Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / Submitted by Fernanda Alves Mignot (fernandamignot@hotmail.com) on 2015-11-05T19:12:02Z No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCandeiaCosta.pdf: 843402 bytes, checksum: dd61c70734d3156b82f3a83934613a57 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-11-05T19:33:12Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCandeiaCosta.pdf: 843402 bytes, checksum: dd61c70734d3156b82f3a83934613a57 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-05T19:33:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_GustavoCandeiaCosta.pdf: 843402 bytes, checksum: dd61c70734d3156b82f3a83934613a57 (MD5) / Seja (Fn)n≥0 a sequência de Fibonacci e z(n) a ordem de aparição nessa sequência definida como o menor k Є N tal que n divide Fk. Nesse trabalho, discutiremos algumas propriedades dessa função. O principal objetivo é provar que existem infinitas soluções para a equação z(n) = z(n + 2) e exibir fórmulas fechadas para z(Fm ± 1). Mas, antes disso, detalharemos propriedades dos números de Fibonacci e números de Lucas. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let (Fn)n≥0 be the Fibonacci sequence and let z(n) be the order of appearance in this sequence which is defined as the smallest k Є N such that n divides Fk. In this work, we shall discuss some properties of this function. The main goal is to prove the existence of infinitely many solutions to the equation z(n) = z(n + 2) as well as to exhibit closed formulas for z z(Fm ± 1). At first, we shall describe the properties of Fibonacci and Lucas numbers.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014 / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2014-12-05T11:31:19Z No. of bitstreams: 1 2014_MarcusViniciusPereira.pdf: 1495143 bytes, checksum: 847eb280919f4cd43cfea39b1e5ac3ce (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2014-12-05T14:32:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_MarcusViniciusPereira.pdf: 1495143 bytes, checksum: 847eb280919f4cd43cfea39b1e5ac3ce (MD5) / Made available in DSpace on 2014-12-05T14:32:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_MarcusViniciusPereira.pdf: 1495143 bytes, checksum: 847eb280919f4cd43cfea39b1e5ac3ce (MD5) / O objetivo deste texto é realizar um estudo sobre sequências numéricas mostrando exemplos de sequências não comumente estudadas no ensino médio inclusive as decorrentes da solução de determinados problemas. Abordamos também as relações de recorrência, apresentando alguns resultados sobre a resolução de tais recorrências e sugerindo atividades de investigação matemática em sala de aula. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The aim of this paper is to conduct a study on numerical sequences showing ex-amples of sequences unusually studied in high school including those resulting from the solution of certain problems. We also analyze the recurrence relations, present some re-sults about solving such recurrences and suggest mathematical research activities in the classroom.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Ana Cristina Barbosa da Silva (annabds@hotmail.com) on 2015-06-24T16:31:02Z No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2015-06-26T13:47:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Made available in DSpace on 2015-06-26T13:47:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_FernandoCunhaCores.pdf: 2642081 bytes, checksum: 54b5ec3452b974fcd5dd77cea0ee37fe (MD5) / Considere os números de Fibonacci (Fn), os números de Lucas (Ln) e os números binomiais (C(n; k)), os fenômenos que por eles são enumerados e as principais identidades envolvendo esses números. Seguindo o trabalho de Arthur Benjamin e Jennifer Quinn [1], vamos demonstrar tais identidades mostrando que podemos contar o mesmo fenômeno de duas formas diferentes. Inicialmente vamos estudar os números binomiais, mais comuns no Ensino Médio e que estão no contexto da Combinatória, considerada pela maioria dos alunos e professores como o assunto mais difícil de entender e ensinar naquele segmento de ensino. Em seguida faremos uma abordagem combinatória de algumas identidades envolvendo números de Fibonacci e de Lucas através de um estudo das coberturas de um tabuleiro 1 x n, das palavras binárias e das composições de um inteiro positivo n. Sobre as composições, basearemos nosso trabalho no estudo feito por Hoggatt [7] para fazer as demonstrações de algumas das identidades propostas. Apresentaremos novas identidades de Fibonacci e Lucas. Finalmente faremos uma proposta de sequência didática para ser aplicada na educação básica como motivadora para o estudo da Combinatória e dos números de Fibonacci. