L'analyse multifractale est l'étude des propriétés locales des ensembles de mesures ou de fonctions. Son importance est apparue dans le cadre de la turbulence pleinement développée. Dans ce cadre, l'expérimentateur n'a pas accès à la vitesse en tout point d'un fluide mais il peut mesurer sa valeur en un point en fonction du temps. On ne mesure donc pas directement la fonction vitesse du fluide, mais sa trace. Cette thèse sera essentiellement consacrée à l'étude du comportement local de traces de fonctions d'espaces de Besov : nous déterminerons la dimension de Hausdorff des ensembles de points ayant un exposant de Hölder donné (spectre multifractal). Afin de caractériser facilement l'exposant de Hölder et l'appartenance à un espace de Besov, on utilisera la décomposition de fonctions sur les bases d'ondelettes.Nous n'obtiendrons pas la valeur du spectre de la trace de toute fonction d'un espace de Besov mais sa valeur pour un ensemble générique de fonctions. On fera alors appel à deux notions de généricité différentes : la prévalence et la généricité au sens de Baire. Ces notions ne coïncident pas toujours, mais, ici on obtiendra les mêmes résultats. Dans la dernière partie, afin de déterminer la forme que peut prend un spectre multifractal, on construira une fonction qui est son propre spectre / Multifractal analysis consists in the study of local properties of set of measures or functions. Its importance appeared in the frame of fully developed turbulence. In this area, physicists do not know the velocity of a fluid at all points but they can measure its value in one point in function of time. Hence, they do not measure the velocity function of the fluid but its trace.This thesis will be mainly dedicated to the study of local behavior of traces of Besov functions: we will determine the Hausdorff dimension of sets of points with a given Hölder exponent (the so-called multifractal spectrum). In order to easily characterize Hölder exponent and Besov spaces, we will use wavelet decomposition. We will not get the value of the multifractal spectrum of the trace of all functions of a Besov space, but its value for a generic set of functions. Then, we will use two notions of genericity : prevalence and Baire's genericity. Even if generic and prevalent properties can be different, here they will be the same.In the last part, in order to establish what a multifractal spectrum shape can be, we will construct a function which is its own spectrum

La fin du XXème siècle a été marquée par d'importantes mutations des marchés financiers de par leur développement, libéralisation et enfin concentration dans une dynamique transfrontalière. Un fait saillant de ces mutations est l'accélération progressive des comouvements de prix d'actifs, à la fois entre segments de marchés, mais également entre pays. Si l'ouverture des marchés de capitaux favorise une allocation optimale des ressources et des risques, cette même ouverture fait également planer un risque systémique, à l'échelle du globe de par l'intensification de ces comouvements observés en période de crise. <br />De ce fait, la multiplication des dynamiques de transmission, de plus en plus rapides se présente comme un enjeu majeur pour les décideurs politiques (banques centrales) en termes de modélisation financière pour permettre un suivi de la stabilité du système financier dans son ensemble. <br />Le premier objectif de cette thèse est d'utiliser plusieurs techniques innovantes de l'économétrie financière (notamment les modèles multifractals) qui permettent de prendre en compte à la fois les dynamiques de long terme entre différents actifs (liées par exemple à l'avènement de la zone euro) sans pour autant négliger les dynamiques de très court terme. Un second objectif est de mettre en évidence l'apport pour les décideurs politiques de l'utilisation des données à haute fréquence. Nous montrons que l'utilisation de ces données permet notamment un éclairage nouveau sur l'évaluation du cadre opérationnel de la Banque Centrale Européenne et de son interaction avec l'ensemble des marchés financiers.

