Darbe nagrinėjamas parabolinių lygčių su nelokaliąja daugiataške sąlyga ir tikrinių reikšmių uždaviniai antrosios eilės paprastajam diferencialiniam operatoriui. Uždavinio specifika yra ta, kad vietoje vienos arba abiejų klasikinių kraštinių sąlygų duota nelokalioji sąlyga. Tokio tipo kraštiniai uždaviniai diferiancialinėms lygtims paskutiniaisiais metais gana intensyviai nagrinėjami matematinėje literatūroje. Darbe naudojamas M. Sapagovo ir A. Štikono 2005 straipsnio metodika tikrinių reikšmių savybėms tirti. / The parabolic equation with nonlocal multi-point condition and the eigenvalue problem for differential operation with nonlocal multi-point condition is investigated in the work. Nonlocal condition is given instead one or both classical boundary conditions. These problems are investigated in the mathematical literature in recent years. The method of analysis to eigenvalue of the article [5] by M. Sapagovas and A. Štikonas on 2005 are used in the work.

Šiame magistro baigiamajame darbe nagrinėjamas paprastasis diferencialinis operatorius su viena klasikine (pirmo arba antro tipo) sąlyga kairiajame intervalo krašte ir kita nelokaliąja (integraline, Samarskio ir Bitsadzės ar antro tipo) sąlyga dešiniajame intervalo gale. Mokslinėje literatūroje nemažai rašoma apie tokio uždavinio realiojo spektro struktūrą, tačiau kompleksinis spektras yra pakankamai mažai nagrinėjamas. Magistro baigiamajame darbe aprašyta šio uždavinio realiojo ir kompleksinio spektro struktūra, ištirtos kompleksinių tikrinių reikšmių teigiamųjų realiųjų dalių egzistavimo sąlygos, bei jų priklausomybė nuo nelokaliųjų kraštinių sąlygų parametrų. / In this master thesis there is investigated ordinary differential operator with one classical (first or second type) boundary condition in the left side of the interval and other nonlocal (integral, Samarski – Bitsadze or second type) boundary condition in the right side of the interval. The structure of the real spectrum of this problem is quite wide described in the scientific literature, but the complex spectrum is investigated not enough. There is described the real and complex spectrum structure of this problem. Also in the master thesis there are analyzed existence conditions of positive real parts of complex eigenvalues, and their dependence on nonlocal boundary condition parameters.

Magistro baigiamajame darbe nagrinėjamas diferencialinis operatorius su kintamais koeficientais ir viena klasikine, o kita nelokaliąja Samarskio ir Bitsadzės kraštine sąlyga. Šis uždavinys suvedamas į kanoninį pavidalą. Tiriamos kintamo koeficiento savybės, kaip jos keičiasi suvedant uždavinį į kanoninį pavidalą, taip pat tiriama šio uždavinio spektro priklausomybė nuo nelokaliosios kraštinės sąlygos parametrų. / In the Master's Thesis there is investigated a differential operator with variable coefficients, one classical and other nonlocal Samarskii-Bitsadze type boundary condition. There is written the canonical form of this problem. In the thesis there is analyzed the properties of variable coefficients, how they are changing when differential problem is written in the canonical form. Also the dependence of this problem spectrum on nonlocal boundary condition parameters is investigated.

Magistro darbe pateikiami rezultatai, gauti tiriant charakteristinę kreivę uždaviniams su nelokaliosiomis sąlygomis. Tiriama charakteristinė kreivė, kai tikrinė reikšmė kompleksinė. Nagrinėjamas paprasto diferencialinio operatoriaus su dviem nelokaliosiomis Bicadzės ir Samarskio sąlygomis tikrinių reikšmių uždavinio atskiras atvejis (kai ξ=1/2, ξ=2/3 ). Ištyrus uždavinį, gautos charakteristinės kreivės, kurios yra hiperbolės, du taškai arba vienas. / The results shown in this paper were achieved while investigating a characteristic curve for problems with nonlocal boundary conditions. The characteristic curve is investigated when eigenvalue is complex. The paper examines a separate case of simple differential operator with two non-local Bitsadze and Samarskii conditions for eigenvalues (when ξ=1/2, ξ=2/3). After the analysis of the problem, characteristic curves were achieved which were hiperboles, 1 or 2 points.

Darbo tikslas — ištirti baigtiniu skirtumu metodo antrosios eiles hiperbolinio tipo diferencialinei lygciai su nelokaliosiomis integralinemis kraštinemis salygomis stabiluma. Siekiant numatyto tikslo buvo sprendžiami šie uždaviniai: • išnagrinetas antrosios eiles hiperbolines lygties trisluoksnes skirtumines schemos suvedimas i dvisluoksne skirtumine schema; • išanalizuotas skirtuminio operatoriaus perejimo matricos spektras; • gauta pakankamoji skirtumines schemos stabilumo salyga, nusakoma nelokaliuju salygu parametrais; • atlikti skaitiniai eksperimentai, patvirtinantys teorines išvadas. Nurodyta stabilumo salyga yra esmine, sprendžiant hiperbolinio tipo uždavinius su pakankamai didelemis T reikšmemis. Skirtuminio operatoriaus perejimo matricos spektro tyrimo metodika gali buti pritaikyta placios klases diferencialiniu lygciu su nelokaliosiomis salygomis stabilumui tirti. / On the stability of an explicit difference scheme for hyperbolic equation with integral conditions. The aim of the work is stability analysis of solution of finite difference method for hyperbolic equations. Trying to achieve formulated aim these tasks were solved: • a method of transformation of three-layered finite difference scheme into two-layered one was investigated; • a spectrum of transition matrix subject to the properties of second order differential operator Lambda was studied; • stability conditions of hyperbolic type equations with nonlocal conditions subject to boundary parameters were obtained; • numerical experiments, confirming theoretical derivations were made. Derived results could be used to solve one-dimensional tasks with hyperbolic equations in different sciences, to analyse spectrum structure of mathematical models and construct new numerical methods for solving hyperbolic PDEs.