Le cadre de cette thèse est l'étude de l'anneau des cycles algébriques de la jacobienne d'une courbe lisse, tensorisé par Q. Les cycles sont étudiés sous l'angle de la décomposition de Beauville, c'est-a-dire celle en espaces propres pour les opérateurs k_* et k^* associés aux homothéties k : x -> kx . Plus précisément, on s'intéresse aux cycles tautologiques, ceux dans le plus petit sous-anneau contenant (le plongement de) la courbe, stable par les opérations élémentaires : intersection, produit de Pontryagin, opérateurs k_* et k^*.<br /><br /> L'objectif de cette thèse est de montrer comment calculer de nouvelles relations entre cycles modulo équivalence algébrique en fonction des systèmes linéaires admis par la courbe. <br /><br />Le point de départ de ces calculs est une formule obtenue par Elisabetta Colombo et Bert van Geemen précisant la classe algébrique d'un pinceau (considéré comme sous-variété du produit symétrique de la courbe) dont ils déduisent de premiers résultats d'annulation. On étend cette formule aux systèmes linéaires de dimension supérieure (et à l'anneau de Chow) pour obtenir d'autres résultats d'annulation.

Dans ma thèse, je propose plusieurs contributions à l'étude de la cohomologie des variétés projectives complexes ainsi qu'à la construction de cycles algébriques. Le mémoire se compose de plusieurs parties qui, si elles sont indépendantes, essaient toutes trois de tirer parti de la nature multiple de ces variétés, à la fois variétés kähleriennes, donc objets analytiques, variétés algébriques, et enfin objets arithmétiques, étant toujours définies sur un corps de type fini sur $\Q$. La première partie de ce texte, parue au journal de Crelle, s'intéresse au problème de la topologie des variétés conjuguées. On y répond à une question de Grothendieck en y exhibant deux variétés conjuguées dont les algèbres de cohomologie réelles ne sont pas isomorphes. Dans une deuxième partie, on aborde le problème de la construction des cycles algébriques dont l'existence est prévue par les conjectures standards, pour ensuite examiner de manière plus détaillée le cas des variétés hyperkahleriennes. Nous utilisons principalement des méthodes infinitésimales en théorie de Hodge. Enfin, dans la troisième partie, parue aux International Mathematical Research Notices, on s'intéresse au problème du lieu de définition des fonctions normales associées aux familles de cycles dans les variétés projectives complexes. On y prolonge des résultats récents de Brosnan et Pearlstein qui démontrent l'algébricité de ce lieu en prouvant des théorèmes de comparaison avec la cohomologie étale $l$-adique et en démontrant, sous certaines hypothèses de monodromie, que ces lieux sont définis sur un corps de nombres.

Dans cette thèse, nous étudions certains invariants birationnels des variétés projectives lisses, en lien avec les questions de rationalité de ces variétés. Elle se compose de trois chapitres qui peuvent être lus indépendamment.Dans le premier chapitre, nous étudions, pour certaines familles de variétés, certains invariants birationnels stables, nuls pour l'espace projectif, apparaissant naturellement avec les formules de Manin. D'une part, nous montrons que l'invariant birationnel qu'est le groupe des cycles de torsion de codimension 3 contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne est pour, les hypersurfaces cubiques complexes de dimension 5, contrôlé par l'invariant birationnel de sa variété des droites donné par le groupe des 1-cycles de torsion contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne. D'autre part on établit la nullité du groupe de Griffiths des 1-cycles pour la variété des droites d'une hypersurface de l'espace projectif sur un corps algébriquement clos de caractérsitique 0, lorsque celle-ci est lisses et de Fano d'indice au moins 3.Les deux derniers chapitres se concentrent sur des aspects différents d'une propriété invariante par équivalence birationnelle stable introduite récemment par Voisin: l'existence d'une décomposition de Chow de la diagonale. Dans le second chapitre, nous étendons à la caractéristique positive p > 2 une partie des résultats obtenus par Voisin sur la décomposition de Chow de la diagonale des hypersurfaces cubiques complexes de dimension 3.Dans le dernier chapitre, on étudie la notion de dimension CH0 essentielle introduite par Voisin et reliée à l’existence d’une décomposition de Chow de la diagonale en ce que dire d’une variété qu’elle est de dimension CH0 essentielle nulle équivaut à affirmer l’existence d’une décomposition de Chow de sa diagonale. Nous présentons des conditions suffisantes (et nécessaires) pour assurer qu’une variété complexe dont le groupe des 0-cycle est trivial et dont la dimension CH_0 essentielle est au plus 2 est de dimension CH_0 essentielle nulle. / In this thesis, we study some birational invariants of smooth projective varieties, in view of rationality questions for these varieties. It consists of three parts, that can be read independently.In the first chapter, we study, for some families of varieties, some stable birational invariants, that vanish for projective space and that appear naturally with Manin formulas. On one hand, we show for complex cubic 5-folds that the birational invariant given by the group of torsion codimension 3 cycles annihilated by the Deligne cycle map is controlled by the group of torsion 1-cycles of its variety of lines annihilated by the Deligne cycle map. We also prove that the Griffiths group of 1-cycles for the variety of lines of a hypersurface of the projective space over an algebraically closed field of characteristic 0, is trivial when the variety is smooth and Fano of index at least 3.The two last chapters focus on different aspects of the Chow-theoretic decomposition of the diagonal, a property which is invariant under stable birational equivalence, recently introduced by Voisin. In the second chapter, we adapt in characteristic greater than 2, part of the results, obtained by Voisin over the complex numbers, on the decomposition of the diagonal of cubic threefolds.In the last chapter, we study the concept of essential CH_0-dimension introduced by Voisin and related to the decomposition of the diagonal in that having essential CH_0-dimension 0 is equivalent to admitting a Chow-theoretic decomposition of the diagonal. We give sufficient (and necessary) conditions, for a complex variety with trivial group of 0-cycles, having essential CH_0-dimension non greater than 2 to admit a Chow-theoretic decomposition of the diagonal.

