Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties relativement indépendantes. Dans la première partie, nous reprenons le problème de la définition d'une classe de processus markoviens à une infinité de coordonnées (systèmes de particules en interaction). Nous en proposons une construction ne mettant en jeu ni d'analyse fonctionnelle (ou peu), ni de problème de martingale. Ceci est fait en utilisant des outils probabilistes élémentaires, notamment des couplages adéquats. On fait pour cela une certaine hypothèse sur les taux individuels de transition, qui a été déjà exploitée dans la construction de T. M. Liggett (1972) notamment. Notre construction a l'avantage d'expliquer, plus concrètement que dans les autres constructions, le caractère naturel de cette hypothèse. \\Dans une seconde partie, nous considérons un modèle de croissance cristalline introduit par D. J. Gates et M. Westcott en 1987, où des particules du milieu environnant s'agrègent à la surface d'un cristal à maille carrée. Le modèle est caractérisé par des taux de déposition en chaque site qui prennent une certaine forme. Nos résultats portent principalement sur la question de la récurrence et de la récurrence positive de la surface du cristal en fonction de certains paramètres. Nous montrons notamment l'existence d'une zone de paramètres dans laquelle transience et récurrence positive coexistent, et suspectée de présenter un phénomène critique. La troisième partie porte sur la question de la convergence en loi pour le processus de contact (sur Z) sous-critique vu du bord, partant d'une demi-droite de sites occupés. Nous donnons dans un premier temps une démonstration alternative d'un résultat récent de E. D. Andjel, pour la convergence en loi dans la percolation 2D orientée qui est un équivalent discret du contact. Nous établissons un résultat en relation : le processus de contact vu du bord, sur les configurations finies, admet une limite de Yaglom. Enfin nous mettons en évidence les difficultés à surmonter pour adapter le résultat d'Andjel au temps continu.

Le sujet principal de la thèse sont les systèmes de particules en interaction sur des graphes soit deterministes soit aléatoires. Les systèmes de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistingables en interaction forte les unes avec les autres qui sont utilisés pour modéliser des phénomènes d'épidémies, de dynamiques des populations ou des processus chimiques. Dans la première partie de la thèse nous avons analysé l'ordre stochastique et l'attractivité dans une classe de systèmes de particules avec des naissances, des morts et des sauts de plus d'une particule à la fois qui dépendent de la conguration de manière très générale: nous avons utilisé l'attractivité pour obtenir des resultats d'ergodicité pour des modèles d'epidemie et pour construire des mesures invariantes non-triviales pour des modèles de dinamiques de métapopulations. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons analysé les marches aléatoires coalescentes sur des graphes aléatoires, les graphes small world. Nous avons montré que le nombre de particules d'un processus de n marches aléatoires coalescentes renormalisées qui partent d'une ensemble particulier sur le small world converge vers un processus coalescent de Kingman. Nous avons aussi obtenu des resultats detaillés sur le temps de rencontre de deux particules sur le small world.

Ma thèse porte sur l'étude de la distribution de processus stochastiques avec absorption et leur approximation. Ces processus trouvent des applications dans de nombreux domaines, tels que l'écologie, la finance ou les études de fiabilité. Nous étudions en particulier l'évolution en temps long de la distribution de processus de Markov avec absorption. La distribution limite d'un processus conditionné à ne pas être éteint au moment où on l'observe permet de décrire et d'expliquer des comportements non-triviaux, comme les plateaux de mortalité. Lorsqu'une telle distribution existe, elle est appelée distribution quasi-stationnaire. Dans le premier chapitre, nous rappelons et démontrons en toute généralités des propriétés propres à ces distributions. Dans les chapitres suivants, nous démontrons dans une grande généralité une méthode particulaire d'approximation des distributions de processus de Markov conditionnés à ne pas être absorbés et de leur limite distribution quasi-stationnaire. Des programmes en C++ ont été écrits afin d'implémenter numériquement l'approximation particulaire de distribution quasi-stationnaires de processus provenant de modèles biologiques, tels que les diffusions de Wright-Fisher et les diffusions de Lotka-Volterra. La méthode d'approximation démontrée dans cette thèse associée à des méthodes de couplage nous permet également d'obtenir des nouveaux résultats d'existence et d'unicité de distributions quasi-stationnaires, ainsi que de démontrer des propriétés de mélanges nouvelles pour les diffusions conditionnées à ne pas sortir d'un ouvert borné.

