of the Floquet states are analyzed with respect to their semiclassical property of being either regular or chaotic. The regular Floquet states are occupied with exponential weights e^{-betaeff Ereg} similar to the canonical weights e^{-beta E} of time-independent systems. The regular energies Ereg are defined by the quantization of the time-periodic system, whose classical properties also determine the effective temperature 1/betaeff. In contrast, the chaotic Floquet states acquire almost equal probabilities, irrespective of their time-averaged energy. Beyond these semiclassical properties the existence of avoided crossings in the spectrum is an intrinsic quantum property of time-periodic systems. Avoided crossings can strongly influence the entire occupation distribution. As an impressive application a novel switching mechanism is proposed in a periodically driven double well potential coupled to a heat bath. By a weak variation of the driving amplitude its asymptotic state is switched from the ground state in one well to a state with higher average energy in the other well. / Der asymptotische Zustand eines Quantensystems, das in Kontakt mit einem Wärmebad steht, wird durch einen zeitlich periodischen Antrieb gegenüber einem zeitunabhängigen System nachhaltig verändert. In dieser Arbeit wird ein umfassendes Bild über den asymptotischen Zustand zeitlich periodischer Quantensysteme entworfen, indem es diesen zur Struktur des zugehörigen klassischen Phasenraums in Beziehung setzt. Dazu werden die Besetzungswahrscheinlichkeiten der Floquet-Zustände hinsichtlich ihrer semiklassischen Eigenschaft analysiert, nach welcher sie entweder regulär oder chaotisch sind. Die regulären Floquet-Zustände sind mit exponentiellen Gewichten e^{-betaeff Ereg} ähnlich der kanonischen Verteilung e^{-beta E} zeitunabhängiger Systeme besetzt. Dabei sind die reguläre Energien Ereg durch die Quantisierung des Systems vorgegeben, dessen klassische Eigenschaften auch die effektive Temperatur 1/betaeff bestimmen. Die chaotischen Zustände dagegen haben fast einheitliche Besetzungswahrscheinlichkeiten, welche unabhängig von ihrer mittleren Energie sind. Über diese semiklassischen Eigenschaften hinaus ist das Auftreten von vermiedenen Kreuzungen im Spektrum eine intrinsisch quantenmechanische Eigenschaft zeitlich periodischer Systeme. Diese können die gesamte Besetzungsverteilung nachhaltig beeinflussen und finden eine eindrucksvolle Anwendung in Form eines neuartigen Schaltmechanismus in einem harmonisch modulierten Doppelmuldenpotential in Kontakt mit einem Wärmebad. Der asymptotische Zustand kann unter geringer Variation der Antriebsamplitude vom Grundzustand der einen Mulde in einen Zustand höherer mittlerer Energie in der anderen Mulde geschaltet werden.

The asymptotic state of a quantum system, which is in contact with a heat bath, is strongly disturbed by a time-periodic driving in comparison to a time-independent system. In this thesis an extensive picture of the asymptotic state of time-periodic quantum systems is drawn by relating it to the structure of the corresponding classical phase space. To this end the occupation probabilities of the Floquet states are analyzed with respect to their semiclassical property of being either regular or chaotic. The regular Floquet states are occupied with exponential weights e^{-betaeff Ereg} similar to the canonical weights e^{-beta E} of time-independent systems. The regular energies Ereg are defined by the quantization of the time-periodic system, whose classical properties also determine the effective temperature 1/betaeff. In contrast, the chaotic Floquet states acquire almost equal probabilities, irrespective of their time-averaged energy. Beyond these semiclassical properties the existence of avoided crossings in the spectrum is an intrinsic quantum property of time-periodic systems. Avoided crossings can strongly influence the entire occupation distribution. As an impressive application a novel switching mechanism is proposed in a periodically driven double well potential coupled to a heat