Clearly, in nature, but also in technological applications, complex systems built in an entirely ordered and regular fashion are the exception rather than the rule. In this thesis we explore how critical phenomena are influenced by quenched spatial randomness. Specifically, we consider physical systems undergoing a continuous phase transition in the presence of topological disorder, where the underlying structure, on which the system evolves, is given by a non-regular, discrete lattice. We therefore endeavour to achieve a thorough understanding of the interplay between collective dynamics and quenched randomness. According to the intriguing concept of universality, certain laws emerge from collectively behaving many-body systems at criticality, almost regardless of the precise microscopic realization of interactions in those systems. As a consequence, vastly different phenomena show striking similarities at their respective phase transitions. In this dissertation we pursue the question of whether the universal properties of critical phenomena are preserved when the system is subjected to topological perturbations. For this purpose, we perform numerical simulations of several prototypical systems of statistical physics which show a continuous phase transition. In particular, the equilibrium spin-1/2 Ising model and its generalizations represent -- among other applications -- fairly natural approaches to model magnetism in solids, whereas the non-equilibrium contact process serves as a toy model for percolation in porous media and epidemic spreading. Finally, the Manna sandpile model is strongly related to the concept of self-organized criticality, where a complex dynamic system reaches a critical state without fine-tuning of external variables. Our results reveal that the prevailing understanding of the influence of topological randomness on critical phenomena is insufficient. In particular, by considering very specific and newly developed lattice structures, we are able to show that -- contrary to the popular opinion -- spatial correlations in the number of interacting neighbours are not a key measure for predicting whether disorder ultimately alters the behaviour of a given critical system. / Ohne Zweifel stellen vollständig regelmäßig aufgebaute komplexe Systeme sowohlin der Natur als auch in technischen Anwendungen eher die Ausnahme als die Regel dar. In dieser Arbeit erforschen wir, wie sogenannte kritische Phänomene durch eingefrorene räumliche Unordnung beeinflusst werden. Konkret untersuchen wir physikalische Systeme, welche einen kontinuierlichen Phasenübergang aufweisen, in Gegenwart von topologischer Unordnung. Die räumliche Struktur, auf der sich das dynamische System entwickelt, ist in diesem Fall durch ein unregelmäßiges diskretes Gitter gegeben. Die Erlangung eines tiefergehenden Verständnisses des Zusammenspiels von physikalischer Dynamik und räumlicher Unordnung kann daher als das Hauptziel unserer Unternehmung angesehen werden. Ein gleichermaßen faszinierendes wie zentrales Konzept in der statistischen Physik stellt die sogenannte Universalität dar, gemäß welcher das kollektive Verhaltenvon Vielkörpersystemen im kritischen Bereich nahezu unabhängig von der spezifischen mikroskopischen Realisierung der Wechselwirkungen ist. Als Konsequenz sind selbst in völlig unterschiedlichen Systemen bemerkenswerte Ähnlichkeiten an den jeweiligen Phasenübergängen beobachtbar. Diese Dissertation geht nun der Frage nach, inwieweit diese universalen Eigenschaften erhalten bleiben, wenn das System topologischen Störungen ausgesetzt wird. Zu diesem Zweck werden umfangreiche numerische Monte-Carlo-Simulationen von einigen prototypischen Systemen, welche einen kontinuierlichen Phasenübergang aufweisen, durchgef ührt. Ein prominentes Beispiel für ein System im thermodynamischen Gleichgewicht stellt dabeidas Spin-1/2 Ising-Modell dar, welches unter anderem magnetische Eigenschaftenvon Festkörpern modelliert. Zusätzlich werden auch Systeme fernab des Gleichgewichts behandelt, wie etwa der Kontaktprozess, welcher ein vereinfachtes Modell für Perkolationsprozesse in porösen Stoffen oder auch für die Ausbreitung von Epidemien darstellt, sowie spezielle Modelle, welche in engem Zusammenhang mit selbstorganisiertem kritischen Verhalten stehen. Unsere Ergebnisse demonstrieren, dass der Einfluss von topologischen Störungen auf kritische Phänomene derzeit noch unzureichend verstanden ist. Insbesondere gelingt es uns mittels spezieller eigens entwickelter Gitterkonstruktionen zu zeigen, dass lokale räumliche Korrelationen in der Anzahl von wechselwirkenden Nachbarn, entgegen weitläufiger Meinung, kein adäquates Maß sind, um den Einfluss von Unordnung auf das Verhalten eines kritischen Systems vorhersagen zu können.

