Yes / Reverse Osmosis (RO) membrane process has been commonly used for clarification and concentration of apple juice processes, due to significant advance in membrane technology, requirements for low energy and cost, and effective retention of aroma components. In this paper, a multi-stage RO industrial full-scale plant based on the MSCB 2521 RE99 spiral-wound membrane module has been used to simulate the process of concentrating apple juice and to identify an optimal multi-stage RO process for a specified apple juice product of high concentration measured in Brix. The optimisation problem is formulated as a Nonlinear Programming (NLP) problem with five different RO superstructures to maximise the apple juice concentration as well as the operating parameters such as feed pressure, flow rate and temperature are optimised. A simple lumped parameter model based on the solution-diffusion model and the contribution of all sugar species (sucrose, glucose, malic acid, fructose and sorbitol) to the osmotic pressure is assumed to represent the process. The study revealed that the multi-stage series RO process can optimise the product concentration of apple juice better than other configurations. It has been concluded that the series configuration of twelve elements of 1.03 m2 area improves the product apple juice concentration by about 142% compared to one element. Furthermore, the feed pressure and flow rate were found to have a significant impact on the concentration of the apple juice.

Operation of a pumped storage system is dictated by the time dependent price of electricity and capacity limitations of the generating plants. This thesis considers the optimization of the Smith Mountain Lake-Leesville Pumped Storage-Hydroelectric facility. The constraints include the upper and lower reservoir capacities, downstream channel capacity and flood stage, in-stream flow needs, efficiency and capacity of the generating and pumping units, storage-release relationships, and permissible fluctuation of the upper reservoir water surface elevation to provide a recreational environment for the lake shore property owners. Two formulations are presented: (1) a nonlinear mixed integer program and (2) a discretized linear mixed integer program. These formulations optimize the operating procedure to generate maximum revenue from the facility. Both formulations are general and are applicable to any pumped storage system. The nonlinear program retains the physical aspects of the system as they are but suffers from non-convexity related issues. The linear formulation uses a discretization scheme to approximate the nonlinear efficiency, pump, turbine, spillway discharge, tailrace elevation-discharge, and storage-elevation relationships. Also, there are binary unit dispatch and either/or constraints accommodating spill and gated release. Both formulations are applied to a simplified scheme of the Smith Mountain Lake and Leesville pumped storage system. The simplified scheme uses a reduced number of generating and pumping units at the upper reservoir to accommodate the software limitations. Various sensitivity analyses were performed to test the formulations. The linear formulation consistently performs better than the nonlinear. The nonlinear solution requires a good starting point for optimization. It is most useful as a verification tool for the solution from the linear program on all occasions. The formulations yield the best schedules for generating and pumping. A coarse time interval limits the use of all pumps in the presence of the spill constraint. A sufficiently large difference in the diurnal unit price encourages short-term pump back as opposed to a weekly cycle. The Leesville (downstream) reservoir affects the power production schedule with its large (approx. 9 ft) forebay rise for every foot drop at the Smith Mountain Lake. The linear formulation provides a valuable tool for studying the system under a wide range of conditions without having to worry about the computational difficulties associated with the nonlinear formulation. / Master of Science