bath. By a weak variation of the driving amplitude its asymptotic state is switched from the ground state in one well to a state with higher average energy in the other well. / Der asymptotische Zustand eines Quantensystems, das in Kontakt mit einem Wärmebad steht, wird durch einen zeitlich periodischen Antrieb gegenüber einem zeitunabhängigen System nachhaltig verändert. In dieser Arbeit wird ein umfassendes Bild über den asymptotischen Zustand zeitlich periodischer Quantensysteme entworfen, indem es diesen zur Struktur des zugehörigen klassischen Phasenraums in Beziehung setzt. Dazu werden die Besetzungswahrscheinlichkeiten der Floquet-Zustände hinsichtlich ihrer semiklassischen Eigenschaft analysiert, nach welcher sie entweder regulär oder chaotisch sind. Die regulären Floquet-Zustände sind mit exponentiellen Gewichten e^{-betaeff Ereg} ähnlich der kanonischen Verteilung e^{-beta E} zeitunabhängiger Systeme besetzt. Dabei sind die reguläre Energien Ereg durch die Quantisierung des Systems vorgegeben, dessen klassische Eigenschaften auch die effektive Temperatur 1/betaeff bestimmen. Die chaotischen Zustände dagegen haben fast einheitliche Besetzungswahrscheinlichkeiten, welche unabhängig von ihrer mittleren Energie sind. Über diese semiklassischen Eigenschaften hinaus ist das Auftreten von vermiedenen Kreuzungen im Spektrum eine intrinsisch quantenmechanische Eigenschaft zeitlich periodischer Systeme. Diese können die gesamte Besetzungsverteilung nachhaltig beeinflussen und finden eine eindrucksvolle Anwendung in Form eines neuartigen Schaltmechanismus in einem harmonisch modulierten Doppelmuldenpotential in Kontakt mit einem Wärmebad. Der asymptotische Zustand kann unter geringer Variation der Antriebsamplitude vom Grundzustand der einen Mulde in einen Zustand höherer mittlerer Energie in der anderen Mulde geschaltet werden.

Für das Verständnis einer Vielzahl von Problemen von der Himmelsmechanik bis hin zur Beschreibung von Molekülen spielen Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden eine entscheidende Rolle. Aufgrund der Dimensionalität gestaltet sich ein Verständnis dieser Systeme jedoch deutlich schwieriger als bei Systemen mit zwei oder weniger Freiheitsgraden. Die vorliegende Arbeit soll zum besseren Verständnis der klassischen und quantenmechanischen Eigenschaften getriebener Systeme mit zwei Freiheitsgraden beitragen. Hierzu werden dreidimensionale Schnitte durch den Phasenraum von 4D Abbildungen betrachtet. Anhand dreier Beispiele, deren Phasenräume zunehmend kompliziert sind, werden diese 3D Schnitte vorgestellt und untersucht. In einer sich anschließenden quantenmechanischen Untersuchung gehen wir auf zwei wichtige Aspekte ein. Zum einen untersuchen wir die quantenmechanischen Signaturen des klassischen "Arnold Webs". Es wird darauf eingegangen, wie die Quantenmechanik dieses Netz im semiklassischen Limes auflösen kann. Darüberhinaus widmen wir uns dem wichtigen Aspekt quantenmechanischer Kopplungen klassisch getrennter Phasenraumgebiete anhand der Untersuchung dynamischer Tunnelraten. Für diese wenden wir sowohl den in der Literatur bekannten "fictitious integrable system approach" als auch die Theorie des resonanz-unterstützen Tunnelns auf 4D Abbildungen an.:Contents ..... v 1 Introduction ..... 1 2 2D mappings ..... 5 2.1 Hamiltonian systems with 1.5 degrees of freedom ..... 5 2.2 The 2D standard map ..... 6 3 Classical dynamics of higher dimensional systems ..... 11 3.1 Coupled standard maps as paradigmatic example ..... 12 Stability of fixed points in 4D maps ..... 13 Center manifolds of elliptic degrees of freedom ..... 13 3.2 Near-integrable systems ..... 15 3.2.1 Analytical description of multidimensional, near-integrable systems ..... 15 Resonance structures in 4D maps ..... 16 3.2.2 Pendulum approximation ..... 18 3.2.3 Normal forms ..... 24 3.2.4 Arnold diffusion and Arnold web ..... 24 3.3 Numerical tools for the analysis of regular and chaotic motion ..... 26 3.3.1 Frequency analysis ..... 26 Aim of the frequency analysis ..... 26 Realizations of the frequency analysis ..... 