Les multifractals universels (UM) sont un outil puissant et abondement utilisé d'analyse et de simulation de champs géophysiques, comme la pluie, extrêmement variables sur une large gamme d'échelle. Ils sont basés sur le concept de cascade multiplicative qui repose sur la notion physique d'invariance d'échelle pour explorer le phénomène fondamental qu'est l'intermittence. Dans ce cadre, toute la variabilité du champ est caractérisée à l'aide de simplement trois paramètres qui ont en plus une interprétation physique. Dans cette thèse on utilise ce cadre théorique pour quantifier l'impact de la variabilité à petite échelle de la pluie en hydrologie urbaine. La première étape consiste à analyser la variabilité spatio-temporelle de données radar de précipitation à l'aide d'un modèle multifractal anisotrope simple. Divers évènements pluvieux sont analysés. Un comportement scalant a été observé sur deux gammes d'échelles séparées par une rupture à 16 km qui est discutée. Ces données sont globalement en accord avec un modèle spatio-temporel simple reposant un exposant d'anisotropie entre l'espace et de temps. Les résultats suggèrent une possible universalité des paramètres UM pour les précipitations. Cette thèse aborde également un autre aspect de l'intermittence, particulièrement important pour les longues séries temporelles pluviométriques, que sont les nombreuses mesures nulles de la pluie (c'est-à-dire un pixel où aucune pluie n'est relevée), i.e. les longues périodes sèches. L'ancienne question de la source de cette intermittence, et notamment la nécessité d'un modèle dédié, est revisitée. D'abord les effets d'un seuil sur un champ multifractal sont analysés et ensuite un " toy model " qui introduit des zéros au sein du processus de cascade et conditionnellement aux valeurs du champ est développé. Cela permet d'expliquer la plupart des comportements observés, e.g. les différences entre les statistiques évènementielles et globales. L'impact de la variabilité de la pluie est analysé à travers l'étude de la sensibilité de modèles d'hydrologie/hydraulique urbaine à la donnée de pluie. Deux bassins versants essentiellement urbains (un de 3 400 ha en Seine-Saint-Denis à proximité de Paris, et un de 900 ha à Londres) modélisés avec des modèles opérationnels semi-distribués sont pris comme cas d'études. Par ailleurs le modèle distribué Multi-Hydro (en développement au LEESU) est testé sur une portion de 145 ha du cas d'étude parisien. L'impact de la variabilité à petites échelles non mesurée des précipitations (i.e. se produisant à des échelles plus petites que 1 km en espace et 5 min en temps qui sont disponibles avec les données radar à bande C) est d'abord évalué. Ceci est réalisé par la génération d'un ensemble de pluie réaliste désagrégée en continuant stochastiquement le processus sous-jacent de cascade au-delà de l'échelle d'observation, puis la simulation de l'ensemble correspondant d'hydrographes. Il apparaît que la variabilité à petites échelles de la pluie engendre une variabilité hydrologique qui ne doit pas être négligée. De plus le modèle Multi-Hydro génère une variabilité plus importante et pas seulement au niveau du pic de débit, i.e. même pour les pluies modérées. Ces résultats mettent en lumière la nécessité d'installer des radars en bande X (dont la résolution est hectométrique) en milieu urbain. Dans un deuxième temps les outils multifractals sont employés sur les pluies et les débits simulés qui présentent aussi un comportement scalant. Il apparaît que le réseau d'assainissement transmet simplement la variabilité des précipitations sans l'atténuer, au moins en termes de statistiques multifractals

In this thesis, we introduce a new approach to wavefront phase reconstruction in Adaptive Optics (AO) from the low-resolution gradient measurements provided by a wavefront sensor, using a non-linear approach derived from the Microcanonical Multiscale Formalism (MMF). MMF comes from established concepts in statistical physics, it is naturally suited to the study of multiscale properties of complex natural signals, mainly due to the precise numerical estimate of geometrically localized critical exponents, called the singularity exponents. These exponents quantify the degree of predictability, locally, at each point of the signal domain, and they provide information on the dynamics of the associated system. We show that multiresolution analysis carried out on the singularity exponents of a high-resolution turbulent phase (obtained by model or from data) allows a propagation along the scales of the gradients in low-resolution (obtained from the wavefront sensor), to a higher resolution. We compare our results with those obtained by linear approaches, which allows us to offer an innovative approach to wavefront phase reconstruction in Adaptive Optics.