Problemas com múltiplos objetivos são muito frequentes nas áreas de Otimização, Economia, Finanças, Transportes, Engenharia e várias outras. Como os objetivos são, geralmente, conflitantes, faz-se necessário o uso de técnicas apropriadas para obter boas soluções. A área que trata de problemas deste tipo é chamada de Otimização Multiobjetivo. Neste trabalho, estudamos os problemas dessa área e alguns dos métodos existentes para resolvê-los. Primeiramente, alguns conceitos relacionados ao conjunto de soluções são definidos, como o de eficiência, no intuito de entender o que seria a melhor solução para este tipo de problema. Em seguida, apresentamos algumas condições de otimalidade de primeira ordem, incluindo as do tipo Fritz John para problemas de Otimização Multiobjetivo. Discutimos ainda sobre algumas condições de regularidade e total regularidade, as quais desempenham o mesmo papel das condições de qualificação em Programação Não-Linear, propiciando a estrita positividade dos multiplicadores de Lagrange associados às funções objetivo. Posteriormente, alguns dos métodos existentes para resolver problemas de Otimização Multiobjetivo são descritos e comparados entre si. Ao final, aplicamos a teoria e métodos de Otimização Multiobjetivo nas áreas de Compressed Sensing e Otimização de Portfolio. Exibimos então testes computacionais realizados com alguns dos métodos discutidos envolvendo problemas de Otimização de Portfolio e fazemos uma análise dos resultados. / Problems with multiple objectives are very frequent in areas such as Optimization, Economy, Finance, Transportation, Engineering and many others. Since the objectives are usually conflicting, there is a need for appropriate techniques to obtain good solutions. The area that deals with problems of this type is called Multiobjective Optimization. The aim of this work is to study the problems of such area and some of the methods available to solve them. Firstly, some basic concepts related to the feasible set are defined, for instance, efficiency, in order to comprehend which solution could be the best for this kind of problem. Secondly, we present some first-order optimality conditions, including the Fritz John ones for Multiobjective Optimization. We also discuss about regularity and total regularity conditions, which play the same role in Nonlinear Multiobjective Optimization as the constraint qualifications in Nonlinear Programming, providing the strict positivity of the Lagrange multipliers associated to the objective functions. Afterwards, some of the existing methods to solve Multiobjective Optimization problems are described and compared with each other. At last, the theory and methods of Multiobjective Optimization are applied into the fields of Compressed Sensing and Portfolio Optimization. We, then, show computational tests performed with some of the methods discussed involving Portfolio Optimization problems and we present an analysis of the results.

Problemas de otimização em caixas são de grande importância, não só por surgirem naturalmente na formulação de problemas da vida prática, mas também por aparecerem como subproblemas de métodos de penalização ou do tipo Lagrangiano Aumentado para resolução de problemas de programação não-linear. O objetivo do trabalho é estudar um algoritmo de restrições ativas para problemas de otimização em caixas recentemente apresentado chamado ASA e compará-lo à versão mais recente de GENCAN, que é também um método de restrições ativas. Para tanto, foi elaborada uma metodologia de testes robusta e minuciosa, que se propõe a remediar vários dos aspectos comumente criticados em trabalhos anteriores. Com isso, puderam ser extraídas conclusões que levaram à melhoria de GENCAN, conforme ficou posteriormente comprovado por meio da metodologia aqui introduzida. / Box-constrained optimization problems are of great importance not only for naturally arising in several real-life problems formulation, but also for their occurrence as sub-problems in both penalty and Augmented Lagrangian methods for solving nonlinear programming problems. This work aimed at studying a recently introduced active-set method for box-constrained optimization called ASA and comparing it to the latest version of GENCAN, which is also an active-set method. For that purpose, we designed a robust and thorough testing methodology intended to remedy many of the widely criticized aspects of prior works. Thereby, we could draw conclusions leading to GENCAN\'s further development, as it later became evident by means of the same methodology herein proposed.

Neste trabalho será apresentado um algoritmo de pontos interiores para a solução do problema de fluxo de carga ótimo (FCO). A abordagem proposta é o método primai dual barreira logarítmica. As restrições de desigualdade do problema de FCO são transformadas em igualdades pelo uso de variáveis de folga, e estas são incorporadas na função objetivo através da função barreira logarítmica. A esparsidade da matriz Lagrangeana é explorada e o processo de fatoração é feito por elementos e não por submatrizes. Resultados numéricos de testes realizados em sistemas de 3, 14, 30 e 118 barras serão apresentados com o objetivo de mostrar a eficiência do método. / In this thesis an interior point algorithm is presented for the solution of the optimal power flow problem (OPF). The approach proposed here is the logarithmic barrier primal-dual method. The inequality constraints of the optimal power flow problem are transformed into equalities by slack variables that are incorporated into the objective function through the logarithmic barrier function. The sparsity of the Lagrangian matrix is explored and the factorization process is carried out by elements rather than submatrices. Numerical tests results obtained with systems of 3, 14, 30 and 118 buses are presented to show the efficiency of the method.

