La prévision de la volatilité future constitue l'un des principaux enjeux actuels dans la finance contemporaine. De ce fait, une estimation précise de la volatilité, seul paramètre inobservable sur le marché, est cruciale pour la prise de décision en allocation d'actifs et en gestion des risques. Les modèles GARCH se basent sur les cours boursiers passés pour calculer ou estimer la volatilité. L'hypothèse qui se cache derrière cette approche est que l'on peut se servir du passé pour prédire l'avenir. Les modèles GARCH semblent toutefois peu adaptés à la prévision à long terme puisqu'ils présentent un retour à la moyenne. Nous avons alors utilisé le modèle EWMA qui présente l'avantage de ne pas retourner à la moyenne et nous avons estimé les paramètres des modèles étudiés pour reconstruire une volatilité historique de l'indice S&P500 par le biais de chaque modèle afin de les comparer avec le modèle de la volatilité réalisée. Les résultats de notre recherche montrent que la volatilité estimée par le modèle GARCH de Heston et Nandi (2000) n'est pas en mesure de reproduire la trajectoire suivie par la volatilité de l'indice S&P500 et ce modèle ne pourrait donc être employé pour faire des prévisions sur celle-ci. Nous avons trouvé également que le modèle EWMA semble significativement reproduire la même trajectoire que celle associée à la volatilité réalisée de l'indice et par conséquent on peut l'utiliser pour prévoir la volatilité future de l'indice S&P500. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Volatilité, S&P500, GARCH, EWMA, Heston et Nandi, VIX.

L'énorme incertitude qui règne sur les marchés financiers se traduit par de la volatilité intégrée dans les prix des options qui augmentent lorsque les investisseurs prévoient des fluctuations importantes des prix des actions. Le recours à une formule d'évaluation d'options est alors nécessaire pour extraire la volatilité anticipée des prix d'options cotés. Dans ce cas, les hypothèses jointes d'efficience informationnelle du marché des options et de validité du modèle d'évaluation d'options retenu sont impliquées. Motivés par ces faits, nous avons adapté le modèle de Heston pour générer la volatilité de l'indice boursier S&P 500 à partir des prix des options écrites sur cet indice. Puis nous avons estimé les paramètres du modèle pour reconstruire une volatilité historique et la comparer avec la volatilité réalisée. Les résultats de notre recherche montrent que la différence entre la volatilité estimée par le modèle de Heston et la volatilité réalisée est peu significative, ce qui nous a permis de valider et d'appliquer ce modèle pour prévoir la volatilité future de l'indice S&P 500. Nous avons trouvé également que les résultats dépendent de la quantité des options sélectionnées et de la largeur de l'intervalle des prix d'options disponibles. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Volatilité, Options, S&P500, Heston, GARCH, VIX.

Dans cette thèse, on s’intéresse à la combinaison des méthodes de réduction de variance et de réduction de la complexité de la méthode Monte Carlo. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons un modèle de diffusion continu pour lequel on construit un algorithme adaptatif en appliquant l’importance sampling à la méthode de Romberg Statistique Nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller pour cet algorithme. Dans ce même cadre et dans le même esprit, on applique l’importance sampling à la méthode de Multilevel Monte Carlo et on démontre également un théorème central limite pour l’algorithme adaptatif obtenu. Dans la deuxième partie de cette thèse,on développe le même type d’algorithme pour un modèle non continu à savoir les processus de Lévy. De même, nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller. Des illustrations numériques ont été menées pour les différents algorithmes obtenus dans les deux cadres avec sauts et sans sauts. / In this thesis, we are interested in studying the combination of variance reduction methods and complexity improvement of the Monte Carlo method. In the first part of this thesis,we consider a continuous diffusion model for which we construct an adaptive algorithm by applying importance sampling to Statistical Romberg method. Then, we prove a central limit theorem of Lindeberg-Feller type for this algorithm. In the same setting and in the same spirit, we apply the importance sampling to the Multilevel Monte Carlo method. We also prove a central limit theorem for the obtained adaptive algorithm. In the second part of this thesis, we develop the same type of adaptive algorithm for a discontinuous model namely the Lévy processes and we prove the associated central limit theorem. Numerical simulations are processed for the different obtained algorithms in both settings with and without jumps.