Multifractals have during the past 20 − 25 years been the focus of enormous attention in the mathematical literature. Loosely speaking there are two main ingredients in multifractal analysis: the multifractal spectra and the Renyi dimensions. One of the main goals in multifractal analysis is to understand these two ingredients and their relationship with each other. Motivated by the powerful techniques provided by the use of the Artin-Mazur zeta-functions in number theory and the use of the Ruelle zeta-functions in dynamical systems, Lapidus and collaborators (see books by Lapidus & van Frankenhuysen [32, 33] and the references therein) have introduced and pioneered use of zeta-functions in fractal geometry. Inspired by this development, within the past 7−8 years several authors have paralleled this development by introducing zeta-functions into multifractal geometry. Our result inspired by this work will be given in section 2.2.2. There we introduce geometric multifractal zeta-functions providing precise information of very general classes of multifractal spectra, including, for example, the multifractal spectra of self-conformal measures and the multifractal spectra of ergodic Birkhoff averages of continuous functions. Results in that section are based on paper [37]. Dynamical zeta-functions have been introduced and developed by Ruelle [63, 64] and others, (see, for example, the surveys and books [3, 54, 55] and the references therein). It has been a major challenge to introduce and develop a natural and meaningful theory of dynamical multifractal zeta-functions paralleling existing theory of dynamical zeta functions. In particular, in the setting of self-conformal constructions, Olsen [49] introduced a family of dynamical multifractal zeta-functions designed to provide precise information of very general classes of multifractal spectra, including, for example, the multifractal spectra of self-conformal measures and the multifractal spectra of ergodic Birkhoff averages of continuous functions. However, recently it has been recognised that while self-conformal constructions provide a useful and important framework for studying fractal and multifractal geometry, the more general notion of graph-directed self-conformal constructions provide a substantially more flexible and useful framework, see, for example, [36] for an elaboration of this. In recognition of this viewpoint, in section 2.3.11 we provide main definitions of the multifractal pressure and the multifractal dynamical zeta-functions and we state our main results. This section is based on paper [38]. Setting we are working unifies various different multifractal spectra including fine multifractal spectra of self-conformal measures or Birkhoff averages of continuous function. It was introduced by Olsen in [43]. In section 2.1 we propose answer to problem of defining Renyi spectra in more general settings and provide slight improvement of result regrading multifractal spectra in the case of Subshift of finite type.

Made available in DSpace on 2015-03-03T15:16:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EdemersonSBM.pdf: 812078 bytes, checksum: 167690407a20b9462083f00be2b0a159 (MD5) Previous issue date: 2007-12-28 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient?fico e Tecnol?gico / In this work, the study of some complex systems is done with use of two distinct procedures. In the first part, we have studied the usage of Wavelet transform on analysis and characterization of (multi)fractal time series. We have test the reliability of Wavelet Transform Modulus Maxima method (WTMM) in respect to the multifractal formalism, trough the calculation of the singularity spectrum of time series whose fractality is well known a priori. Next, we have use the Wavelet Transform Modulus Maxima method to study the fractality of lungs crackles sounds, a biological time series. Since the crackles sounds are due to the opening of a pulmonary airway bronchi, bronchioles and alveoli which was initially closed, we can get information on the phenomenon of the airway opening cascade of the whole lung. Once this phenomenon is associated with the pulmonar tree architecture, which displays fractal geometry, the analysis and fractal characterization of this noise may provide us with important parameters for comparison between healthy lungs and those affected by disorders that affect the geometry of the tree lung, such as the obstructive and parenchymal degenerative diseases, which occurs, for example, in pulmonary emphysema. In the second part, we study a site percolation model for square lattices, where the percolating cluster grows governed by a control rule, corresponding to a method of automatic search. In this model of percolation, which have characteristics of self-organized criticality, the method does not use the automated search on Leaths algorithm. It uses the following control rule: pt+1 = pt + k(Rc ? Rt), where p is the probability of percolation, k is a kinetic parameter where 0 < k < 1 and R is the fraction of percolating finite square lattices with side L, LxL. This rule provides a time series corresponding to the dynamical evolution of the system, in particular the likelihood of percolation p. We proceed an analysis of scaling of the signal obtained in this way. The model used here enables the study of the automatic search