On démontre dans le cas de caractéristique positive un lemme fondamental conjecturé par Jacquet et Mao pour le groupe métaplectique. On utilise les arguments de Bao Châu Ngô pour le lemme fondamental de Jacquet-Ye (B.C. Ngo, 1999) et une étude géométrique de l'extension métaplectique / We prove in the case of positive characteristic a fundamental lemma conjectured by Jacquet and Mao for the metaplectic group. We use the arguments of Bao Châu Ngô for Jacquet-Mao?s fundamental lemma (B.C. Ngo, 1999) and a geometric study of the metaplectic group

Dans ma thèse, je propose plusieurs contributions à l'étude de la cohomologie des variétés projectives complexes ainsi qu'à la construction de cycles algébriques. Le mémoire se compose de plusieurs parties qui, si elles sont indépendantes, essaient toutes trois de tirer parti de la nature multiple de ces variétés, à la fois variétés kähleriennes, donc objets analytiques, variétés algébriques, et enfin objets arithmétiques, étant toujours définies sur un corps de type fini sur $\Q$. La première partie de ce texte, parue au journal de Crelle, s'intéresse au problème de la topologie des variétés conjuguées. On y répond à une question de Grothendieck en y exhibant deux variétés conjuguées dont les algèbres de cohomologie réelles ne sont pas isomorphes. Dans une deuxième partie, on aborde le problème de la construction des cycles algébriques dont l'existence est prévue par les conjectures standards, pour ensuite examiner de manière plus détaillée le cas des variétés hyperkahleriennes. Nous utilisons principalement des méthodes infinitésimales en théorie de Hodge. Enfin, dans la troisième partie, parue aux International Mathematical Research Notices, on s'intéresse au problème du lieu de définition des fonctions normales associées aux familles de cycles dans les variétés projectives complexes. On y prolonge des résultats récents de Brosnan et Pearlstein qui démontrent l'algébricité de ce lieu en prouvant des théorèmes de comparaison avec la cohomologie étale $l$-adique et en démontrant, sous certaines hypothèses de monodromie, que ces lieux sont définis sur un corps de nombres.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, nous donnons une démonstration alternative du théorème d'aplatissement par éclatements de Raynaud-Gruson. Celle-ci repose sur la construction et l'étude de certains espaces valuatifs, et nous permet de dégager la notion de $Phi$-anneau, qui fournit un substitut algébrique aux anneaux topologiques adiques : la notion correspondante de $Phi$-schéma est aux schémas ce que les espaces rigides sont aux schémas formels.Dans une seconde partie, nous nous inspirons de travaux de Laumon et de Deligne pour démontrer l'existence de facteurs $varepsilon$ locaux dans un cadre géometrique. Nous démontrons ensuite, en usant de la méthode la phase stationnaire $ell$-adique, une formule du produit pour le déterminant de la cohomologie d'un faisceau $ell$-adique sur une courbe en caractéristique $p neq ell$ positive : cela étend des résultats précédemment connus pour un corps de base fini. Parmi les outils utilisées figure la théorie du corps de classes géométrique, dont nous donnons une démonstration géométrique s'inspirant de l'approche de Deligne pour le cas non ramifié. / This thesis is divided in two parts. We first give an alternative proof of the Raynaud-Gruson's theorem regarding flattening by blow-ups. The argument rests upon the study of certain valuative spaces associated to a refined notion of ring, which we name $Phi$-rings : these are algebraic substitutes to adic topological rings, and the corresponding $Phi$-schemes can be considered as generic fibers of schemes, in the same way that rigid spaces are generic fibers of formal schemes.In the second part, we prove the existence of local $varepsilon$-factors in a geometric setting. These results, which are inspired by works of Laumon and Deligne, lead to a product formula for the determinant of the cohomology of an $ell$-adic sheaf on a curve over a perfect field of positive characteristic $p neq ell$, which was previously known for a finite base field. One of our main tools is geometric class field theory; we provide a detailed proof of its global version by extending Deligne's approach from the tamely ramified case to the general case.

Cette thèse s'intéresse à la factorisation des fonctions zêta des hypersurfaces de Dwork. Candelas, de la Ossa et Rodriguez-Villegas ont mis en évidence, dans le cas de la quintique, un facteur provenant de la symétrie miroir et deux facteurs provenant de courbes de type hypergéométrique. Wan a établit le lien avec la symétrie miroir dans le cas général, mais les facteurs complémentaires n'ont pas été étudiés avec le même niveau de détail que dans le cas de la quintique, et c'est sur eux que se concentre cette thèse. Après un premier chapitre de rappels sur les hypersurfaces de Dwork, on détermine, dans le chapitre 2, une factorisation explicite des fonctions zêta en terme de facteurs provenant d'hypersurfaces de type hypergéométrique. Dans le chapitre 3, on déduit une factorisation à partir d'une décomposition isotypique de la cohomologie des hypersurfaces de Dwork. Finalement, dans le chapitre 4, on relie les deux factorisations précédentes.