Les titres financiers sont souvent modélisés par des équations différentielles stochastiques (ÉDS). Ces équations peuvent décrire le comportement de l'actif, et aussi parfois certains paramètres du modèle. Par exemple, le modèle de Heston (1993), qui s'inscrit dans la catégorie des modèles à volatilité stochastique, décrit le comportement de l'actif et de la variance de ce dernier. Le modèle de Heston est très intéressant puisqu'il admet des formules semi-analytiques pour certains produits dérivés, ainsi qu'un certain réalisme. Cependant, la plupart des algorithmes de simulation pour ce modèle font face à quelques problèmes lorsque la condition de Feller (1951) n'est pas respectée. Dans ce mémoire, nous introduisons trois nouveaux algorithmes de simulation pour le modèle de Heston. Ces nouveaux algorithmes visent à accélérer le célèbre algorithme de Broadie et Kaya (2006); pour ce faire, nous utiliserons, entre autres, des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et des approximations. Dans le premier algorithme, nous modifions la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya afin de l'accélérer. Alors, au lieu d'utiliser la méthode de Newton du second ordre et l'approche d'inversion, nous utilisons l'algorithme de Metropolis-Hastings (voir Hastings (1970)). Le second algorithme est une amélioration du premier. Au lieu d'utiliser la vraie densité de la variance intégrée, nous utilisons l'approximation de Smith (2007). Cette amélioration diminue la dimension de l'équation caractéristique et accélère l'algorithme. Notre dernier algorithme n'est pas basé sur une méthode MCMC. Cependant, nous essayons toujours d'accélérer la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya (2006). Afin de réussir ceci, nous utilisons une variable aléatoire gamma dont les moments sont appariés à la vraie variable aléatoire de la variance intégrée par rapport au temps. Selon Stewart et al. (2007), il est possible d'approximer une convolution de variables aléatoires gamma (qui ressemble beaucoup à la représentation donnée par Glasserman et Kim (2008) si le pas de temps est petit) par une simple variable aléatoire gamma. / Financial stocks are often modeled by stochastic differential equations (SDEs). These equations could describe the behavior of the underlying asset as well as some of the model's parameters. For example, the Heston (1993) model, which is a stochastic volatility model, describes the behavior of the stock and the variance of the latter. The Heston model is very interesting since it has semi-closed formulas for some derivatives, and it is quite realistic. However, many simulation schemes for this model have problems when the Feller (1951) condition is violated. In this thesis, we introduce new simulation schemes to simulate price paths using the Heston model. These new algorithms are based on Broadie and Kaya's (2006) method. In order to increase the speed of the exact scheme of Broadie and Kaya, we use, among other things, Markov chains Monte Carlo (MCMC) algorithms and some well-chosen approximations. In our first algorithm, we modify the second step of the Broadie and Kaya's method in order to get faster schemes. Instead of using the second-order Newton method coupled with the inversion approach, we use a Metropolis-Hastings algorithm. The second algorithm is a small improvement of our latter scheme. Instead of using the real integrated variance over time p.d.f., we use Smith's (2007) approximation. This helps us decrease the dimension of our problem (from three to two). Our last algorithm is not based on MCMC methods. However, we still try to speed up the second step of Broadie and Kaya. In order to achieve this, we use a moment-matched gamma random variable. According to Stewart et al. (2007), it is possible to approximate a complex gamma convolution (somewhat near the representation given by Glasserman and Kim (2008) when T-t is close to zero) by a gamma distribution.