method used for site percolation in square lattices, evaluating the dynamics of their parameters when the system goes to the critical point. It shows that the scaling of , the time elapsed until the system reaches the critical point, and tcor, the time required for the system loses its correlations, are both inversely proportional to k, the kinetic parameter of the control rule. We verify yet that the system has two different time scales after: one in which the system shows noise of type 1 f , indicating to be strongly correlated. Another in which it shows white noise, indicating that the correlation is lost. For large intervals of time the dynamics of the system shows ergodicity / Neste trabalho, o estudo de alguns sistemas complexos ? feito com a utiliza??o de dois procedimentos distintos. Na primeira parte, estudamos a utiliza??o da transformada Wavelet na an?lise e caracteriza??o (multi)fractal de s?ries temporais. Testamos a confiabilidade do M?todo do M?ximo do M?dulo da Transformada Wavelet (MMTW) com rela??o ao formalismo multifractal, por meio da obten??o do espectro de singularidade de s?ries temporais cuja fractalidade ? bem conhecida a priori. A seguir, usamos o m?todo do m?ximo do m?dulo da transformada wavelet para estudar a fractalidade dos ru?dos de crepita??o pulmonar, uma s?rie temporal biol?gica. Uma vez que a crepita??o pulmonar se d? no momento da abertura de uma via a?rea ? br?nquios, bronqu?olos e alv?olos ? que estava inicialmente fechada, podemos obter informa??es sobre o fen?meno de abertura em cascata das vias a?reas de todo o pulm?o. Como este fen?meno est? associado ? arquitetura da ?rvore pulmonar, a qual apresenta geometria fractal, a an?lise e caracteriza??o da fractalidade desse ru?do pode nos fornecer importantes par?metros de compara??o entre pulm?es sadios e aqueles acometidos por patologias que alteram a geometria da ?rvore pulmonar, tais como as doen?as obstrutivas e as de degenera??o parenquimatosa, que ocorre, por exemplo, no enfisema pulmonar. Na segunda parte, estudamos um modelo de percola??o por s?tios em rede quadrada, onde o aglomerado de percola??o cresce governado por uma regra de controle, correspondendo a um m?todo de busca autom?tica. Neste modelo de percola??o, que apresenta caracter?sticas de criticalidade auto-organizada, o m?todo de busca autom?tica n?o usa o algoritmo de Leath. Usa-se a seguinte regra de controle: pt+1 = pt +k(Rc ?Rt), onde p ? a probabilidade de percola??o, k ? um par?metro cin?tico onde 0 < k < 1 e R ? a fra??o de redes quadradas finitas de lado L, LxL, percolantes. Esta regra fornece uma s?rie temporal correspondente ? evolu??o din?mica do sistema, em especial da probabilidade de percola??o p. ? feita uma an?lise de escalas do sinal assim obtido. O modelo aqui utilizado permite que o m?todo de busca autom?tica para a percola??o por s?tios em rede quadrada seja, per si, estudado, avaliando-se a din?mica dos seus par?metros quando o sistema se aproxima do ponto cr?tico. Verifica-se que os escalonamentos de ?, o tempo decorrido at? que o sistema chegue ao ponto cr?tico, e de tcor, o tempo necess?rio para que o sistema perca suas correla??es, s?o, ambos, inversamente proporcionais a k, o par?metro cin?tico da regra de controle. Verifica-se ainda que o sistema apresenta duas escalas temporais distintas depois de ? : uma em que o sistema mostra ru?do do tipo 1 f? , indicando ser fortemente correlacionado; outra em que aparece um ru?do branco, indicando que se perdeu a correla??o. Para grandes intervalos de tempo a din?mica do sistema mostra que ele se comporta como um sistema erg?dico

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / This study presents a review of the statistical theory for the inertial range of welldeveloped turbulent flows. The main focus of the study is on the experimental estimation of the so called intermittency exponent through recently developed statistical methods and its possible dependence on large scale mechanisms. The analysis employed allows to observe that even in very high Reynolds number, as those occurring in atmospheric boundary layer flows, clear scaling laws (power laws) are never observed in the inertial range. Comparing the non-scaling invariant models proposed in the literature, it is observed that the logarithmic scaling (SREENIVASAN; BERSHADSKII, 2006b) is suitable for all turbulence scenarios analyzed. Likewise, the classic isotropicincompressibility relation S⊥ 2 (r)/Sk 2(r), which relates longitudinal and transversal second rank tensors (structure functions), it is not constant but slightly dependent on the scale r in the inertial range. A recently developedmethodology for estimation of the intermittency coefficient (BASU et al., 2007) was modified according to the logarithmic scaling model in order to include the non-scaling invariance behavior. The new methodology allows obtaining more accurate estimations of the intermittency coefficient, even for short and noisy time series, as typically observed in sonic anemometry. The efficiency of the method is assessed by analysis of synthetic multifractal series and compared to wavelet-based multifractal formalism. Finally, the proposed methodology is applied to an atmospheric surface layer dataset and the variability of the estimations are assessed by employing a multifractal bootstrap method (PALU , 2008). Intermittency coefficients