On étudie dans cette thèse les cycles algébriques sur les variétés Jacobiennes de courbes complexes projectives lisses qui admettent des automorphismes non triviaux. Il s'agit plus précisément d'étudier de nouveaux anneaux tautologiques associés à des groupes d’automorphismes de la courbe. On montre que ces Q-algèbres naturelles de cycles algébriques sur les Jacobiennes se restreignent en des familles de cycles sur certaines sous-variétés spéciales de la Jacobienne et que celles-ci méritent encore le nom d'anneaux tautologiques sur ces sous-variétés. On étudie en détail le cas des courbes hyperelliptiques; situation dans laquelle les algèbres introduites admettent un nombre fini de générateurs, et en particulier sont de dimension finie. On peut alors être très précis dans l'étude des relations entre ces générateurs. Enfin, on montre que ces anneaux tautologiques apparaissent naturellement dans un autre contexte : celui des systèmes linéaires complets sans point de base. / In this thesis we study algebraic cycles on Jacobian varieties of smooth projective complex curves with non trivial automorphisms. More precisely, we introduce new tautological rings associated to groups of automorphisms of the curve. We show that these natural Q-algebras of algebraic cycles on Jacobians induce a good notion of tautological rings on some particular subvarieties of the Jacobian. We then study in detail the case of hyperelliptic curves. In this case, the tautological rings admit a finite number of generators, and in particular are of finite dimension. We can then be very precise when studying the relations between these generators. Finally, we present another situation in which these tautological rings appear: when we consider complete linear series without base point.

Nous présentons trois résultats dans cette thèse. Dans le chapitre 2 nous montrons l’existence d’un zéro-cycle cx sur une hypersurface X de type Calabi–Yau dans une varieté homogène projective complexe. Plus précisement, nous montrons que l’intersection de n diviseurs sur X, où n = dim X, est proportionnelle à la classe d’un point supporté sur une courbe rationnelle dans X. Dans le chapitre 3 nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Beauville et Voisin portant sur la décomposition de la petite diagonale d’une surface K3 notée S. La preuve que nous donnons est explicite et utilise le plongement de degré 2g-2 de S dans l’espace projectif de la dimension g. Elle est différente de celle donnée par Beauville et Voisin, qui repose sur l’existence d’une famille à un paramètre de courbes elliptiques. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des similitudes entre la variété de Fano des droites d’une cubique de dimension 4, qui est une variété hyper-Kählerienne étudiée par Beauville et Donagi, et la variété hyper-Kählerienne de dimension 4 construite par Debarre et Voisin dans [11]. Nous introduisons un analogue de la notion de triangle pour ces variétés et prouvons que la variété des triangles, qui est de dimension 6, est une sous-variété Lagrangienne du cube de la variété hyper-Kählerienne construite par Debarre et Voisin. / We present in this thesis three results. In Chapter 2 we prove the existence of a canonical zero-cycle cX on a Calabi–Yau hypersurfacee X in a complex projective homogeneous variety. Namely, we show that the intersection of any n divisors on X , n = dim X is proportional to the class of a point on a rational curve in X. In Chapter 3 we give a new proof of the theorem of Beauville and Voisin about the decomposition of the small diagonal of a K3 surface S. Our proof is explicit and uses the degree 2g-2 embedding of S in projective space of dimension g. It is different from the one used by Beauville and Voisin, which employed the existence of one-parameters familie of elliptic curves. Chapter 4 is devoted to the study of similarities between the Fano varieties of lines on a cubic fourfold, a hyper-Kähler fourfold studied by Beauville and Donagi, and the hyper-Kähler fourfold constructed by Debarre and Voisin in [11]. We exhibit an analog of the notion of "triangle" for these varieties and prove that the 6-dimensional variety of "triangles" is a Lagrangian subvariety in the cube of the constructed hyper-Kähler fourfold.