Les titres financiers sont souvent modélisés par des équations différentielles stochastiques (ÉDS). Ces équations peuvent décrire le comportement de l'actif, et aussi parfois certains paramètres du modèle. Par exemple, le modèle de Heston (1993), qui s'inscrit dans la catégorie des modèles à volatilité stochastique, décrit le comportement de l'actif et de la variance de ce dernier. Le modèle de Heston est très intéressant puisqu'il admet des formules semi-analytiques pour certains produits dérivés, ainsi qu'un certain réalisme. Cependant, la plupart des algorithmes de simulation pour ce modèle font face à quelques problèmes lorsque la condition de Feller (1951) n'est pas respectée. Dans ce mémoire, nous introduisons trois nouveaux algorithmes de simulation pour le modèle de Heston. Ces nouveaux algorithmes visent à accélérer le célèbre algorithme de Broadie et Kaya (2006); pour ce faire, nous utiliserons, entre autres, des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et des approximations. Dans le premier algorithme, nous modifions la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya afin de l'accélérer. Alors, au lieu d'utiliser la méthode de Newton du second ordre et l'approche d'inversion, nous utilisons l'algorithme de Metropolis-Hastings (voir Hastings (1970)). Le second algorithme est une amélioration du premier. Au lieu d'utiliser la vraie densité de la variance intégrée, nous utilisons l'approximation de Smith (2007). Cette amélioration diminue la dimension de l'équation caractéristique et accélère l'algorithme. Notre dernier algorithme n'est pas basé sur une méthode MCMC. Cependant, nous essayons toujours d'accélérer la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya (2006). Afin de réussir ceci, nous utilisons une variable aléatoire gamma dont les moments sont appariés à la vraie variable aléatoire de la variance intégrée par rapport au temps. Selon Stewart et al. (2007), il est possible d'approximer une convolution de variables aléatoires gamma (qui ressemble beaucoup à la représentation donnée par Glasserman et Kim (2008) si le pas de temps est petit) par une simple variable aléatoire gamma. / Financial stocks are often modeled by stochastic differential equations (SDEs). These equations could describe the behavior of the underlying asset as well as some of the model's parameters. For example, the Heston (1993) model, which is a stochastic volatility model, describes the behavior of the stock and the variance of the latter. The Heston model is very interesting since it has semi-closed formulas for some derivatives, and it is quite realistic. However, many simulation schemes for this model have problems when the Feller (1951) condition is violated. In this thesis, we introduce new simulation schemes to simulate price paths using the Heston model. These new algorithms are based on Broadie and Kaya's (2006) method. In order to increase the speed of the exact scheme of Broadie and Kaya, we use, among other things, Markov chains Monte Carlo (MCMC) algorithms and some well-chosen approximations. In our first algorithm, we modify the second step of the Broadie and Kaya's method in order to get faster schemes. Instead of using the second-order Newton method coupled with the inversion approach, we use a Metropolis-Hastings algorithm. The second algorithm is a small improvement of our latter scheme. Instead of using the real integrated variance over time p.d.f., we use Smith's (2007) approximation. This helps us decrease the dimension of our problem (from three to two). Our last algorithm is not based on MCMC methods. However, we still try to speed up the second step of Broadie and Kaya. In order to achieve this, we use a moment-matched gamma random variable. According to Stewart et al. (2007), it is possible to approximate a complex gamma convolution (somewhat near the representation given by Glasserman and Kim (2008) when T-t is close to zero) by a gamma distribution.

