Dans ce travail, on explique quelques résultats de base en théorie des D-modules arithmétiques de Berthelot. Parmi ces résultats, un résultat important est un théorème de comparaison avec la théorie des D-modules p-adiques introduite par Mebkhout et Narvaez-Maccarro. Ce résultat intervient dans des travaux récents de Caro, pour démontrer les conjectures de Berthelot sur les D-modules arithmétiques holonomes munis d'un Frobenius. Un autre résultat concerne un analogue, dans le cadre arithmétique, du théorème de Beilinson-Bernstein concernant les D-modules.

Soit G un schéma en groupes réductif, connexe et déployé sur l’anneau d’entiers d’une extension finie du corps de nombres p-adiques. Un théorème important dans la théorie des groupes c’est le théorème de localisation, ce qui a été démontré par A. Beilinson et J. Bernstein, et par J.L. Brylinsky et M. Kashiwara. Il s’agit d’un résultat de D-affinité pour la variété de drapeaux de la fibre générique de G. En caractéristique mixte un progrès important se trouve dans les travaux de C. Huyghe et T. Schmidt. Ils donnent une réponse partielle en considérant des caractères algébriques. Les premières quatre chapitres de cette thèse sont consacrés à étendre cette correspondance (le théorème de localisation arithmétique) pour des caractères arbitraires. Dans les chapitres cinq et six, nous traiterons l’objectif principal de cette thèse qui concerne les représentations localement analytiques. Nous montrerons que pour un caractère algébrique, qui est de plus dominant et régulier, la catégorie des représentations admissibles localement analytiques, à caractère central, c’est équivalente à une catégorie de modules arithmétiques coadmissibles et équivariants sur la famille des modèles formels de la variété de drapeaux rigide. / Let G be a split connected, reductive group scheme over the ring of integers of a finite extension of the field of p-adic numbers.. An important theorem in group theory is the localization theorem, demonstrated by A. Beilinson and J. Bernstein, and by J.L. Brylinsky and M. Kashiwara. This is a result about the D-affinity of the flag variety of the generic fiber of G). In mixed characteristic an important progress is found in the work of C. Huyghe and T. Schmidt. They give a partial answer by considering algebraic characters. The first four chapters of this thesis are dedicated to extending this correspondence (the arithmetic localization theorem) for arbitrary characters. In chapters five and six, we will treat the principal objective of this thesis, which concerns admissible locally analytic representations. We will show that for an algebraic character, which is dominant and regular, the category of admissible locally analytic representations, with central character, it is equivalent to the category of coadmissible equivariant arithmetic modules over the family of formal models of the rigid flag variety.