Dans cette thèse, nous étudions les écoulements de fluides compressibles décrits par les équations de Navier-Stokes-Fourier dans les cas stationnaire et instationnaire et avec des conditions de bord assurant l’isolation thermique et mécanique du fluide. On commence par le cas stationnaire barotrope et des conditions de Navier à la frontière du domaine. La pression est donc de la forme p(%) = % où est appelé coefficient adiabatique et nous arrivons à montrer l’existence de solutions faibles pour > 1.On généralise ensuite ce résultat aux équations de Navier-Stokes-Fourier avec conduction de la chaleur et glissement (partiel ou total) au bord, toujours dans le cas stationnaire. On montre cette fois-ci l’existence de solutions faibles particulières appelées solutions entropiques variationnelles respectant l’inégalité d’entropie pour > 1 et l’existence de solutions faibles respectant le bilan de l’énergie totale au sens faible pour > 5/4. On travaille ensuite sur les écoulements instationnaires décrits par les équations de Navier-Stokes-Fourier sur une large variété de domaines non bornés, tout d’abord pour des conditions de bord d’adhérence puis pour des conditions de Navier à la frontière (ce qui restreintquelque peu la diversité des domaines non bornés admissibles). On arrive à montrer l’existence de solutions faibles particulières respectant l’inégalité d’entropie et une inégalité de dissipation remplaçant l’égalité de conservation d’énergie totale dans le volume qui n’a plus de sens dans les domaines non bornés. Par après, on met en place une inégalité dite d’entropie relative dont on montre qu’elle est respectée par certaines des solutions faibles exhibées auparavant. Ces solutions sont appelées solutions dissipatives. On parvient à prouver que pour chaque donnée initiale, il existe au moins une solution dissipative. Cette inégalité d’entropie relative nous permet de démontrer le principe d’unicité forte-faiblepour nos solutions dissipatives. Précisément, cela signifie qu’une solution dissipative et une solution forte issues des mêmes données initiales coïncident sur le temps maximal d’existence de la solution forte. La propriété d’unicité forte-faible donne un fondement à la notion de solution dissipative pour les domaines non bornés. / In this thesis, we study the Navier-Stokes-Fourier system describing the flow of compressible fluids both in the steady and unsteady case and we suppose that the fluid is thermally and mechanically isolated. We start with the case of a steady barotropic fluid and Navier boundary conditions. In this situation, the pressure law considered is of the form p(%) = %, where is called the adiabatic constant. We show the existence of weak solutions for > 1. We then extend this result to the complete Navier-Stokes-Fourier system with heat conductivity and slip or partially slip boundary conditions, once again in thesteady case. In this setup, we prove the existence of a specific type of weak solutions, called variationnal entropy solutions, which satisfy the entropy inequality for > 1 and the existence of weak solutions satisfying the conservation of total energy in its weak formulation for > 5/4. We then treat the unsteady flows described by the complete Navier-Stokes-Fourier system on a large class of unbouded domains, first with no-slip boundary conditions and then with the Navier boundary conditions which reduce the class of the admissible unbounded domains. We manage to prove the existence of a specific type of weak solutions verifying the entropy inequality and a dissipation inequality instead of the global conservation of total energy which is no more relevant in the unbounded domains. Afterwards, we establish a new inequality called relative entropy inequality and we show that it is satisfied by some of the weak solutions presented previously. These are called dissipative solutions. Next we show that for any given initial data there exists at least one dissipative solution. This observation allows us toperform the proof of the weak-strong uniqueness principle in the class of dissipative solutions. Precisely, it means that a dissipative solution and a classical one emanating from the same initial data coincide as long as the latter exists. The weak-strong uniqueness property justifies the concept of dissipative solutions in the situation of unbounded domains.

