Cette thèse s'inscrit dans l'étude des systèmes de particules en interaction et plus précisément dans celle des modèles de croissance aléatoire qui représentent une quantité qui grandit au cours du temps et s'étend sur un réseau. Ce type de processus apparaît naturellement lorsqu'on s'intéresse à l'évolution d'une population ou à la propagation d'une épidémie. L'un de ces modèles est celui du processus de contact introduit par T.E. Harris en 1974. Il compte parmi les plus simples à représenter une transition de phase ce qui a rendu son étude passionnante.Le processus de contact standard sur le réseau Zd est maintenant relativement bien connu sous toutes ses phases et on étudie maintenant des variantes naturelles de ce processus comme celle à laquelle nous nous intéressons ici : le processus de contact standard sur le graphe Booléen qui est un graphe aléatoire dans Rd. Notre travail a été motivé notamment par le résultat suivant de L. Ménard er A. Singh : sur ce réseau aléatoire, le processus de contact admet ube transition de phase non-triviale. C'est le premier exemple de graphe à degré non-borné sur lequel la transition de phase du processus de contact n'est pas triviale. Nous commençons notre travail par une étude du modèle Booléen surcritique pour dégager des propriétés de régularité à grande échelle. Ces propriétés nous permettent ensuite d'adapter les démarches usuelles de l'étude du processus de contact sur les réseaux déterministes au cadre aléatoire Booléen. Dans notre résultat principal, nous montrons un théorème de forme asymptotique déterministe pour notre modèle. En fait, il apparaît que les propriétés de régularité à grandes échelles mentionnées ci-dessus sont suffisantes pour montrer un théorème de forme asymptotique sur d'autres graphes aléatoires / This thesis is a contribution to the mathematical study of interacting particle systems, and more precisely of random growth models representing a spreading shape over time in a lattice. These processes occur when one is interested in the evolution of a population or the spread of an epidemic. One of those models is the contact process introduced by Harris in 1974 with the goal of representing this specific spread. It is one of the simplest interacting particle systems that exhibits a critical phenomenon and today, in the cubic lattice, its behavior is well-known on each phase. Here, we study the standard contact process the Boolean graph which is a random graph in Rd. Our work in particular was motivated by the following result of L. M´enard and A. Singh: on this random network, the contact process admits a non-trivial phase transition. This is the first example of a non-bounded degree graph on which the phase transition of the contact process is non-trivial. We begin our work with a study of the supercritical Boolean model to find large scale regularity properties that allow us to adapt the usual approaches of the study of the contact process on the deterministic networks to the Boolean random framework. In our main result, we show that our model satisfies a deterministic asymptotic shape theorem. In fact, it appears that the large scale regularity properties mentioned above are sufficient to obtain an asymptotic shape theorem on other random graphs

Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties relativement indépendantes. Dans la première partie, nous reprenons le problème de la définition d'une classe de processus markoviens à une infinité de coordonnées (systèmes de particules en interaction). Nous en proposons une construction ne mettant en jeu ni d'analyse fonctionnelle (ou peu), ni de problème de martingale. Ceci est fait en utilisant des outils probabilistes élémentaires, notamment des couplages adéquats. On fait pour cela une certaine hypothèse sur les taux individuels de transition, qui a été déjà exploitée dans la construction de T. M. Liggett (1972) notamment. Notre construction a l'avantage d'expliquer, plus concrètement que dans les autres constructions, le caractère naturel de cette hypothèse. \\Dans une seconde partie, nous considérons un modèle de croissance cristalline introduit par D. J. Gates et M. Westcott en 1987, où des particules du milieu environnant s'agrègent à la surface d'un cristal à maille carrée. Le modèle est caractérisé par des taux de déposition en chaque site qui prennent une certaine forme. Nos résultats portent principalement sur la question de la récurrence et de la récurrence positive de la surface du cristal en fonction de certains paramètres. Nous montrons notamment l'existence d'une zone de paramètres dans laquelle transience et récurrence positive coexistent, et suspectée de présenter un phénomène critique. La troisième partie porte sur la question de la convergence en loi pour le processus de contact (sur Z) sous-critique vu du bord, partant d'une demi-droite de sites occupés. Nous donnons dans un premier temps une démonstration alternative d'un résultat récent de E. D. Andjel, pour la convergence en loi dans la percolation 2D orientée qui est un équivalent discret du contact. Nous établissons un résultat en relation : le processus de contact vu du bord, sur les configurations finies, admet une limite de Yaglom. Enfin nous mettons en évidence les difficultés à surmonter pour adapter le résultat d'Andjel au temps continu.

Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties relativement indépendantes.Dans la première partie, nous reprenons le problème de la définition d'une classe de processus markoviens à une infinité de coordonnées (systèmes de particules en interaction). Nous en proposons une construction ne mettant en jeu ni d'analyse fonctionnelle (ou peu), ni de problème de martingale. Ceci est fait en utilisant des outils probabilistes élémentaires, notamment des couplages adéquats. On fait pour cela une certaine hypothèse sur les taux individuels de transition, qui a été déjà exploitée dans la construction de T. M. Liggett (1972) notamment. Notre construction a l'avantage d'expliquer, plus concrètement que dans les autres constructions, le caractère naturel de cette hypothèse.Dans une seconde partie, nous considérons un modèle de croissance cristalline introduit par D. J. Gates et M. Westcott en 1987, où des particules du milieu environnant s'agrègent à la surface d'un cristal à maille carrée. Le modèle est caractérisé par des taux de déposition en chaque site qui prennent une certaine forme. Nos résultats portent principalement sur la question de la récurrence et de la récurrence positive de la surface du cristal en fonction de certains paramètres. Nous montrons notamment l'existence d'une zone de paramètres dans laquelle transience et récurrence positive coexistent, et suspectée de présenter un phénomène critique. / The results of this thesis are organized in three parts that are nearly independent.In the first part, we treat the problem of the defintion of a class of Markov processes with infinitely many coordinates, namely interacting particle systems. We propose a construction involving neither functional analysis, nor martingale problems. This is done using elementary probabilistic tools, such as proper couplings. Our technique requires a certain assumption on the jump rates which is, up to a slight generalization, the one used in T. M. Liggett's construction. Our construction has the advantage to give more intuition on the necessity of this assumption.In the second part, we consider a crystal growth model proposed by D. J. Gates and M. Westcott in 1987, where floating particles are packed on the surface of a square-lattice crystal, with prescribed deposition rates. We treat the question of the recurrence and positive recurrence of the interface, according to the value of certain parameters. We study especially a zone of parameters where transience and positive recurrence coexist. In this zone a critical phenomenon is suspected to occur.The third part deals with the question of the convergence in law for the subcritical contact process (on ZZ) seen from the edge, starting from a half-line of occupied sites. First we give an alternative proof of a recent result by E. D. Andjel, stating that convergence holds in a closely related discrete-time model. In continuous time we establish that the finite contact process seen from the edge has a Yaglom limit.

La plupart des modèles mathématiques introduits dans la littérature biologique décrivant des phénomènes spatiaux de populations en interaction consistent en des systèmes d'équations différentielles ordinaires obtenues sous des hypothèses de dispersion globale, excluant par conséquent toute structure spatiale. Les systèmes de particules, au contraire, sont des processus de Markov d'espace d'états $F^S$ où $F$ est un ensemble fini de couleurs et $S$ est une structure spatiale, typiquement $\Z^d$. Ils sont en ce sens parfaitement adaptés à l'étude des conséquences de l'inclusion d'une structure spatiale sous forme d'interactions locales. Nous étudions les propriétés mathématiques (mesures stationnaires, géométrie des configurations, transitions de phases) de différents systèmes de particules multicolores définis sur $\Z^d$. Chacun de ces systèmes est déstiné à modéliser les interactions locales au sein d'une communauté de populations structurée spatialement. Plus précisément, les processus biologiques étudiés sont la succession écologique, l'allélopathie ou compétition entre une espèce inhibitrice et une espèce sensible, les interactions multispécifiques hôtes-symbiontes, et les migrations continues de gènes des cultures transgéniques par pollinisation en milieu hétérogène. Les techniques mathématiques sont purement probabilistes, incluant le couplage, la dualité, les arguments multi-échelle, la percolation orientée, les propriétés asymptôtiques des marches aléatoires, ou encore les estimations de grandes déviations.

Le processus de contact est l'un des systèmes de particules en interaction les plus étudiés. Il peut s'interpréter comme un modèlepour la propagation d'un virus dans une population ou sur un réseau. L'objectif de cette thèse est d'étudier la relation entre la structure locale du réseau et le comportement global du processus sur le réseau tout entier.Le cadre typique dans lequel on se place est celui d’une suite de graphes aléatoires $(G_n)$ convergeant localement vers un graphe limite $G$.On étudie alors le comportement asymptotique du temps d’extinction $tau_n$ du processussur $G_n$; lorsqu’initialement tous les individus sont infectés. Nous montrons sur plusieurs exemples qu’il existe unetransition de phase lorsque $lambda$ - le taux d'infection du processus - traverse une valeur critique $ lambda_c (G)$, qui ne dépend que de $G$.Plus précisément, pour certains modèles de graphes aléatoires comme le modèle de configuration, le graphe d'attachement préférentiel, le graphe géométrique aléatoire, le graphe inhomogène, nous montrons que $ tau_n $ est d'ordre soit logarithmique soit exponentiel; selon que $ lambda$ est soit inférieur ou supérieur à $lambda_c (G) $.De plus, dans certains cas, nous montrons des résultats de métastablité: en régime sur-critique, $ tau_n $ divisé par son espérance converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de moyenne $1$, et la densité des sites infectés reste stable (et non nulle) sur une période de temps d’ordre typiquement $tau_n$. / The contact process is one of the most studied interacting particle systems and is also often interpreted as a model for the spread of a virus in a population or a network. The aim of this thesis is to study the relationship of the local structure of the network and the global behavior of the contact process (the virus) on the whole network. Let $(G_n)$ be a sequence of random graphs converging weakly to a graph $G$. Then we study $tau_n$, the extinction time of the contact process on $G_n$ starting from full occupancy. We prove in some examples that there is a phase transition of $tau_n$ when $lambda$ - the infection rate of the contact process crosses a critical value $lambda_c(G)$ depending only on $G$. More precisely, for some models of random graphs, such as the configuration model, preferential attachment graph, random geometric graph, inhomogeneous graph, we show that $tau_n$ is of logarithmic (resp. exponential) order when $lambda < lambda_c(G)$ (resp. $lambda < lambda_c(G)$). Moreover, in some cases we also prove metastable results: in the super-critical regime, $tau_n$ divided by its expectation converges in law to an exponential random variable with mean $1$, and the density of the infected sites is stable for a long time.

Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la technique du mâle stérile, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre. Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau Z^d. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque d=1 et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase. Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension d, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur Z^d, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réaction-diffusion, auquel s'ajoutent des conditions de Dirichlet aux bords en présence de réservoirs. / In this thesis, we study an interacting particle system that generalizes a contact process, evolving in a random environment. The contact process can be interpreted as a spread of a population or an infection. The motivation of this model arises from behavioural ecology and evolutionary biology via the sterile insect technique ; its aim is to control a population by releasing sterile individuals of the same species: the progeny of a female and a sterile male does not reach sexual maturity, so that the population is reduced or potentially dies out. To understand this phenomenon, we construct a stochastic spatial model on a lattice in which the evolution of the population is governed by a contact process whose growth rate is slowed down in presence of sterile individuals, shaping a dynamic random environment. A first part of this document investigates the construction and the properties of the process on the lattice Z^d. One obtains monotonicity conditions in order to study the survival or the extinction of the process. We exhibit the existence and uniqueness of a phase transition with respect to the release rate. On the other hand, when d=1 and now fixing initially the random environment, we get further survival and extinction conditions which yield explicit numerical bounds on the phase transition. A second part concerns the macroscopic behaviour of the process by studying its hydrodynamic limit when the microscopic evolution is more intricate. We add movements of particles to births and deaths. First on the d-dimensional torus, we derive a system of reaction-diffusion equations as a limit. Then, we study the system in infinite volume in Z^d, and in a bounded cylinder whose boundaries are in contact with stochastic reservoirs at different densities. As a limit, we obtain a non-linear system, with additionally Dirichlet boundary conditions in bounded domain.

Cette thèse s'inscrit dans l'étude des systèmes de particules en interaction et plus précisément dans celle des modèles de croissance aléatoire qui représentent un quantité qui grandit au cours du temps et s'étend sur un réseau. Ce type de processus apparaît naturellement quand on regarde la croissance d'un cristal ou bien la propagation d'une épidémie. Cette dernière est bien modélisée par le processus de contact introduit en 1974 par Harris. Le processus de contact est un des plus simples systèmes de particules en interaction présentant une transition de phase et l'on connaît maintenant bien son comportement sur ses phases. De nombreuses questions ouvertes sur ses extensions, notamment celles de formes asymptotiques, ont motivé ce travail. Après la présentation de ce processus et de certaines de ses extensions, nous introduisons et étudions une nouvelle variante: le processus de contact avec vieillissement où les particules ont un âge qui influence leur capacité à donner naissance à leurs voisines. Nous effectuerons pour ce modèle un couplage avec une percolation orientée inspiré de celui de Bezuidenhout-Grimmett et nous montrerons la croissance d'ordre linéaire de ce processus. Dans la dernière partie de la thèse, nous nous intéressons à la preuve d'un théorème de forme asymptotique pour des modèles généraux de croissance aléatoire grâce à des techniques sous-Additives, parfois complexes à mettre en place à cause de la non 'survie presque sûre' de nos modèles. Nous en concluons en particulier que le processus de contact avec vieillissement, le processus de contact en environnement dynamique, la percolation orientée avec immigration hostile, et le processus de contact avec sensibilisation vérifient des résultats de forme asymptotique / This thesis is a contribution to the mathematical study of interacting particles systems which include random growth models representing a spreading shape over time in the cubic lattice. These processes are used to model the crystal growth or the spread of an infection. In particular, Harris introduced in 1974 the contact process to represent such a spread. It is one of the simplest interacting particles systems which exhibits a critical phenomenon and today, its behaviour is well-Known on each phase. Many questions about its extensions remain open and motivated our work, especially the one on the asymptotic shape. After the presentation of the contact process and its extensions, we introduce a new one: the contact process with aging where each particle has an age age that influences its ability to give birth to its neighbours. We build a coupling between our process and a supercritical oriented percolation adapted from Bezuidenhout-Grimmett's construction and we establish the 'at most linear' growth of our process. In the last part of this work, we prove an asymptotic shape theorem for general random growth models thanks to subadditive techniques, which can be complicated in the case of non-Permanent models conditioned to survive. We conclude that the process with aging, the contact process in randomly evolving environment, the oriented percolation with hostile immigration and the bounded modified contact process satisfy asymptotic shape results