for velocity components and temperature are found to present large variability but no clear dependence on stability condition. It suggests that atmospheric stability does not directly affect the small-scale intermittency, therefore, other mechanisms may be responsible for the large variability found in the estimations. / O presente estudo apresenta uma revisão da teoria estatística aplicada ao intervalo inercial de um escoamento turbulento bem desenvolvido. A investigação principal é centrada nas estimativas experimentais do chamado coeficiente de intermitência através de métodos estatísticos recentemente desenvolvidos e sua possível dependência nos mecanismos de grande escalas. A análise empregada permite observar que mesmo em escoamentos com número de Reynolds muito alto, como em camadas limite atmosféricas, não são observadas leis de escalas (leis de potência) no intervalo inercial de turbulência. Considerando-se as proposições de modelos não invariantes de escala sugeridos na literatura e empregando-se dados turbulentos tanto de túnel de vento como de camada limite atmosférica, verifica-se que a lei de escala tipo logarítmica (SREENIVASAN; BERSHADSKII, 2006b) descreve adequadamente o intervalo inercial em todos os cenários de turbulência analisados. Da mesma forma, a relação de isotropia e incompressibilidade clássica S⊥ 2 (r)/Sk 2(r), a qual relaciona tensores de segunda ordem (funções estrutura) longitudinais e transversais, não é constante e sim levemente dependente em r no intervalos inercial. Se observa que uma expressão baseada na lei de escala logarítmica descreve razoavelmente bem esta dependência em r. Uma metodologia de estimativa do coeficiente de intermitência recentemente desenvolvida (BASU et al., 2007) foi modificada para incluir o efeito de não invariância de escala de acordo com o modelo de lei de escala logarítmica. Esta nova metodologia permite se obter estimativas mais precisas de parâmetros de intermitência mesmo em séries de dados curtas e ruidosas, como as tipicamente obtidas por anemometria sônica na camada limite atmosférica. A eficiência do método é testada em séries multifractais sintéticas e comparada com resultados obtidos através de um formalismo multifractal baseado em ondaletas. Finalmente, dados de camada limite atmosférica superficial são analisados através da metodologia sugerida e variabilidade das estimativas são avaliadas com o emprego de uma ferramenta de reamostragem multifractal (PALU , 2008). Os parâmetros de intermitência para as três componentes de velocidade e temperatura apresentaram grande variabilidade em relação ao parâmetro de estabilidade atmosférica, entretanto não foi observado um padrão de dependência definido. Isto sugere que a estabilidade atmosférica não tem um papel significativo nas estatísticas do intervalo inercial, assim outros mecanismos devem ser os responsáveis pela grande variabilidade das estimativas.

Dans cette thèse nous introduisons une approche nouvelle pour la reconstruction d’un front d’ondes en Optique Adaptative (OA), à partir des données de gradients à basse résolution en provenance de l’analyseur de front d’ondes, et en utilisant une approche non-linéaire issue du Formalisme Multiéchelles Mi-crocanonique (FMM). Le FMM est issu de concepts établis en physique statistique, il est naturellement approprié à l’étude des propriétés multiéchelles des signaux naturels complexes, principalement grâce à l’estimation numérique précise des exposants critiques localisés géométriquement, appelés exposants de singularité. Ces exposants quantifient le degré de prédictabilité localement en chaque point du domaine du signal, et ils renseignent sur la dynamique du système associé. Nous montrons qu’une analyse multirésolution opérée sur les exposants de singularité d’une phase turbulente haute résolution (obtenus par modèle ou à partir des données) permet de propager, le long des échelles, les gradients en basse résolution issus de l’analyseur du front d’ondes jusqu’à une résolution plus élevée. Nous comparons nos résultats à ceux obtenus par les approches linéaires, ce qui nous permet de proposer une approche novatrice à la reconstruction de fronts d’onde en Optique Adaptative. / In this thesis, we introduce a new approach to wavefront phase reconstruction in Adaptive Optics (AO) from the low-resolution gradient measurements provided by a wavefront sensor, using a non-linear approach derived from the Microcanonical Multiscale Formalism (MMF). MMF comes from established concepts in statistical physics, it is naturally suited to the study of multiscale properties of complex natural signals, mainly due to the precise numerical estimate of geometrically localized critical exponents, called the singularity exponents. These exponents quantify the degree of predictability, locally, at each point of the signal domain, and they provide information on the dynamics of the associated system. We show that multiresolution analysis carried out on the singularity exponents of a high-resolution turbulent phase (obtained by model or from data) allows a propagation along the scales of the gradients in low-resolution (obtained from the wavefront sensor), to a higher resolution. We compare our results with those obtained by linear approaches, which allows us to offer an innovative approach to wavefront phase reconstruction in Adaptive Optics.