Cette thèse vise à obtenir et à développer des modèles mathématiques pour comprendre certains aspects de la dynamique des fluides granulaires hétérogènes. Plus précisément, le résultat attendu consiste à développer trois modèles. Nous supposons dans un premier temps que la dynamique du matériau granulaire est modélisée à l’aide d’une approche fondée sur la théorie du mélange. D’autre part, pour les deux modèles restant, nous considérons que le fluide granulaire est modélisé à l’aide d’une approche multiphase associant des structures et des fluides rigides. Plus exactement : • Dans le premier modèle, nous avons obtenu un ensemble d’équations basées sur la théorie du mélange en utilisant des outils d’homogénéisation et une procédure thermodynamique. Ces équations reflètent deux propriétés essentielles des fluides granulaires : la nature visqueuse du fluide interstitiel et un comportement de type Coulomb de la composante granulaire. Avec nos équations, nous étudions le problème de Couette entre deux cylindres infinis d’un écoulement hétérogène granulaire dense, composé d’un fluide newtonien et d’une composante solide. • Dans le deuxième modèle, nous considérons le mouvement d’un corps rigide dans un matériau viscoplastique. Les équations 3D de Bingham modélisent ce matériau et les lois de Newton régissent le déplacement du corps rigide. Notre résultat principal est d’établir l’existence d’une solution faible pour le système correspondant. • Dans le troisième modèle, nous considérons le mouvement d’un corps rigide conducteur thermique parfait dans un fluide newtonien conducteur de la chaleur. Les équations 3D de Fourier-Navier-Stokes modélisent le fluide, tandis que les lois de Newton et l’équilibre de l’énergie interne modélisent le déplacement du corps rigide. Notre principal objectif dans cette partie est de prouver l’existence d’une solution faible pour le système correspondant. La formulation faible est composée de l’équilibre entre la quantité du mouvement et l’équation de l’énergie totale, qui inclut la pression du fluide, et implique une limite libre due au mouvement du corps rigide. Pour obtenir une pression intégrable, nous considérons une condition au limite de glissement de Navier pour la limite extérieure et l’interface mutuelle / This Ph.D. thesis aims to obtain and to develop some mathematical models to understand some aspects of the dynamics of heterogeneous granular fluids. More precisely, the expected result is to develop three models, one where the dynamics of the granular material is modeled using a mixture theory approach, and the other two, where we consider the granular fluid is modeled using a multiphase approach involving rigid structures and fluids. More precisely : • In the first model, we obtained a set of equations based on the mixture theory using homogenization tools and a thermodynamic procedure. These equations reflect two essential properties of granular fluids : the viscous nature of the interstitial fluid and a Coulomb-type of behavior of the granular component. With our equations, we study the problem of a dense granular heterogeneous flow, composed by a Newtonian fluid and a solid component in the setting of the Couette flow between two infinite cylinders. • In the second model, we consider the motion of a rigid body in a viscoplastic material. The 3D Bingham equations model this material, and the Newton laws govern the displacement of the rigid body. Our main result is the existence of a weak solution for the corresponding system. • In the third model, we consider the motion of a perfect heat conductor rigid body in a heat conducting Newtonian fluid. The 3D Fourier-Navier-Stokes equations model the fluid, and the Newton laws and the balance of internal energy model the rigid body. Our main result is the existence of a weak solution for the corresponding system. The weak formulation is composed by the balance of momentum and the balance of total energy equation which includes the pressure of the fluid, and it involves a free boundary (due to the motion of the rigid body). To obtain an integrable pressure, we consider a Navier slip boundary condition for the outer boundary and the mutual interface

Dans cette thèse, nous étudions les écoulements de fluides compressibles décrits par les équations de Navier-Stokes-Fourier dans les cas stationnaire et instationnaire et avec des conditions de bord assurant l'isolation thermique et mécanique du fluide. On commence par le cas stationnaire barotrope et des conditions de Navier à la frontière du domaine. La pression est donc de la forme p(%) = % où est appelé coefficient adiabatique et nous arrivons à montrer l'existence de solutions faibles pour > 1.On généralise ensuite ce résultat aux équations de Navier-Stokes-Fourier avec conduction de la chaleur et glissement (partiel ou total) au bord, toujours dans le cas stationnaire. On montre cette fois-ci l'existence de solutions faibles particulières appelées solutions entropiques variationnelles respectant l'inégalité d'entropie pour > 1 et l'existence de solutions faibles respectant le bilan de l'énergie totale au sens faible pour > 5/4. On travaille ensuite sur les écoulements instationnaires décrits par les équations de Navier-Stokes-Fourier sur une large variété de domaines non bornés, tout d'abord pour des conditions de bord d'adhérence puis pour des conditions de Navier à la frontière (ce qui restreintquelque peu la diversité des domaines non bornés admissibles). On arrive à montrer l'existence de solutions faibles particulières respectant l'inégalité d'entropie et une inégalité de dissipation remplaçant l'égalité de conservation d'énergie totale dans le volume qui n'a plus de sens dans les domaines non bornés. Par après, on met en place une inégalité dite d'entropie relative dont on montre qu'elle est respectée par certaines des solutions faibles exhibées auparavant. Ces solutions sont appelées solutions dissipatives. On parvient à prouver que pour chaque donnée initiale, il existe au moins une solution dissipative. Cette inégalité d'entropie relative nous permet de démontrer le principe d'unicité forte-faiblepour nos solutions dissipatives. Précisément, cela signifie qu'une solution dissipative et une solution forte issues des mêmes données initiales coïncident sur le temps maximal d'existence de la solution forte. La propriété d'unicité forte-faible donne un fondement à la notion de solution dissipative pour les domaines non bornés.