27 Wavelet transforms ..... 30 3.3.2 Fast Lyapunov indicator ..... 31 3.3.3 Phase-space sections ..... 33 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 34 3.4 Systems with regular dynamics and a large chaotic sea ..... 35 3.4.1 Designed maps: Map with linear regular region, P_llu ..... 36 Phase space of the designed map with linear regular region ..... 38 FLI values ..... 41 Estimating the size of the regular region ..... 43 3.4.2 Designed maps: Islands with resonances, P_nnc ..... 46 Frequency analysis ..... 46 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 50 Frequency analysis for rank-2 resonance ..... 52 Phase-space sections at different positions p_1 and p_2 ..... 53 Using color to provide the 4-th coordinate ..... 53 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 57 Arnold diffusion ..... 58 3.4.3 Generic maps: Coupled standard maps, P_csm ..... 63 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 63 Analysis of fundamental frequencies ..... 66 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 69 4 Quantum Mechanics ..... 75 4.1 Quantization of Classical Maps ..... 77 4.2 Eigenstates of the time evolution operator U ..... 79 4.2.1 Eigenstates of P_llu ..... 80 4.2.2 Eigenstates of P_nnc ..... 84 4.2.3 Eigenstates of P_csm ..... 87 4.3 Quantum signatures of the stochastic layer ..... 89 4.3.1 Eigenstates resolving the stochastic layer ..... 90 4.3.2 Wave-packet dynamics into the stochastic layer ..... 94 4.4 Dynamical tunneling rates ..... 98 4.4.1 Numerical calculation of dynamical tunneling rates ..... 99 4.4.2 Direct regular-to-chaotic tunneling rates gamma^d of P_llu ..... 101 4.4.3 Prediction of gamma^d using the fictitious integrable system approach ..... 103 4.4.4 Dynamical tunneling rates of P_nnc ..... 105 4.4.5 Interlude: Theory of resonance assisted tunneling (RAT) ..... 106 4.4.6 Prediction of tunneling rates for P_nnc, RAT ..... 111 Selection rules from nonlinear resonances ..... 111 Energy denominators ..... 114 Estimating the parameters of the pendulum approximation from phase-space properties ..... 116 Prediction ..... 118 4.4.7 Dynamical tunneling rates of P_csm ..... 120 5 Summary and outlook ..... 123 Appendix ..... 125 A Potential of the designed map ..... 125 B Quantum-number assignment-algorithm ..... 128 C Alternate paths due to alternate resonances in the description of RAT ..... 131 D Alternate resonances in the description of RAT leading to different tunneling rates ..... 133 E Tunneling rates of map with nonlinear resonances but uncoupled regular region ..... 133 F Interpolation of quasienergies ..... 135 G 2D Poincar'e map for the pendulum approximation ..... 137 H RAT prediction broken down to single paths ..... 139 I Linearization of the pendulum approximation ..... 140 J Iterative diagonalization schemes for the semiclassical limit ..... 143 Inverse iteration ..... 143 Arnoldi method ..... 144 Lanczos algorithm ..... 144 List of figures ..... 148 Bibliography ..... 163 / Systems with more than two degrees of freedom are of fundamental importance for the understanding of problems ranging from celestial mechanics to molecules. Due to the dimensionality the classical phase-space structure of such systems is more difficult to understand than for systems with two or fewer degrees of freedom. This thesis aims for a better insight into the classical as well as the quantum mechanics of 4D mappings representing driven systems with two degrees of freedom. In order to analyze such systems, we introduce 3D sections through the 4D phase space which reveal the regular and chaotic structures. We introduce these concepts by means of three example mappings of increasing complexity. After a classical analysis the systems are investigated quantum mechanically. We focus especially on two important aspects: First, we address quantum mechanical consequences of the classical Arnold web and demonstrate how quantum mechanics can resolve this web in the semiclassical limit. Second, we investigate the quantum mechanical tunneling couplings between regular and chaotic regions in phase space. We determine regular-to-chaotic tunneling rates numerically and extend the fictitious integrable system approach to higher dimensions for their prediction. Finally, we study resonance-assisted tunneling in 4D maps.:Contents ..... v 1 Introduction ..... 