Understanding the behavior of viscous incompressible fluids is essential for scientificapplications, yet when modeling them presents significant theoretical and practical chal-lenges. This study aimed to develop a numerical solver especially for the two-dimensionalNavier-Stokes equation, tailored for modeling the dynamics of a viscous incompressiblefluid, to conserve the enstrophy. The goal was to accurately simulate a physical sys-tem, and apply numerical methods such as Runge-Kutta 4, Forward Euler’s method,and pseudo-spectral methods to construct and solve the governing Partial DifferentialEquations (PDEs). These methods were evaluated for their ability to conserve the enstrophy. Not onlyenhancing our understanding of the application of the equation in real physical systems,this research also contributes to expanding the understanding of numerical methodologiesfor complicated PDEs in physical simulations. Using the aforementioned methods, together with strategically specific initial condi-tions, it is observable that the methods are sufficient for conserving the enstrophy whendealing with only the linear part of Navier-Stokes. To improve the numerical methodsconcerning the non-linear part of the Navier-Stokes, a perturbation method was imple-mented. Outcomes from this method appear promising however, implementation andmore detailed analysis are not included in this report due to time constraints. Thisrecovery strategy represents a foundation for further exploration in further research.

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.

Nous nous intéresserons d'abord aux équations stochastiques de Navier-Stokes bidimensionnelles (NS), de Ginzburg-Landau Complexes (CGL) et de Schrödinger non-linéaires (NLS) munies d'un bruit blanc en temps et régulier pour la variable spatiale. En nous appuyant sur des méthodes de couplages, nous établirons le caractère exponentiellement (resp polynomialement) mélangeant de NS et CGL (resp NLS) lorseque le bruit recouvre un nombre suffisant de bas modes. Deux des innovations majeures de ces résultats sont le fait que l'on s'autorise à traiter des équations non-dissipatives telles que NLS et que l'on considère des bruits non additifs.<br />Dans un deuxième temps, nous considérerons les équations de Navier-Stokes stochastiques tridimensionnelles (NS3D). Nous établirons la régularité Hp et Gevrey des solutions stationnaires de NS3D et nous en déduirons des informations sur l'échelle de dissipation de Kolmogorov (K41). Puis, nous établirons le caractère exponentiellement mélangeant des solutions de NS3D lorsque le bruit est à la fois suffisament régulier et non-dégénéré.