Le sujet de cette thèse est l'étude du rôle du bruit dans les systèmes interagissants, avec en vue des applications dans les systèmes biologiques. Cette étude est basée sur le modèle de Kuramoto, qui est un modèle d'oscillateurs uni-dimensionnels interagissants admettant une transition de phase de synchronisation, ainsi que sur certaines de ses généralisations. Une première partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin, K. Pakdaman et X. Pellegrin) est consacrée au modèle des "Active Rotators", une généralisation du modèle de Kuramoto, dans lequel chaque oscillateur a une dynamique propre, qui est peut être choisie excitable. Nous démontrons de manière rigoureuse que le système global peut avoir une dynamique très différente de celle d'un oscillateur isolé, en réduisant le problème à un problème de phase. On peut en particulier voir l'apparition de phénomènes périodiques. La deuxième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et E. Luçon) est consacrée à l'étude du modèle de Kuramoto bruité, dans la limite du faible désordre. Nous démontrons en particulier, dans le cas où le désordre n'est pas symétrique, l'existence d'une solution périodique et donnons un développement de sa vitesse. La troisième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et L. Bertini) est consacrée au comportement du modèle de Kuramoto en temps long (proportionnel au nombre d'oscillateurs): les oscillateurs conservent un profil synchronisé qui se déplace dans la limite d'une infinité d'oscillateurs suivant un mouvement Brownien. Enfin dans la dernière partie je me suis intéressé à la problématique de réduction de phase dans le cas du problème de sortie de potentiel, pour des modèle proches de la réversibilité.

La plupart des modèles mathématiques introduits dans la littérature biologique décrivant des phénomènes spatiaux de populations en interaction consistent en des systèmes d'équations différentielles ordinaires obtenues sous des hypothèses de dispersion globale, excluant par conséquent toute structure spatiale. Les systèmes de particules, au contraire, sont des processus de Markov d'espace d'états $F^S$ où $F$ est un ensemble fini de couleurs et $S$ est une structure spatiale, typiquement $\Z^d$. Ils sont en ce sens parfaitement adaptés à l'étude des conséquences de l'inclusion d'une structure spatiale sous forme d'interactions locales. Nous étudions les propriétés mathématiques (mesures stationnaires, géométrie des configurations, transitions de phases) de différents systèmes de particules multicolores définis sur $\Z^d$. Chacun de ces systèmes est déstiné à modéliser les interactions locales au sein d'une communauté de populations structurée spatialement. Plus précisément, les processus biologiques étudiés sont la succession écologique, l'allélopathie ou compétition entre une espèce inhibitrice et une espèce sensible, les interactions multispécifiques hôtes-symbiontes, et les migrations continues de gènes des cultures transgéniques par pollinisation en milieu hétérogène. Les techniques mathématiques sont purement probabilistes, incluant le couplage, la dualité, les arguments multi-échelle, la percolation orientée, les propriétés asymptôtiques des marches aléatoires, ou encore les estimations de grandes déviations.