Nous présentons une théorie d'existence complète pour le système physique composé de fluides visqueux et des corps rigides plongés dedans. Nous considérons un domaine borné et les conditions aux limites de Dirichlet homogènes pour la vélocité. Le fluide et les corps sont conducteurs thermiques et ils échangent la chaleur. L'existence de la solution variationnelle globale dans le temps est démontrée par la méthode de pénalisation par la viscosité due à Conca, San Martin et Tucsnak. Dans les approximations ainsi que dans la dernière limite nous employons la théorie d'existence pour un fluide visqueux compressible développé par Feireisl. Le deuxième sujet est une amélioration dans la théorie d'existence pour un écoulement barotropique stationnaire. Nous utilisons les estimations potentielles pour la pression proposées par Plotnikov, Sokolowski, Frehse, Goj et Steinhauer. En utilisant ces estimations avec la théorie potentielle non-linéaire nous en concluons les estimations à priori et nous prouvons l'existence des solutions faibles

Title: Mathematical analysis of equations describing the flow of compressible heat conducting fluids Author: Šimon Axmann Department: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., Mathematical Institute of Charles University Abstract: The present thesis is devoted to the mathematical analysis of equa- tions describing the flow of viscous compressible newtonian fluid in various time regimes. In particular, we present existence results for three problems arising as special cases of a general model derived in the introductory part. The first chap- ter deals with time-periodic solutions to the full Navier-Stokes-Fourier system for heat-conducting fluid. The second chapter contains the proof of existence of steady solutions to a system arising from phase field model for two-phase com- pressible fluid. Finally, in the last section we study steady strong solutions to the Navier-Stokes equations under the additional assumption that the fluid is suffi- ciently dense. For each problem a different concept of the solution is considered, on the other hand in all cases an essential role is played by the crucial quantity effective viscous flux. Keywords: compressible Navier-Stokes system; weak solution; entropy variational solution; large data

Title: Numerical modeling of unstable fluid flow past heated bodies Author: Jan Pech Department: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: prof. Ing. František Maršík, DrSc., Mathematical Institute of Charles University Abstract: Presented work brings new results to numerical computations of flow influenced by temperature changes. Constructed numerical algorithm takes into account variable coefficients of the differential operators in the system of in- compressible Navier-Stokes equations coupled with thermal heat equation. The spatial discretisation of the problem targets to application of high order method, the spectral element method. Phenomenons connected with high order approxi- mations are discussed on a number of examples and comparisons with methods of lower order, which are more common. Results were achieved for two fluids with opposite response to heating, air and water. The observed quantity is par- ticularly a frequency of vortex shedding, the Strouhal number, as dependent on temperature and Reynolds number. The calculated values were compared with experimental results and exhibit a good coincidence. Numerical analysis of sep- aration angle in flow around heated circular cylinder may give a new impulse to verification of accuracy and reliability of the developed method. Keywords:...

In the present thesis we study the compressible Navier-Stokes-Fourier sys- tem. This is a system of partial differential equations describing the evolutionary problem for an adiabatic flow of a heat conducting compressible viscous fluid in a bounded domain. Here we consider the problem in two dimensions with zero Dirichlet boundary conditions for velocity. The cold pressure term in the pressure law for the momentum equation is here considered in the form pC(ϱ) ∼ ϱ logα (1+ϱ) for some α > 0, for which we need to work on the scale of Orlicz spaces in order to obtain useful estimates and in those space we formulate the problem weakly and also establish the weak compactness of the solution. The main result of this thesis is Theorem 6.1 where we show the existence of a weak solution with no assumptions on the size of the data and on arbitrary large time intervals. 1

We study physical systems composed of at least two immiscible fluids occu- pying different regions of space, the so-called phases. Flows of such multi-phase fluids are frequently met in industrial applications which rises the need for their numerical simulations. In particular, the research conducted herein is motivated by the need to model the float glass forming process. The systems of interest are in the present contribution mathematically described in the framework of the so-called diffuse interface models. The thesis consists of two parts. In the modelling part, we first derive standard diffuse interface models and their generalized variants based on the concept of multi-component continuous medium and its careful thermodynamic analysis. We provide a critical assessment of assumptions that lead to different models for a given system. Our newly formulated class of generalized models of Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Fourier (CHNSF) type is applicable in a non-isothermal setting. Each model belonging to that class describes a mixture of separable, heat conducting Newtonian fluids that are either compressible or incompressible. The models capture capillary and thermal effects in thin interfacial regions where the fluids actually mix. In the computational part, we focus on the development of an efficient and robust...

Title: Incompressible fluids with temperature dependent visco- sity, numerical analysis and computational simulations Author: RNDr. Oldřich Ulrych Department: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. Abstract: Flows of incompressible fluids connected with significant exchange of ther- mal and mechanical energy and with material moduli varying with the temperature and the shear rate, are described by the balance equations for linear momentum and energy, complemented by suitable constitution equations for the Cauchy stress and the heat flux. Assuming sufficient smoothness of quantities involved, the energy balance equation exhibits several equivalent formulations. However, within the context of weak solution, these formulations are, in general, not equivalent. This thesis is based on the existence theory for the generalized Navier-Stokes-Fourier system describing planar flow of fluids with a shear and temperature dependent vis- cosity. We specify parameters of a generalized power-law model under which weak formulations of balance equations are meaningful and both considered formulations of the energy balance equation are equivalent. Supported by the existence theory, we propose and numerically solve several problems pursuing the aim to systematically compare the...