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Consider Fibonacci numbers (Fn), Lucas numbers (Ln) and binomial numbers (C(n, k)) and the several identities involving these numbers. Following the work of Arthur Benjamin and Jennifer Quinn [1], we will demonstrate some identities by showing that it is possible to count the same situation in two different ways. Firstly, we will study binomial numbers (which are more common in high school) which belongs to the context of Combinatorics, considered by most students and teachers as the most dificult subject to understand and teach. Then we will work on combinatorial approaches of some identities involving Fibonacci and Lucas numbers by studying coverings of a 1 x n board, binary words, and compositions of a positive integer. About compositions, our work will be based on the study by Hoggatt [7] to demonstrate some of the proposed identities. Also, shall present new identities for Fibonacci and Lucas numbers. Finally, we shall make a proposal for a teaching sequence to be applied in basic education as a motivator for the study of Combinatorics and Fibonacci numbers.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / Submitted by Guimaraes Jacqueline (jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2015-12-02T11:17:51Z No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2016-01-26T11:54:30Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-01-26T11:54:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_IsraelCarleyDaSilva.pdf: 1686684 bytes, checksum: 86470a9008d3d16525e6ef6b8c88f892 (MD5) / Neste trabalho apresentamos uma abordagem sobre sequências recursivas, ou simplesmente recorrências. Discorremos sobre recorrências lineares, principalmente as de primeira e segunda ordem, estudando soluções e apresentando propriedades e fazendo paralelos com algumas sequências comuns ao cotidiano do estudante de Matemática. Apresentamos também, casos clássicos desse tipo de sequências como os números de Fibonacci e de Lucas; os números figurados: poligonais e piramidais; e ainda, aplicações em áreas como a Combinatória e Matemática Financeira. No trabalho ainda abordamos uma proposta de exercícios a alunos do Ensino Médio. Relatamos a experiência de atividades em sala de aula, as dificuldades encontradas, resultados apresentados, bem como os relatos das impressões que os alunos tiveram ao estudar esse tema. ______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We present in this paper an approach to recursive sequences, or simply recurrences. Wediscuss linear recurrences, especially the first and second order, studying solutions and presentingproperties and making parallels with some common sequences to the mathematicsstudent daily. We also present, classics examples of such sequences as Fibonacci number sand Lucas numbers, the figured numbers: polygonal and pyramidal, and also applications in areas as Combinatory and Mathematical Finance. At work even we approach a proposed exercises to high school students. We report the activities of experience in the classroom, the difficulties encountered, the results, as wellas the reports of the impressions that the students had to study this subject.

Neste trabalho, exploramos os números de Fibonacci e de Lucas. A maioria dos resultados históricos sobre esses números são apresentados e provados. Ao longo do texto, um grande número de identidades a respeito dos números de Fibonacci e de Lucas são mostradas válidas para todos os inteiros. Sequências generalizadas de Fibonacci, a relação entre os números de Fibonacci e de Lucas com as raízes da equação x2 -x -1 = 0 e a conexão entre os números de Fibonacci e de Lucas com uma classe de matrizes em M2(R) são também exploradas. / In this work we explore the Fibonacci and Lucas numbers. The majority of the historical results are stated and proved. Along the text several identities concerning Fibonacci and Lucas numbers are shown valid for all integers. Generalized Fibonacci sequences, the relation between Fibonacci and Lucas numbers with the roots of the equation x2 -x -1 = 0 and the connection between Fibonacci and Lucas numbers with a class of matrices in M2(R) are also explored.

Neste trabalho, exploramos os números de Fibonacci e de Lucas. A maioria dos resultados históricos sobre esses números são apresentados e provados. Ao longo do texto, um grande número de identidades a respeito dos números de Fibonacci e de Lucas são mostradas válidas para todos os inteiros. Sequências generalizadas de Fibonacci, a relação entre os números de Fibonacci e de Lucas com as raízes da equação x2 -x -1 = 0 e a conexão entre os números de Fibonacci e de Lucas com uma classe de matrizes em M2(R) são também exploradas. / In this work we explore the Fibonacci and Lucas numbers. The majority of the historical results are stated and proved. Along the text several identities concerning Fibonacci and Lucas numbers are shown valid for all integers. Generalized Fibonacci sequences, the relation between Fibonacci and Lucas numbers with the roots of the equation x2 -x -1 = 0 and the connection between Fibonacci and Lucas numbers with a class of matrices in M2(R) are also explored.

