In this dissertation, we study the existence and nonexistence of positive radial solutions for classes of quasilinear elliptic equations and systems in a ball with Dirichlet boundary conditions. Our nonlinearities are asymptotically p-linear at infinity and are allowed to be singular at zero with non-positone structure, which have not been considered in the literature. In the one parameter single equation problem, we are able to show the existence of a positive radial solution with precise lower bound estimate for a certain range of the parameter. We also extend the study to a class of asymptotically p-linear system with two parameters and in the presence of singularities. We establish the existence of a positive solution with a precise lower bound estimate when the product of the parameters is in a certain range. Necessary and sufficient conditions for the existence of a positive solution are also obtained for both the single equation and system under additional assumptions. Our approach is based on the Schauder Fixed Point Theorem.

本文主要在考慮某類二階橢圓型偏微分方程式解的不存在問題，共分為三部分。 在第一部分中，首先利用均值函數之方法（此法曾見於〔Ｎ〕及〔Ｃ〕等多篇文獻 ）來研究如下之二階積分－微分方程式， ╭ (0.1) △u ＝ K(x)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│)q(u(y))dy ╯R□ ，x R□,n ＞ 2 ，在此 ▔ (1) △表示ｎ維的拉氏(Laplace) 運算子。 (2) K(．),H(．) 及 a(．) 是局部赫德 (Holder) 連續的非負函數。 σ δ (3) h(．) 及 q(．) 滿足適當的條件，如 〞ｈ(ｕ) ＝ ｕ 及ｑ(ｕ)＝ｕ ” δｕ σｕ 或 ”ｈ(ｕ)＝ｅ 及 ｑ(ｕ)＝ｅ ” 。 當 H(．)≡0 時，鄭國順教授及林震燦教授〔Ｃ〕，已証明當γ足夠大時，若存在 某一正常數Ｃ，使得 __ Ｃ Ｋ(γ) ＞ ── ▔ γ□ __ （在此Ｋ表示函數Ｋ之均值函數），則方程式(0.1) 在Ｒ□中不存在任何正〔有界 〕的解。 令我們感興趣的是當 H(．)≡0 時，在那些條件下會有類似的結果發生。本文證明 ，當γ足夠大時，若存在某正常數Ｃ使得 __ ╭ ∞ n-1 Ｃ Ｋ(γ) ＋ Ｈ(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ─── ╯γ ▔ γ□' 則可經由詹森氏(Jensen's)不等式及赫德不等式，利用反證法去得到類似的結果。 在第二部份中，將研究下列之擬線性微分方程式解的不存在問題， ╭ (0.2) ．[g(│ u│) u]＝K(│x│)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│) ╯R□ q(u(y))dy, x R□,n ＞ 2 ，在此 ▔ (1) u 表示ｕ的梯度。 __ (2) ｇ:Ｒ ──→Ｒ 屬於 Ｃ〔0,p□〕∩Ｃ□（0,p□）,p□ 為區間〔0,∞〕 □ □ 中之某一常數。 (3) (pg(p))'＞0 對所有的p (0,p□)。 (4) K(．),H(．) 及a(．) 均為局部赫德 (Holder)-連續的非負函數。 σ δ (5) h(．)及 g(．) 滿足適當的條件，如”h(u)＝u 及 q(u)＝u 〞 或〞h(u)＝ σu δu e 及 q(u)＝e ”。 首先定義函數ψ如下 ψ＝pg(│p│) p R. 若ψ的反函數存在，則可經由赫德不等式推導出一積分不等式，接著可利用此不等 式經由反證法得到下列的結果： (Ⅰ)在下列條件下 (a) 0 ＜ g(p) ＜ kp□ ，對任意非負常數ｍ及正常數ｋ以及所有p＞0均成立 。▔ ▔ (b) ｍ及ｎ滿足〞m＞0 且 n＞2〞 或〞m＝0 且 n＞ 3〞。 ▔ ▔ Ｃ (c) 當γ足夠大時，存在正常數Ｃ，使得 K(r) ＞ ──── 成立。 ▔ γm+2 ，當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。 (Ⅱ)如果 g(．),K(．),H(．)及a(．) 滿足 (a) 對任意正常數ｋ及所有實數 p, 0 ＜ g(p) ＜ k ＜ ∞ 恆成立。 ▔ ▔ (b) 在γ足夠大時，存在正常數Ｃ使得 ╭ ∞ n-1 Ｃ K(γ)＋H(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ─── ╯γ ▔ γ□ ，則當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。 在第三部份中，主要在處理如下之擬線性微分方程式的正放射解之不存在問題， ╭ │ ．[g(│ u│) u]＝f(│x│,u) x Ω, (0.3) ＜ u(x)＝0 x Ω, │ u(x) 0 x Ω, ╰ 在此Ω為 R□中之一球。 在[NT],[NM] 及 [NS] 中，作者利用波氏 (Pohozaev) 不等式去證明方程式(0.3) 在ｆ只含變數ｕ時，解的不存在結果。 在本文，將去探討當ｆ含變數ｕ及ｒ時，在何種條件下會使方程式(0.3) 不存在正 放射性解。首先，經由假設方程式(0.3) 存在正放射性解，吾人得到一個一般化的 波氏不等式，然後將其應用於部份擬線性橢圓型偏微分方程式上（如拉氏運算子， 平均曲率運算子及一般化平均曲率運算子），並去證明這些方程式在Ω上不存在任 何正放射性解。

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax > 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps. / In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax > 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term.