Dans cette thèse, je m'intéresse à des modèles stochastiques de particules sur réseaux qui suivent une dynamique de Glauber avec contraintes cinétiques (KCSM), et particulièrement aux modèles Est et FA-1f. Ces modèles sont apparus en physique pour l'étude des systèmes vitreux. Dans ce document se trouve d'abord un résumé en français de son contenu. Puis viennent trois chapitres présentant le cadre dans lequel mes travaux s'inscrivent et montrant à la fois leurs contributions et à quelles notions et techniques ils font appel. Je centre ma présentation des KCSM sur les objets et résultats qui ont joué un rôle direct dans mes recherches. Mes articles sont regroupés en annexe avec éventuellement quelques extensions retranchées pour la publication. Le premier chapitre est une introduction aux KCSM. Le deuxième chapitre présente des résultats hors équilibre pour les KCSM. J'expose d'abord des résultats de relaxation locale ; pour le modèle FA-1f il s'agit d'un travail commun avec N. Cancrini, F. Martinelli, C. Roberto et C. Toninelli. J'étudie ensuite la progression d'un front dans le modèle Est, et montre un théorème de forme ainsi qu'un résultat d'ergodicité pour le processus vu du front. Ce résultat repose sur la quantification de la relaxation locale du processus vu du front plutôt que sur des arguments classiques de sous-additivité. Le dernier chapitre explore des questions liées à la dynamique des KCSM à basse température (soit à haute densité). Je rappelle des résultats asymptotiques sur le trou spectral des modèles Est et FA-1f et propose quelques heuristiques et conjectures. Je m'intéresse ensuite au comportement à basse température du coefficient de diffusion d'un traceur dans un KCSM, dans l'optique de donner des réponses rigoureuses à des questions posées dans la littérature physique.

Le processus de contact est l'un des systèmes de particules en interaction les plus étudiés. Il peut s'interpréter comme un modèlepour la propagation d'un virus dans une population ou sur un réseau. L'objectif de cette thèse est d'étudier la relation entre la structure locale du réseau et le comportement global du processus sur le réseau tout entier.Le cadre typique dans lequel on se place est celui d’une suite de graphes aléatoires $(G_n)$ convergeant localement vers un graphe limite $G$.On étudie alors le comportement asymptotique du temps d’extinction $tau_n$ du processussur $G_n$; lorsqu’initialement tous les individus sont infectés. Nous montrons sur plusieurs exemples qu’il existe unetransition de phase lorsque $lambda$ - le taux d'infection du processus - traverse une valeur critique $ lambda_c (G)$, qui ne dépend que de $G$.Plus précisément, pour certains modèles de graphes aléatoires comme le modèle de configuration, le graphe d'attachement préférentiel, le graphe géométrique aléatoire, le graphe inhomogène, nous montrons que $ tau_n $ est d'ordre soit logarithmique soit exponentiel; selon que $ lambda$ est soit inférieur ou supérieur à $lambda_c (G) $.De plus, dans certains cas, nous montrons des résultats de métastablité: en régime sur-critique, $ tau_n $ divisé par son espérance converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de moyenne $1$, et la densité des sites infectés reste stable (et non nulle) sur une période de temps d’ordre typiquement $tau_n$. / The contact process is one of the most studied interacting particle systems and is also often interpreted as a model for the spread of a virus in a population or a network. The aim of this thesis is to study the relationship of the local structure of the network and the global behavior of the contact process (the virus) on the whole network. Let $(G_n)$ be a sequence of random graphs converging weakly to a graph $G$. Then we study $tau_n$, the extinction time of the contact process on $G_n$ starting from full occupancy. We prove in some examples that there is a phase transition of $tau_n$ when $lambda$ - the infection rate of the contact process crosses a critical value $lambda_c(G)$ depending only on $G$. More precisely, for some models of random graphs, such as the configuration model, preferential attachment graph, random geometric graph, inhomogeneous graph, we show that $tau_n$ is of logarithmic (resp. exponential) order when $lambda < lambda_c(G)$ (resp. $lambda < lambda_c(G)$). Moreover, in some cases we also prove metastable results: in the super-critical regime, $tau_n$ divided by its expectation converges in law to an exponential random variable with mean $1$, and the density of the infected sites is stable for a long time.

Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.