Cette thèse vise à obtenir et à développer des modèles mathématiques pour comprendre certains aspects de la dynamique des fluides granulaires hétérogènes. Plus précisément, le résultat attendu consiste à développer trois modèles. Nous supposons dans un premier temps que la dynamique du matériau granulaire est modélisée à l’aide d’une approche fondée sur la théorie du mélange. D’autre part, pour les deux modèles restant, nous considérons que le fluide granulaire est modélisé à l’aide d’une approche multiphase associant des structures et des fluides rigides. Plus exactement : • Dans le premier modèle, nous avons obtenu un ensemble d’équations basées sur la théorie du mélange en utilisant des outils d’homogénéisation et une procédure thermodynamique. Ces équations reflètent deux propriétés essentielles des fluides granulaires : la nature visqueuse du fluide interstitiel et un comportement de type Coulomb de la composante granulaire. Avec nos équations, nous étudions le problème de Couette entre deux cylindres infinis d’un écoulement hétérogène granulaire dense, composé d’un fluide newtonien et d’une composante solide. • Dans le deuxième modèle, nous considérons le mouvement d’un corps rigide dans un matériau viscoplastique. Les équations 3D de Bingham modélisent ce matériau et les lois de Newton régissent le déplacement du corps rigide. Notre résultat principal est d’établir l’existence d’une solution faible pour le système correspondant. • Dans le troisième modèle, nous considérons le mouvement d’un corps rigide conducteur thermique parfait dans un fluide newtonien conducteur de la chaleur. Les équations 3D de Fourier-Navier-Stokes modélisent le fluide, tandis que les lois de Newton et l’équilibre de l’énergie interne modélisent le déplacement du corps rigide. Notre principal objectif dans cette partie est de prouver l’existence d’une solution faible pour le système correspondant. La formulation faible est composée de l’équilibre entre la quantité du mouvement et l’équation de l’énergie totale, qui inclut la pression du fluide, et implique une limite libre due au mouvement du corps rigide. Pour obtenir une pression intégrable, nous considérons une condition au limite de glissement de Navier pour la limite extérieure et l’interface mutuelle / This Ph.D. thesis aims to obtain and to develop some mathematical models to understand some aspects of the dynamics of heterogeneous granular fluids. More precisely, the expected result is to develop three models, one where the dynamics of the granular material is modeled using a mixture theory approach, and the other two, where we consider the granular fluid is modeled using a multiphase approach involving rigid structures and fluids. More precisely : • In the first model, we obtained a set of equations based on the mixture theory using homogenization tools and a thermodynamic procedure. These equations reflect two essential properties of granular fluids : the viscous nature of the interstitial fluid and a Coulomb-type of behavior of the granular component. With our equations, we study the problem of a dense granular heterogeneous flow, composed by a Newtonian fluid and a solid component in the setting of the Couette flow between two infinite cylinders. • In the second model, we consider the motion of a rigid body in a viscoplastic material. The 3D Bingham equations model this material, and the Newton laws govern the displacement of the rigid body. Our main result is the existence of a weak solution for the corresponding system. • In the third model, we consider the motion of a perfect heat conductor rigid body in a heat conducting Newtonian fluid. The 3D Fourier-Navier-Stokes equations model the fluid, and the Newton laws and the balance of internal energy model the rigid body. Our main result is the existence of a weak solution for the corresponding system. The weak formulation is composed by the balance of momentum and the balance of total energy equation which includes the pressure of the fluid, and it involves a free boundary (due to the motion of the rigid body). To obtain an integrable pressure, we consider a Navier slip boundary condition for the outer boundary and the mutual interface