Cette thèse a pour objectif la compréhension de plusieurs aspects du caractère rugueux de la volatilité observé de manière universelle sur les actifs financiers. Ceci est fait en six étapes. Dans une première partie, on explique cette propriété à partir des comportements typiques des agents sur le marché. Plus précisément, on construit un modèle de prix microscopique basé sur les processus de Hawkes reproduisant les faits stylisés importants de la microstructure des marchés. En étudiant le comportement du prix à long terme, on montre l’émergence d’une version rugueuse du modèle de Heston (appelé modèle rough Heston) avec effet de levier. En utilisant ce lien original entre les processus de Hawkes et les modèles de Heston, on calcule dans la deuxième partie de cette thèse la fonction caractéristique du log-prix du modèle rough Heston. Cette fonction caractéristique est donnée en terme d’une solution d’une équation de Riccati dans le cas du modèle de Heston classique. On montre la validité d’une formule similaire dans le cas du modèle rough Heston, où l’équation de Riccati est remplacée par sa version fractionnaire. Cette formule nous permet de surmonter les difficultés techniques dues au caractère non markovien du modèle afin de valoriser des produits dérivés. Dans la troisième partie, on aborde la question de la gestion des risques des produits dérivés dans le modèle rough Heston. On présente des stratégies de couverture utilisant comme instruments l’actif sous-jacent et la courbe variance forward. Ceci est fait en spécifiant la structure markovienne infini-dimensionnelle du modèle. Étant capable de valoriser et couvrir les produits dérivés dans le modèle rough Heston, nous confrontons ce modèle à la réalité des marchés financiers dans la quatrième partie. Plus précisément, on montre qu’il reproduit le comportement de la volatilité implicite et historique. On montre également qu’il génère l’effet Zumbach qui est une asymétrie par inversion du temps observée empiriquement sur les données financières. On étudie dans la cinquième partie le comportement limite de la volatilité implicite à la monnaie à faible maturité dans le cadre d’un modèle à volatilité stochastique général (incluant le modèle rough Bergomi), en appliquant un développement de la densité du prix de l’actif. Alors que l’approximation basée sur les processus de Hawkes a permis de traiter plusieurs questions relatives au modèle rough Heston, nous examinons dans la sixième partie une approximation markovienne s’appliquant sur une classe plus générale de modèles à volatilité rugueuse. En utilisant cette approximation dans le cas particulier du modèle rough Heston, on obtient une méthode numérique pour résoudre les équations de Riccati fractionnaires. Enfin, nous terminons cette thèse en étudiant un problème non lié à la littérature sur la volatilité rugueuse. Nous considérons le cas d’une plateforme cherchant le meilleur système de make-take fees pour attirer de la liquidité. En utilisant le cadre principal-agent, on décrit le meilleur contrat à proposer au market maker ainsi que les cotations optimales affichées par ce dernier. Nous montrons également que cette politique conduit à une meilleure liquidité et à une baisse des coûts de transaction pour les investisseurs. / The aim of this thesis is to study various aspects of the rough behavior of the volatility observed universally on financial assets. This is done in six steps. In the first part, we investigate how rough volatility can naturally emerge from typical behav- iors of market participants. To do so, we build a microscopic price model based on Hawkes processes in which we encode the main features of the market microstructure. By studying the asymptotic behavior of the price on the long run, we obtain a rough version of the Heston model exhibiting rough volatility and leverage effect. Using this original link between Hawkes processes and the Heston framework, we compute in the second part of the thesis the characteristic function of the log-price in the rough Heston model. In the classical Heston model, the characteristic function is expressed in terms of a solution of a Riccati equation. We show that rough Heston models enjoy a similar formula, the Riccati equation being replaced by its fractional version. This formula enables us to overcome the non-Markovian nature of the model in order to deal with derivatives pricing. In the third part, we tackle the issue of managing derivatives risks under the rough Heston model. We establish explicit hedging strategies using as instruments the underlying asset and the forward variance curve. This is done by specifying the infinite-dimensional Markovian structure of the rough Heston model. Being able to price and hedge derivatives in the rough Heston model, we challenge the model to practice in the fourth part. More precisely, we show the excellent fit of the model to historical and implied volatilities. We also show that the model reproduces the Zumbach’s effect, that is a time reversal asymmetry which is observed empirically on financial data. While the Hawkes approximation enabled us to solve the pricing and hedging issues under the rough Heston model, this approach cannot be extended to an arbitrary rough volatility model. We study in the fifth part the behavior of the at-the-money implied volatility for small maturity under general stochastic volatility models. In the same spirit as the Hawkes approximation, we look in the sixth part of this thesis for a tractable Markovian approximation that holds for a general class of rough volatility models. By applying this approximation on the specific case of the rough Heston model, we derive a numerical scheme for solving fractional Riccati equations. Finally, we end this thesis by studying a problem unrelated to rough volatility. We consider an exchange looking for the best make-take fees system to attract liquidity in its platform. Using a principal-agent framework, we describe the best contract that the exchange should propose to the market maker and provide the optimal quotes displayed by the latter. We also argue that this policy leads to higher quality of liquidity and lower trading costs for investors.