In the present work, we discuss two subjects related to the nonequilibrium dynamics of polymers or biological filaments adsorbed to two-dimensional substrates. <br><br> The first part is dedicated to thermally activated dynamics of polymers on structured substrates in the presence or absence of a driving force. The structured substrate is represented by double-well or periodic potentials. We consider both homogeneous and point driving forces. Point-like driving forces can be realized in single molecule manipulation by atomic force microscopy tips. Uniform driving forces can be generated by hydrodynamic flow or by electric fields for charged polymers. <br><br> In the second part, we consider collective filament motion in motility assays for motor proteins, where filaments glide over a motor-coated substrate. The model for the simulation of the filament dynamics contains interactive deformable filaments that move under the influence of forces from molecular motors and thermal noise. Motor tails are attached to the substrate and modeled as flexible polymers (entropic springs), motor heads perform a directed walk with a given force-velocity relation. We study the collective filament dynamics and pattern formation as a function of the motor and filament density, the force-velocity characteristics, the detachment rate of motor proteins and the filament interaction. In particular, the formation and statistics of filament patterns such as nematic ordering due to motor activity or clusters due to blocking effects are investigated. Our results are experimentally accessible and possible experimental realizations are discussed. / In der vorliegenden Arbeit behandeln wir zwei Probleme aus dem Gebiet der Nichtgleichgewichtsdynamik von Polymeren oder biologischen Filamenten, die an zweidimensionale Substrate adsorbieren. <br><br> Der erste Teil befasst sich mit der thermisch aktivierten Dynamik von Polymeren auf strukturierten Substraten in An- oder Abwesenheit einer treibenden Kraft. Das strukturierte Substrat wird durch Doppelmulden- oder periodische Potentiale dargestellt. Wir betrachten sowohl homogene treibende Kräfte als auch Punktkräfte. Punktkräfte können bei der Manipulation einzelner Moleküle mit die Spitze eines Rasterkraftmikroskops realisiert werden. Homogene Kräfte können durch einen hydrodynamischen Fluss oder ein elektrisches Feld im Falle geladener Polymere erzeugt werden. <br><br> Im zweiten Teil betrachten wir die kollektive Bewegung von Filamenten in Motility-Assays, in denen Filamente über ein mit molekularen Motoren überzogenes Substrat gleiten. Das Modell zur Simulation der Filamentdynamik beinhaltet wechselwirkende, deformierbare Filamente, die sich unter dem Einfluss von Kräften, die durch molekulare Motoren erzeugt werden, sowie thermischem Rauschen bewegen. Die Schaftdomänen der Motoren sind am Substrat angeheftet und werden als flexible Polymere (entropische Federn) modelliert. Die Kopfregionen der Motoren vollführen eine gerichtete Schrittbewegung mit einer gegebenen Kraft-Geschwindigkeitsbeziehung. Wir untersuchen die kollektive Filamentdynamik und die Ausbildung von Mustern als Funktion der Motor- und der Filamentdichte, der Kraft-Geschwindigkeitscharakteristik, der Ablöserate der Motorproteine und der Filamentwechselwirkung. Insbesondere wird die Bildung und die Statistik der Filamentmuster, wie etwa die nematische Anordnung aufgrund der Motoraktivität oder die Clusterbildung aufgrund von Blockadeeffekten, untersucht. Unsere Ergebnisse sind experimentell zugänglich und mögliche experimentelle Realisierungen werden diskutiert.