Cette thèse comporte trois chapitres indépendants portant sur l’itération des applicationsrationnelles sur des variétés projectives et plus spécifiquement sur l’étude du comportement dela suite des degrés des itérés de telles applications.Dans le premier chapitre, nous donnons une construction des invariants fondamentaux quesont les degrés dynamiques dans un cadre très général, et ce sans hypothèse ni sur la caractéristique ni sur les singularités de l’espace ambiant. Cette construction repose sur des propriétésde positivité des cycles algébriques, et propose une alternative aux approches analytiques deDinh et Sibony ou algébriques de Truong.Le second chapitre est issu d’un article écrit en commun avec Jian Xiao. Notre contributionporte sur des objets centraux en géométrie convexe appelés valuations. Nous transférons à l’espace des valuations des notions de positivité des cycles algébriques récemment introduites parLehmann et Xiao, ce qui nous permet d’étendre l’opération de convolution originellement définie par Bernig et Fu à une sous-classe de valuations suffisamment positives.Le troisième chapitre constitue le coeur de la thèse, et porte sur des estimations des degrésdynamiques des automorphismes dit modérés de la quadrique affine de dimension 3. Nos arguments sont de nature variée, et s’appuient sur l’action du groupe modéré sur un complexe carréCAT(0) et Gromov hyperbolique récemment introduite par Bisi, Furter et Lamy.Nous avons finalement collecté dans un dernier et court chapitre quelques pistes de recherchedirectement inspirées des travaux présentés ici. / This thesis is divided into three independent chapters on the iterates of rational maps on projective varieties and more specifically on the study of the growth of the degree sequences of the iterates of such maps. In the first chapter, we give a construction of the fundamental invariants called dynamical degrees. Our method holds in a very general setting, without any conditions on the characteristic of the field or on the singularities of the ambient space.This construction is based on the study of positivity properties of algebraic cycles and gives an alternative approach to the analytical technics of Dinh and Sibony or to the algebraic arguments of Truong.The second chapter is taken from an article written in joint work with Jian Xiao. Our paper focuses on central objects in convex geometry called valuations. We transfer some positivity notions of algebraic cycles recently introduced by Lehmann and Xiao, this allows us to extend the convolution operation defined by Bernig and Fu to a subspace of sufficiently positive valuations.The third chapter is the core of this thesis and focuses on the dynamical degrees of the so-called tame automorphisms of an affine quadric threefold. Our arguments are of various nature and rely on the action of the tame group on a CAT(0), Gromov hyperbolic square complex recently introduced by Bisi, Furter and Lamy. Finally, we have collected in the last chapter a few perpectives directly inspired by this work.