Neste trabalho a família de métodos de pontos interiores barreira logarítmica é desenvolvida para o problema de regressão pela norma Lp e a estrutura matricial resultante é explorada objetivando uma implementação eficiente. Apresentamos alguns conceitos sobre métodos de pontos interiores necessários para o desenvolvimento do método e descrevemos um método de convergência quadrática previamente conhecido. Uma implementação em Matlab dos métodos de pontos interiores desenvolvidos é comparada com uma implementação do método quadrático existente, obtendo desempenho computacional superior. / In this work the family of logarithmic barrier interior point methods is developed for the norm Lp fitting problem and the resultant matrix structure is exploited in order to have an efficient implementation. We introduce some concepts about interior point methods necessary for the development of the method and describe a previously known quadratic convergent problem. An implementation in Matlab of the interior point methods developed is compared with an implementation of the known quadratic method obtaining better computational performance.

Neste trabalho propomos uma abordagem para a resolução do problema de fluxo de potência ótimo. Para isso, foram obtidos dados teóricos, a partir de um levantamento bibliográfico, que explicitaram os métodos de penalidade, de barreira, de Newton-Lagrangiano, da função Lagrangiana aumentada e dual-Lagrangiano. Nesta abordagem, as restrições de igualdade são tratadas pelo método de Newton, as restrições canalizadas, de tensão e tap, pelo método da função barreira logarítmica, e as restrições de desigualdade e demais restrições canalizadas, pelo método da função Lagrangiana aumentada. A motivação para este estudo foi a necessidade de manter as variáveis - tensão e tap - dentro de seus limites. Os resultados numéricos apresentados evidenciam o potencial desta metodologia para a resolução de problemas de programação não-linear e, em particular, do problema de fluxo de potência ótimo. / A new approach to solving the optimal power flow problem is proposed in this study. The first step in developing this method was to obtain theoretical material from bibliographic survey, which described in detail the penalty method, the barrier method, Newton\'s method, the augmented Lagrangian method end the dual-Lagrangian method. In the new approach, equality constraints are handled by Newton\'s method, the voltage end tap box inequality constraints by the logarithmic barrier method and the inequality constraints and the other box inequality constraints by the augmented Lagrangian method. The motivation for this research was the necessity to keep the voltage and tap variables within their limits. The numerical results demonstrate the potential of this methodology for the solution of nonlinear problems and, in particular, of the optimal power flow problem.

O objetivo deste trabalho é otimizar formulações de estabilizantes térmicos para PVC (policloreto de vinila) pelo uso de técnicas de projetos de mistura, estendida a problemas com informação incompleta. O problema de mistura consiste em minimizar o custo de formulação enquanto se obtém um produto que satisfaça especificações técnicas e de mercado. No caso estudado, as formulações são misturas de 8 a 10 componentes, em sua grande maioria, escolhidos a partir de 16 compostos básicos. Cada composto confere diferente característica à formulação final, podendo existir interação entre eles. As características de interesse das misturas foram obtidas a partir das análises reológicas do composto de PVC, obtidas em um reômetro de torque (modelo Haake), em que foram usadas as formulações dos estabilizantes. Resultados contidos em um banco de dados, em que muitos testes diferentes e formulações comerciais foram analisados, foram aproveitados para a construção dos modelos correlacionando estas características com a composição. Como o número de experimentos que seriam necessários para obter a informação completa para a descrição da mistura seria proibitivo, modelos de mistura foram construídos usando regressão por componentes principais (PCR) e mínimos quadrados parciais (PLS). O problema de projeto de misturas foi traduzido em termos de problemas de programação linear e não linear, dependendo do tipo do modelo. Para evitar problemas de extrapolação que poderiam resultar devido à pobreza da informação, equações adicionais que restringem a solução ao conjunto onde a informação foi avaliada (o espaço gerado pelos componentes principais, definidos a partir da correlação) foram adicionados ao problema. Este procedimento corresponde a uma inovação com relação ao problema de mistura. Os resultados obtidos com os modelos são comparados com experimentos para validação do estudo executado. / The objective of this work is to optimize the formulations of heat stabilizers for PVC (Poly Vinyl Chloride) by means of mixture design techniques extended to deal with problems with incomplete information. The mixture design problem consists in minimizing the cost of the formulation while obtaining a product that satisfies technical and market specifications. In the case studied, the formulations are mixtures of 8 to 10 components chosen out from 16 basic compounds. Each of the compounds confers different characteristics to the final formulation, and there can be interactions between them. The characteristics of interest of the mixtures are obtained from assays performed in a standard torque rheometer (Haake model) for different stabilizer formulations. Data from a database, in which many different test and commercial formulations are recorded, were used in order to build models that correlate the properties with the compositions. As the number of data points that would be needed in order to obtain the necessary information for a complete description of the mixture would be prohibitive, mixture models were built using Principal Components Regression (PCR) and Pseudo-Least Squares Regression (PLS). The mixture design problem was expressed in terms of Linear and Nonlinear programming techniques, depending on the type of model used. In order to avoid extrapolation problems that would result from the poor availability of information, additional equations that confines the solution to the subset where information is available (the space spanned by the main loading vectors retained for correlation) are added to the problem. This is an extension to the standard mixture design problem. Solutions obtained are compared to validation experiments.