Los sistemas dinámicos no lineales pueden mostrar una variedad de patrones de comportamiento según los valores de los parámetros físicos y las propiedades intrínsecas del sistema. Entre los sistemas dinámicos, los modelos de población y los sistemas de reacciones químicas han recibido una atención especial debido a su dinámica complicada. Estos sistemas dinámicos no lineales exhiben fenómenos dinámicos complejos, tales como comportamientos con múltiples puntos de equilibrio, bifurcaciones, oscilaciones de ciclo límite y caos. En este estudio, investigamos el comportamiento cualitativo de varios modelos dinámicos de derivadas fraccionarias. Hemos observado que el sistema discreto muestra comportamientos dinámicos mucho más ricos, como bifurcaciones y caos, en comparación con su contraparte de sistema continuo, por lo que primero discretizamos el modelo estudiado. Después, analizamos la estabilidad y las bifurcaciones cerca de los equilibrios del modelo discretizado. Los resultados demuestran que los comportamientos dinámicos del modelo discretizado son sensibles al parámetro de orden fraccional y al parámetro de discretización, entre a otros parámetros. Finalmente, realizamos simulaciones numéricas para explicar y validar nuestros hallazgos teóricos. Además, calculamos los exponentes máximos de Lyapunov para confirmar la presencia de comportamiento caótico en los modelos discretos estudiados. La tesis se divide en cuatro capítulos principales: Capítulo Uno: en este capítulo, presentamos la parte introductoria de la tesis, e incluimos resúmenes de todos los resultados que hemos obtenido. Capítulo Dos: este capítulo incluye los trabajos publicados en revistas científicas clasificadas. Capítulo Tres: este capítulo contiene un trabajo que actualmente está en proceso revisión. Capítulo Cuatro: aquí, resumimos todos los hallazgos principales de esta tesis e incluimos algunas propuestas para trabajos futuros.

Submitted by Maria Suzana Diniz (msuzanad@hotmail.com) on 2015-11-30T12:34:27Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 766531 bytes, checksum: ad20186d0268a15265279ab809f9fd2f (MD5) / Approved for entry into archive by Maria Suzana Diniz (msuzanad@hotmail.com) on 2015-11-30T12:38:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 766531 bytes, checksum: ad20186d0268a15265279ab809f9fd2f (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-30T12:38:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 766531 bytes, checksum: ad20186d0268a15265279ab809f9fd2f (MD5) Previous issue date: 2014-08-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work is about research done Fibonacci's Numbers. Initially it presents a brief account of the history of Leonardo Fibonacci, from his most famous work,The Liber Abaci, to the relationship with other elds of Mathematics. Then we will introduce some properties of Fibonacci's Numbers, Binet's Form, Lucas' Numbers and the relationship with Fibonacci's Sequence and an important property observed by Fermat. Within relationships with other areas of Mathematics, we show the relationship Matrices, Trigonometry and Geometry. Also presents the Golden Ellipse and the Golden Hyperbola. We conclude with Tribonacci's Numbers and some properties that govern these numbers. Made some generalizations about Matrices and Polynomials Tribonacci. / Este trabalho tem como objetivo o estudo dos Números de Fibonacci. Apresenta-se inicialmente um breve relato sobre a história de Leonardo Fibonacci, desde sua obra mais famosa, O Liber Abaci, até a relação com outros campos da Matemática. Em seguida, apresenta-se algumas propriedades dos Números de Fibonacci, a Fórmula de Binet, os Números de Lucas e a relação com a Sequência de Fibonacci e uma importante propriedade observada por Fermat. Dentro das relações com outras áreas da Matemática, destacamos a relação com as Matrizes, com a Trigonometria, com a Geometria. Apresenta-se também a Elipse e a Hipérbole de Ouro. Concluímos com os Números Tribonacci e algumas propriedades que regem esses números. Realizamos algumas generalizações sobre Matrizes e Polinômios Tribonacci.