Cette thèse est divisée en huit chapitres. D’abord, dans le Chapitre 1, on présente des résultats et des outils déjà connus qu’on utilisera dans la suite de la thèse. Le Chapitre 2 est consacré à résumer de maniére uniforme les nouveaux résultats présentés dans ce manuscrit.Les six chapitre restants sont originals. Dans les Chapitres 3 et 4 on démontre la chose suivante: soit $f:Yrightarrow X$ un morphisme lisse et prope sur une base $X$ lisse et géométriquament connexe sur un corps infini, finiment engendré et de caractéristique positive. Alors il y a beaucoup de points fermées $xin |X|$ tels que le rang du groupe de Néron-Severi de la fibre géometrique de $f$ en $x$ est le même du groupe de Néron-Severi de la fibre géométrique générique. On preuve ça de la façon suivante: on étudie la spécialisation du faisceau lisse $ell$-adique $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$); en suite, on le relit avec la spécialisation du F-isocristal $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$ en passant par la catégorie des F-isocristaux surconvergents. Au final, la conjecture de Tate varationelle dans la cohomologie cristalline, nous permet de déduire le résultat sur les groupes de Néron-Severi depuis le résultat sur $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$. Cela étend en caractéristique positive les résultats de Cadoret-Tamagawa et André en caractéristique zero.Les Chapitres 5 et 6 sont consacrés à l’étude des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents. En particulier, les résultats dans le Chapitre 5 sont un travail en common avec Marco D'Addezio. On étude les tores maximaux des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents et on utilise ça pour démontrer un cas particulier d’un conjecture de Kedlaya sur les homomorphismes de $F$-isocristeaux convergents. En utilisant ce cas particulier, on démontre que si $A$ est une variété abélienne sans facteurs d'isogonie isotrivial sur un corps de fonctions $F$ sur $overline{F}_p$, alors le groupe $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ est fini. Cela peut être considéré comme une extension du théoreme de Lang—Néron et donne une réponse positive a une question d'Esnault. Dans le Chapitre 6, on défini une catégorie $overline Q_p$-linéaire des $F$-isocristeaux surconvergents et les groupes de monodromie de ces objets. En exploitant la théorie des compagnons pour les $F$-isocristeaux surconvergents et les faisceaux lisses, on étudie la théorie de spécialisation de ces groupes de monodromie en transférant les résultats du Chapitre 3 dans ce contexte.Les derniers deux chapitres complètent et affinent les résultats des chapitres précédents. Dans le Chapitre 7, on démontre que la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finiment engendrés et de caractéristique $p>0$ est une conséquence de la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finis de caractéristique $p>0$. Dans le Chapitre 8, on démontre des résultats de borne uniforme en caractéristique positive pour le groupes de Brauer des formes des variétés qui satisfasse la conjecture de Tate $ell$-adique pour les diviseurs. Cela étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro. / This thesis is divided in 8 chapters. Chapter ref{chapterpreliminaries} is of preliminary nature: we recall the tools that we will use in the rest of the thesis and some previously known results. Chapter ref{chapterpresentation} is devoted to summarize in a uniform way the new results obtained in this thesis.The other six chapters are original. In Chapters ref{chapterUOIp} and ref{chapterneron}, we prove the following: given a smooth proper morphism $f:Yrightarrow X$ over a smooth geometrically connected base $X$ over an infinite finitely generated field of positive characteristic, there are lots of closed points $xin |X|$ such that the rank of the N'eron-Severi group of the geometric fibre of $f$ at $x$ is the same of the rank of the N'eron-Severi group of the geometric generic fibre. To prove this, we first study the specialization of the $ell$-adic lisse sheaf $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$), then we relate it with the specialization of the F-isocrystal $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$ passing trough the category of overconvergent F-isocrystals. Then, the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, allows us to deduce the result on the N'eron-Severi groups from the results on $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$. These extend to positive characteristic results of Cadoret-Tamagawa and Andr'e in characteristic zero.Chapters ref{chaptermarcuzzo} and ref{chapterpadic} are devoted to the study of the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals. Chapter ref{chaptermarcuzzo} is a joint work with Marco D'Addezio. We study the maximal tori in the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals and using them we prove a special case of a conjecture of Kedlaya on homomorphism of convergent $F$-isocrystals. Using this special case, we prove that if $A$ is an abelian variety without isotrivial geometric isogeny factors over a function field $F$ over $overline{F}_p$, then the group $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ is finite. This may be regarded as an extension of the Lang--N'eron theorem and answer positively to a question of Esnault. In Chapter ref{chapterpadic}, we define $overline Q_p$-linear category of (over)convergent F-isocrystals and the monodromy groups of their objects. Using the theory of companion for overconvergent F-isocrystals and lisse sheaves, we study the specialization theory of these monodromy groups, transferring the result of Chapter ref{chapterUOIp} to this setting via the theory of companions.The last two chapters are devoted to complements and refinement of the results in the previous chapters. In Chapter ref{chaptertate}, we show that the Tate conjecture for divisors over finitely generated fields of characteristic $p>0$ follows from the Tate conjecture for divisors over finite fields of characteristic $p>0$. In Chapter ref{chapterbrauer}, we prove uniform boundedness results for the Brauer groups of forms of varieties in positive characteristic, satisfying the $ell$-adic Tate conjecture for divisors. This extends to positive characteristic a result of Orr-Skorobogatov in characteristic zero.

Cette thèse se compose de trois chapitres. Dans Chapitre 1, en supposant la conjecture standard de Lefschetz, on démontre la conjecture de Hodge généralisée pour une sous-structure de Hodge de convieau 1 qui est le noyau du cup-produit avec une classe de cohomologie grosse. Dans Chapitre 2, nous établissons une décomposition de la petite diagonale de X × X × X pour une intersection complète de type Calabi-Yau X dans un espace projectif. Comme une conséquence, on déduit une propriété de dégénérescence pour le produit d'intersection dans son anneau de Chow des deux cycles algébriques de dimensions complémentaires et strictement positives. Dans Chapitre 3, on démontre qu'un automorphisme symplectique polarisé de la variété des droites d'une hypersurface cubique de dimension 4 agit trivialement sur son groupe de Chow des 0-cycles, comme prédit par la conjecture de Bloch généralisée.