The problem of packing ellipsoids consists in arranging a given collection of ellipsoids within a particular set. The ellipsoids can be freely rotated and translated, and must not overlap each other. A particular case of this problem arises when the ellipsoids are balls. The problem of packing balls has been the subject of intense theoretical and empirical research. In particular, many works have tackled the problem with optimization tools. On the other hand, the problem of packing ellipsoids has received more attention only in the past few years. This problem appears in a large number of practical applications, such as the design of high-density ceramic materials, the formation and growth of crystals, the structure of liquids, crystals and glasses, the flow and compression of granular materials, the thermodynamics of liquid to crystal transition, and, in biological sciences, in the chromosome organization in human cell nuclei. In this work, we deal with the problem of packing ellipsoids within compact sets from an optimization perspective. We introduce continuous and differentiable nonlinear programming models and algorithms for packing ellipsoids in the n-dimensional space. We present two different models for the non-overlapping of ellipsoids. As these models have quadratic numbers of variables and constraints, we also propose an implicit variables models that has a linear number of variables and constraints. We also present models for the inclusion of ellipsoids within half-spaces and ellipsoids. By applying a simple multi-start strategy combined with a clever choice of starting guesses and a nonlinear programming local solver, we present illustrative numerical experiments that show the capabilities of the proposed models. / O problema de empacotamento de elipsoides consiste em arranjar uma dada coleção de elipsoides dentro de um determinado conjunto. Os elipsoides podem ser rotacionados e transladados e não podem se sobrepor. Um caso particular desse problema surge quando os elipsoides são bolas. O problema de empacotamento de bolas tem sido alvo de intensa pesquisa teórica e experimental. Em particular, muitos trabalhos têm abordado esse problema com ferramentas de otimização. O problema de empacotamento de elipsoides, por outro lado, começou a receber mais atenção apenas recentemente. Esse problema aparece em um grande número de aplicações práticas, como o projeto de materiais cerâmicos de alta densidade, na formação e crescimento de cristais, na estrutura de líquidos, cristais e vidros, no fluxo e compressão de materiais granulares e vidros, na termodinâmica e cinética da transição de líquido para cristal e em ciências biológicas, na organização de cromossomos no núcleo de células humanas. Neste trabalho, tratamos do problema de empacotamento de elipsoides dentro de conjuntos compactos do ponto de vista de otimização. Introduzimos modelos de programação não-linear contínuos e diferenciáveis e algoritmos para o empacotamento de elipsoides no espaço n-dimensional. Apresentamos dois modelos diferentes para a não-sobreposição de elipsoides. Como esses modelos têm números quadráticos de variáveis e restrições em função do número de elipsoides a serem empacotados, também propomos um modelo com variáveis implícitas que possui uma quantidade linear de variáveis e restrições. Também apresentamos modelos para a inclusão de elipsoides em semi-espaços e dentro de elipsoides. Através da aplicação de uma estratégia multi-start simples combinada com uma escolha inteligente de pontos iniciais e um resolvedor para otimização local de programas não-lineares, apresentamos experimentos numéricos que mostram as capacidades dos modelos propostos.