Le mélanome est un cancer dont la mortalité augmente rapidement avec le temps. Afin d'assurer une détection précoce, des campagnes de sensibilisation ont été menées donnant des critères morphologiques pour le distinguer des grains de beauté. Mais, l'origine des différences d'aspects entre lésions bénignes et malignes reste inconnue. L'objectif est ici de relier les effets des modifications génétiques à l'aspect des tumeurs, en utilisant des outils venus de la physique macroscopique. Les mélanomes ont l'avantage d'être facilement observables et fins, ce qui en font un système idéal. Ce travail commence par rappeler les aspects physiologiques des cancers de la peau. On explique le fonctionnement de la peau saine, puis nous décrivons les différents types de lésions cutanées, et enfin nous donnons un bref aperçu des différents chemins génétiques connus menant au mélanome. Ensuite, nous faisons un rappel des différents modèles mathématiques du cancer. Nous nous attardons sur l'utilisation de la théorie des mélanges comme base théorique de mise en équation des tumeurs. Nous l'appliquons ensuite dans un modèle simplifié à deux phases en deux dimensions. Puis, nous analysons ces équations. Une étude des composantes spatiales montre la possibilité d'un processus de séparation de phases : la décomposition spinodale. L'étude temporelle permet de montrer que ces équations contiennent les ingrédients nécessaires à décrire plusieurs types de mélanomes observés in vivo. Nous terminons par l'étude des effets de la troisième dimension jusqu'alors mis de côté dans le modèle. Nous mettons en équation des mélanomes évoluant sur un épiderme ondulé, au niveau des mains et des pieds. / Melanoma is a cancer whose mortality grows rapidly with time. In order to insure an early diagnosis, advertising campaigns have emphasized the importance of morphological criteria in order to distinguish moles from melanoma. But, the origins of those criteria are still poorly understood. Our goal is to understand the link between genetic modifications and melanoma patterns using physical tools. As melanoma is easily observable and thin, this makes it an ideal system. This work begins by recalling the physiological aspect of skin cancer. Healthy skin is thoroughly described, then cancerous lesions are depictesd, and melanoma genetic pathways are briefly discussed. Then, continuous mathematical models of cancer are reviewed. We show how mixture theory is used to put cancer into equations. Then, this framework is simplified in a two phases 2D model.Those equations are analysed. The spatial study shows the possibility of a phase separation process: the spinodal decomposition. And, the time study shows thet this model contains the ingredients necessary to describe several melanoma types seen in vivo.Focussing finally on the third dimension. Melanoma evolving on a wavy epidermis (hands and feet skin) are studied. We explain how melanoma patterns should follow the skin ridges (fingerprints).

Le mélanome est le cancer de la peau le plus mortel. S'il est détecté de manière précoce il peut cependant être traité par simple excision et les chances de guérison sont alors très bonnes. Des algorithmes de diagnostic différentiels basés sur des critères morphologiques permettent ainsi de distinguer cette tumeur d'autres lésions bénignes présentes à la surface de la peau. Les mécanismes engendrant les formes et les microstructures caractéristiques d'un mélanome restent cependant pratiquement inconnus. L'objectif de ce travail est d'éclairer les processus morphogénétiques à l'oeuvre lors du développement des tumeurs mélanocytaires à l'aide des outils de la physique macroscopique. On commence par développer un modèle multiphase en couche mince pour décrire la croissance du mélanome dans l'épiderme. On montre analytiquement et numériquement l'existence d'une instabilité conduisant à l'apparition d'ondulations sur le contour d'une lésion initialement circulaire que l'on compare avec les irrégularités de contour fréquemment observées dans les mélanomes. L'identification des paramètres contrôlant cette instabilité permet ainsi de corréler les propriétés microscopiques de la tumeur à la forme et l'évolution macroscopique de la lésion. On montre ensuite la possibilité d'une décomposition spinodale dans cette classe de modèle multiphase, engendrant la formation d'agrégats de cellules tumorales. Le comportement du système aux temps long est cependant perturbée par les mécanismes de régulation de la prolifération cellulaire et un état d'équilibre est atteint où les agrégats de cellules forment une structure symétrique en points, en bandes ou en quadrillage. Ces prédictions permettent de mieux comprendre la présence de points et de globules pigmentés au sein de ces lésions, de taille, de forme et de répartition uniforme dans les tumeurs bénignes, et plus irrégulière dans les mélanomes. On s'intéresse finalement à la peau glabre et on illustre comment la géométrie particulière de l'épiderme dans ces régions influence l'aspect des tumeurs. En montrant comment le transport et la répartition de la mélanine est modifiée on propose ainsi une explication à l'apparition des bandes parallèles pigmentées et à la localisation des colonnes de mélanine. Afin d'étudier l'influence de la géométrie sur la répartition des cellules tumorales on développe un modèle multiphase en couche mince sur surface courbe. On propose ainsi un mécanisme expliquant la localisation d'agrégats cellulaires dans les crêtes épidermiques.