Ce travail de thèse porte sur deux problèmes distincts, tous deux en lien avec le comportement galoisien de certains noyaux de localisation en cohomologie étale : les noyaux sauvages étales. Fixons un nombre premier p et $F_{\infty}$ une $\Z_p$-extension d'un corps de nombres $F$.<br />La structure de groupe abélien du p-groupe des classes des étages de $F_{\infty}/F$ est asymptotiquement bien connue : nous montrons, au moyen de la théorie d'Iwasawa des $\Z_p$-extensions, un analogue de ce résultat en $K$-théorie supérieure.<br />Dans un deuxième temps, nous étudions le groupe de Galois sur $F_{\infty}$ de la pro-p-extension, non ramifiée, p-décomposée maximale de $F_{\infty}$, lorsque $F_{\infty}$ est la $\Z_p$-extension cyclotomique de $F$. Après avoir établi un lien entre la structure de ce groupe et le comportement galoisien des noyaux sauvages étales, nous donnons divers critères effectifs de non pro-p-liberté pour ce groupe.

Le thème principal de cette thèse est l’interaction entre le “comportement” des points rationnels sur certaines classes de variétés définies sur des corps globaux et locaux, et la cohomologie de ces variétés.Dans la partie I, on étudie l’obstruction de Brauer-Manin à la validité des principes locaux-globaux (comme le principe de Hasse et l’approximation faible) qui vient du groupe de Brauer d’une variété. Dans certains cas, pour des fibrations en torseurs sous un tore constant défini sur un corps de nombres, on démontre que l’obstruction de Brauer-Manin est suffisante pour expliquer le défaut des principes locaux-globaux. On donne également des nouveaux examples de variétés pour lesquelles l’obstruction de Brauer-Manin et ses raffinements ne suffisent pas pour expliquer le défaut du principe de Hasse.Dans la partie II, on étudie la relation entre le volume rationnel d’une variété lisse, projective sur un corps strictement local, et la trace de l’opérateur de monodromie modérée sur la cohomologie étale de la variété. Ceci est motivé par un travail de Nicaise-Sebag sur une formule de traces pour l’invariant de Serre motivique, inspiré par la formule de Grothendieck-Lefschetz pour les variétés sur les corps fini. On utilise ici le formalisme de la géométrie logarithmique. / The main theme of this thesis is the interplay between the “behaviour” of the rational points on certain classes of algebraic varieties defined over global and local fields, andthe cohomology of these varieties. Part I studies the Brauer-Manin obstruction to the validity of local-global principles (such as the Hasse principle and weak approximation) coming from the Brauer groupof a variety. In some cases, for certain families of torsors under a constant torusdefined over a number field, we prove that the Brauer-Manin obstruction is sufficientto explain the failure of these local-global principles. We also give new examples of varieties for which the Brauer-Manin obstruction and its refinements are insufficientto explain the failure of the Hasse principle.In Part II, we investigate the relationship between the rational volume of a smooth, projective variety defined over a strictly local field, and the trace of the tame monodromy operator on the étale cohomology of this variety. The motivation is work of Nicaise–Sebag on a trace formula for the motivic Serre invariant, inspired by the Grothendieck–Lefschetz trace formula for varieties over finite fields. We study this relationship using the framework of logarithmic geometry.

Soit $X$ une variété algébrique lisse et projectif sur un corps de nombres $F \subset \mathbb{C}$. On suppose que le motif de Hodge absolu $h^i(X)$ appartient à la catégorie Tannakienne engendrée par les motifs des variétés abélienne sur $F$. Pour tout nombre premier $\ell$, le groupe de Galois $\Gamma_F:= Gal(\bar{F}/F)$ opère sur $H_{\ell}(M)$, la réalisation $\ell$-adique de $M$. Quitte à remplacer $F$ par une extension finie, on peut supposer que cette action se factorise par un morphisme $\rho_{M,\ell}: \Gamma_F\rightarrow G_M(\ql)$, où $G_M$ est le groupe de Mumford-Tate de $M$. Fixons une valuation $v$ de $F$ et supposons $v(\ell)=0 $. La restriction $\rho_{M,\ell} \vert_{ \Gamma_{F_v}}$ définit une représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ du groupe de Weil-Deligne de $F_v$. Des conjectures de J-P Serre et J-M Fontaine indiquent que pour tout $\ell $, la représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ est définie sur $\mathbb{Q}$ et pour $\ell$ variable elles forment un système compatible de représentations. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons que ceci est vrai si $X$ a bonne réduction en $v$ où réduction semi-stable en $v$.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l’hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers. / We explicitly bound the Faltings height of a curve over the field of algebraic numbers in terms of the Belyi degree. Similar bounds are proven for three other Arakelov invariants: the discriminant, Faltings' delta invariant and the self-intersection of the dualizing sheaf. Our results allow us to explicitly bound these Arakelov invariants for modular curves, Hurwitz curves and Fermat curves. Moreover, as an application, we show that the Couveignes-Edixhoven-Bruin algorithmtime under the Riemann hypothesis for zeta-functions of number fields. This was known before only for certain congruence subgroups. Finally, we utilize our results to prove a conjecture of Edixhoven, de Jong and Schepers on the Faltings height of a branched cover of the projective line over the ring of integers.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.