Durante muitos anos tem-se usado a técnica de programação linear (Linear programming- LP) para abordar o problema do planejamento da produção em refinarias de petróleo. Esta técnica é baseada na linearização do comportamento não linear dos processos num conjunto particular de condições operacionais. Contudo, modelos lineares não são uma boa representação da operação dos processos de refino, pois estes envolvem diferentes operações físicas (separação de fases, mistura de correntes intermediárias, etc.) e químicas (reações de craqueamento, reações de hidrotratamento, etc.) caracterizadas pelo seu comportamento não linear. Como conseqüência, os resultados (plano de operação) de modelos de planejamento da produção baseados na técnica de programação linear são de difícil implementação na operação. Por outro lado, recentes avanços na capacidade de cálculo dos computadores, assim como nas ferramentas matemáticas (algoritmos de otimização) utilizadas para solucionar os modelos de planejamento da produção, permitem a implementação de modelos não lineares de processos em modelos de planejamento da produção. Este trabalho é focado na formulação de modelos de processos adequados (boa aproximação da operação e baixo custo computacional) para o planejamento da produção em refinarias de petróleo. Inicialmente, é abordada a formulação de um modelo empírico para unidade de destilação o qual foi validado com sucesso usando um simulador rigoroso de processos. A seguir, um modelo empírico para uma unidade de craqueamento catalítico fluidizado (FCC) foi gerado e validado a partir de dados obtidos num simulador rigoroso de processo da PETROBRAS. Estes modelos empíricos superam as limitações dos modelos lineares e não lineares para unidades de destilação e unidades de FCC previamente propostos por outros autores. Em seguida, os modelos empíricos desenvolvidos foram implementados no planejamento da produção (para um único período) de duas refinarias: uma de pequena escala (só duas unidades de processo) e uma de média escala (com 7 unidades de processo). Os modelos de planejamento resultaram em dois problemas de programação não linear que foram resolvidos usando três solvers (CONOPT 3, IPOPT e MINOS) disponíveis na plataforma computacional GAMS (General Algebraic Modeling System). Os modelos de planejamento da produção foram resolvidos com sucesso num tempo computacional inferior a um segundo (CPU time < 1 s) pelos solvers. / For many years production planning problems in the petroleum refineries have been addressed using the linear programming (LP) technique. This technique is based on linear process models (linearization of nonlinear process behavior at a particular set of operating conditions). Nevertheless, the linear process models are not suitable for refinery process modeling, since refinery processes involve both physical (phase separations, blending operations, etc.) and chemical operations (cracking reactions, hydrotreating reactions, etc.) that are characterized by their nonlinear nature. Due to this fact, the results (operating plans) from production planning models based on the linear programming technique are operationally not reliable. On the other hand, recent advances in the computer hardware and in the mathematical tools (optimization algorithms) used for the solution of production planning problems, allow the implementation of nonlinear process models in the production planning models. This work deals with the formulation of non linear empirical process models for petroleum refinery planning. Firstly, the formulation of non linear empirical process model for refinery process is addressed. Two processes were studied: distillation and fluid catalytic cracking (FCC). An empirical model for crude distillation units was developed and successfully validated using rigorous simulations carried out in HYSYS® and the empirical model for a FCC unit was developed and successfully validated using a rigorous FCC simulator from PETROBRAS. These empirical models overcome the limitations of both linear and nonlinear empirical models for crude distillation and FCC units previously developed by others authors. Subsequently, the empirical models developed in this work were successfully implemented in the production planning model for two refineries: a small scale refinery (with two process units) and a medium scale refinery (with 7 process units). The production planning models resulted in two nonlinear programming problems that were solved using three different solvers (CONOPT 3, IPOPT and MINOS) available in GAMS (General Algebraic Modeling System) platform. The computational time for the solution of the production planning models were less than 1 second (CPU time < 1 s).