1 2 2D mappings ..... 5 2.1 Hamiltonian systems with 1.5 degrees of freedom ..... 5 2.2 The 2D standard map ..... 6 3 Classical dynamics of higher dimensional systems ..... 11 3.1 Coupled standard maps as paradigmatic example ..... 12 Stability of fixed points in 4D maps ..... 13 Center manifolds of elliptic degrees of freedom ..... 13 3.2 Near-integrable systems ..... 15 3.2.1 Analytical description of multidimensional, near-integrable systems ..... 15 Resonance structures in 4D maps ..... 16 3.2.2 Pendulum approximation ..... 18 3.2.3 Normal forms ..... 24 3.2.4 Arnold diffusion and Arnold web ..... 24 3.3 Numerical tools for the analysis of regular and chaotic motion ..... 26 3.3.1 Frequency analysis ..... 26 Aim of the frequency analysis ..... 26 Realizations of the frequency analysis ..... 27 Wavelet transforms ..... 30 3.3.2 Fast Lyapunov indicator ..... 31 3.3.3 Phase-space sections ..... 33 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 34 3.4 Systems with regular dynamics and a large chaotic sea ..... 35 3.4.1 Designed maps: Map with linear regular region, P_llu ..... 36 Phase space of the designed map with linear regular region ..... 38 FLI values ..... 41 Estimating the size of the regular region ..... 43 3.4.2 Designed maps: Islands with resonances, P_nnc ..... 46 Frequency analysis ..... 46 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 50 Frequency analysis for rank-2 resonance ..... 52 Phase-space sections at different positions p_1 and p_2 ..... 53 Using color to provide the 4-th coordinate ..... 53 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 57 Arnold diffusion ..... 58 3.4.3 Generic maps: Coupled standard maps, P_csm ..... 63 FLI values and volume of the regular and stochastic region ..... 63 Analysis of fundamental frequencies ..... 66 Skew phase-space sections containing invariant eigenspaces ..... 69 4 Quantum Mechanics ..... 75 4.1 Quantization of Classical Maps ..... 77 4.2 Eigenstates of the time evolution operator U ..... 79 4.2.1 Eigenstates of P_llu ..... 80 4.2.2 Eigenstates of P_nnc ..... 84 4.2.3 Eigenstates of P_csm ..... 87 4.3 Quantum signatures of the stochastic layer ..... 89 4.3.1 Eigenstates resolving the stochastic layer ..... 90 4.3.2 Wave-packet dynamics into the stochastic layer ..... 94 4.4 Dynamical tunneling rates ..... 98 4.4.1 Numerical calculation of dynamical tunneling rates ..... 99 4.4.2 Direct regular-to-chaotic tunneling rates gamma^d of P_llu ..... 101 4.4.3 Prediction of gamma^d using the fictitious integrable system approach ..... 103 4.4.4 Dynamical tunneling rates of P_nnc ..... 105 4.4.5 Interlude: Theory of resonance assisted tunneling (RAT) ..... 106 4.4.6 Prediction of tunneling rates for P_nnc, RAT ..... 111 Selection rules from nonlinear resonances ..... 111 Energy denominators ..... 114 Estimating the parameters of the pendulum approximation from phase-space properties ..... 116 Prediction ..... 118 4.4.7 Dynamical tunneling rates of P_csm ..... 120 5 Summary and outlook ..... 123 Appendix ..... 125 A Potential of the designed map ..... 125 B Quantum-number assignment-algorithm ..... 128 C Alternate paths due to alternate resonances in the description of RAT ..... 131 D Alternate resonances in the description of RAT leading to different tunneling rates ..... 133 E Tunneling rates of map with nonlinear resonances but uncoupled regular region ..... 133 F Interpolation of quasienergies ..... 135 G 2D Poincar'e map for the pendulum approximation ..... 137 H RAT prediction broken down to single paths ..... 139 I Linearization of the pendulum approximation ..... 140 J Iterative diagonalization schemes for the semiclassical limit ..... 143 Inverse iteration ..... 143 Arnoldi method ..... 144 Lanczos algorithm ..... 144 List of figures ..... 148 Bibliography ..... 163