Soient $k$ un corps de caractéristique nulle et $G$ un $k$-groupe algébrique linéaire. Il est bien connu que si $G$ est abélien, les torseurs sous $G_(X)$ sur un $k$-schéma $\pi:X\rightarrow \textup(Spec)\;k$ fournissent une obstruction à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, puisque la suite spectrale de Leray donne dans les bons cas (\textit(e.g.) $X$ propre) une suite exacte de groupes sur laquelle on peut directement lire l'obstruction à ce qu'un $\bar(G)_(X)$-torseur $\bar(P)\rightarrow\bar(X)$ de corps des modules $k$ soit défini sur $k$, \textit(i.e.) qu'il provienne par extension des scalaires à la cl(ô)ture algébrique $\bar(k)$ de $k$ d'un $G_(X)$-torseur $P\rightarrow X$. Le point crucial est que cette obstruction est mesurée par une gerbe, qui est neutre lorsque $X$ possède un point $k$-rationnel. On essaye ici d'étendre ce résultat au cas non-commutatif, et on en déduit (sous certaines conditions) des obstructions cohomologiques non-abéliennes à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, et des résultats sur la descente des torseurs.

Dans cette thèse, on s’intéresse à des propriétés arithmétiques des variétés algébriques. Elle contient deux parties : partie géométrique (sur un corps quelconque) et partie arithmétique (sur un corps de nombres). Dans la partie géométrique, j’étudie le quotient par sa partie constante du troisième groupe de cohomologie non ramifiée des surfaces (géométriquement) rationnelles et de leurs torseurs universels. Pour les surfaces de del Pezzo de degré au moins 5, je montre que ce quotient est trivial, sauf pour des surfaces de del Pezzo de degré 8 d’un type particulier. Pour les torseurs universels ci-dessus, je montre que ce quotient est fini et je donne une condition suffisante pour qu’il soit nul, en termes de la structure galoisienne du groupe de Picard géométrique de la surface. Dans la partie arithmétique, on étudie l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation forte. En collaboration avec C. Demarche et F. Xu, nous établissons l’équivalence de l’obstruction de Brauer-Manin étale et de l’obstruction de descente pour les variétés quasi-projectives. Ensuite, j’établis un théorème très général sur l’approximation forte pour les variétés ouvertes munies d’une action d’un groupe linéaire connexe G et dont un ouvert est un espace homogène de G. / In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts: a geometric part (over an arbitrary field) and an arithmetic part (over a number field). The geometric part is devoted to the study of the quotient by its constant part of the third unramified cohomology group of (geometrically) rational surfaces and of their universal torsors. For del Pezzo surfaces of degree at least 5, we show that this quotient is zero, except in the case of del Pezzo surfaces of degree 8 of a special type. For universal torsors as above, we show this quotient is finite and we give a sufficient condition for it to vanish. This condition involves the Galois structure of the geometrical Picard group. The arithmetic part is devoted to the study of the Brauer-Manin obstruction to strong approximation. In collaboration with C. Demarche and F. Xu, we establish the equivalence of étale Brauer-Manin obstruction and the descent obstruction. Then I establish a general theorem about strong approximation of open varieties equipped with an action of a connected linear algebraic group G and containing a G-homogeneous space as open subset.

Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de l'arithmétique (le principe de Hasse, l'approximation faible, et l'obstruction de Brauer-Manin) des zéro-cycles sur les variétés algébriques définies sur des corps de nombres. Nous introduisons la notion de sous-ensemble hilbertien généralisé. En utilisant la méthode de fibration, nous démontrons que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l'approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1; et établissons l'exactitude d'une suite de type global-local concernant les groupes de Chow des zéro-cycles, pour certaines variétés qui admettent une structure de fibration au-dessus d'une courbe lisse ou au-dessus de l'espace projectif, où les hypothèses arithmétiques sont posées seulement sur les fibres au-dessus d'un sous-ensemble hilbertien généralisé.De plus, nous relions l'arithmétique des points rationnels et l'arithmétique des zérocycles de degré 1 sur les variétés géométriquement rationnellement connexes. Comme application, nous trouvons que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l'approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1 sur- les espaces homogènes d'un groupe algébrique linéaire à stabilisateur connexe,- certains fibrés en surfaces de Châtelet au-dessus d'une courbe lisse ou au-dessus de l'espace projectif (en particulier, les solides de Poonen).

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de l’arithmétique (le principe de Hasse, l’approximation faible, et l’obstruction de Brauer-Manin) des zéro-cycles sur les variétés algébriques définies sur des corps de nombres. Nous introduisons la notion de sous-ensemble hilbertien généralisé. En utilisant la méthode de fibration, nous démontrons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1; et établissons l’exactitude d’une suite de type global-local concernant les groupes de Chow des zéro-cycles, pour certaines variétés qui admettent une structure de fibration au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif, où les hypothèses arithmétiques sont posées seulement sur les fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien généralisé.De plus, nous relions l’arithmétique des points rationnels et l’arithmétique des zérocycles de degré 1 sur les variétés géométriquement rationnellement connexes. Comme application, nous trouvons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1 sur- les espaces homogènes d’un groupe algébrique linéaire à stabilisateur connexe,- certains fibrés en surfaces de Châtelet au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif (en particulier, les solides de Poonen). / This Ph. D. thesis studies the arithmetic properties (the Hasse principle, the weak approximation, and the Brauer-Manin obstruction) for zero-cycles on algebraic varieties defined over number fields. We introduce the notion of generalized Hilbertian subset. By using the fibration method, we prove that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction tothe Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1; and establish the exactness of a sequence of global-local type concerning Chow groups of zero-cycles, for certain varieties which admit a fibration structure overa smooth curve or over the projective space, where the arithmetic hypotheses are only posed on the fibers over a generalized Hilbertian subset. Moreover, we relate the arithmetic of rational points and that of zero-cycles of degree 1 on geometrically rationally connected varieties. As an application, we find that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1 on- homogeneous spaces of a linear algebraic group with connected stabilizer,- certain varieties fibered into Chatelet surfaces over a smooth curve or over the projective space (in particular, Poonen's threefolds).