Le cadre de cette thèse est l'étude de l'anneau des cycles algébriques de la jacobienne d'une courbe lisse, tensorisé par Q. Les cycles sont étudiés sous l'angle de la décomposition de Beauville, c'est-a-dire celle en espaces propres pour les opérateurs k_* et k^* associés aux homothéties k : x -> kx . Plus précisément, on s'intéresse aux cycles tautologiques, ceux dans le plus petit sous-anneau contenant (le plongement de) la courbe, stable par les opérations élémentaires : intersection, produit de Pontryagin, opérateurs k_* et k^*.<br /><br /> L'objectif de cette thèse est de montrer comment calculer de nouvelles relations entre cycles modulo équivalence algébrique en fonction des systèmes linéaires admis par la courbe. <br /><br />Le point de départ de ces calculs est une formule obtenue par Elisabetta Colombo et Bert van Geemen précisant la classe algébrique d'un pinceau (considéré comme sous-variété du produit symétrique de la courbe) dont ils déduisent de premiers résultats d'annulation. On étend cette formule aux systèmes linéaires de dimension supérieure (et à l'anneau de Chow) pour obtenir d'autres résultats d'annulation.

Les formules de Thomae classiques (1869) permettent de relier au moyen d'une relation algébrique les points branches d'une courbe hyperelliptique avec les thêta constantes de sa jacobienne. Ces formules donnent notamment un moyen de calculer les thêta constantes d'une courbe hyperelliptique connaissant ses points de ramification ou bien, à l'inverse, de retrouver la courbe en connaissant le theta null point de sa jacobienne. Ceci fournit une réalisation effective du théorème de Torelli. Plus récemment, plusieurs auteurs dont Zemel et Farkas ont proposé une généralisation de ces formules pour des courbes cycliques totalement ramifiées sur la droite projective. Nous nous intéressons dans cette thèse à une généralisation de ces formules pour des courbes galoisiennes résolubles de degré n sur la droite projective. La construction de telles formules suit la stratégie décrite par Farkas et Zemel. Cependant, les points non totalement ramifiés ne décrivent pas des points de n-torsion de la Jacobienne de la courbe via l'application d'Abel-Jacobi. Pour remédier à cet obstacle, nous composons T par theta, où T agit comme une moyenne décrite par un sous-groupe du groupe de Galois de la courbe possédant certaines propriétés. Afin de décrire les zéros de translatés de cette application composée, nous écrivons un analogue du théorème de Riemann sur les zéros de theta. Enfin, nous exhibons un exemple d'une courbe définie par un revêtement de degré 2 suivi de deux revêtements de degré 3 dans laquelle on obtient des formules de Thomae généralisées. / The classical Thomae formulae (1869) provide algebraic relations between the branch points of an hyperelliptic curve and the theta constants of its Jacobian. These formula can be seen as a way to calculate these theta constants from the data of the ramification points of the hyperelliptic curve or in the other way around, to find the curve whose Jacobian is given by its theta null point. This can be seen as an effective version of Torelli's theorem. More recently, several authors including Zemel and Farkas have proposed a generalization of these formula for cyclic curves that are totally ramified on the projective line. In this thesis, we are interested in a generalization of these formula for curves of degree n with a solvable Galois group over the projective line. The construction of such formula follows the strategy developed by Farkas and Zemel. However, the points that are not totally ramified don't describe n-torsion points on the Jacobian of the curve via the Abel-Jacobi map. In order to solve this difficulty, we consider the composed map of T by theta, where T is a mean described by a sub-group of the Galois group of the curve with several properties. We write an analogous of the Riemann's theorem in order to describe the zeros of translates of this composed map. Finally, we show an example of a curve defined by a cover of degree 2 followed by two covers of degree 3 for which we can compute generalized Thomae formulae.

Cette thèse concerne des propriétés des variétés jacobiennes de courbes de genre 2 qui couvrent des courbes elliptiques. Soit E une courbe plane, donnée par une équation y^2=F(x), où F(x)=x^3+a2x^2+a1x+a0 est un polynôme à coefficients rationnels, qui a trois racines distinctes. Pour des raisons historiques, une telle courbe est appelée courbe elliptique. On sait que toute courbe elliptique E peut être équipée d'une structure de groupe commutatif - on peut additionner et soustraire ses points. Un point O « à l'infini », qui est contenu dans toutes les droites verticales (droites de la forme x=c), est l'élément neutre. Cette structure de groupe est décrite par la condition que trois points P,Q,R sur E satisfont P+Q+R=O si et seulement s'ils sont alignés. Les surfaces avec une structure de groupe commutatif sont appelées abéliennes. Par exemple, un produit de deux courbes elliptiques E1xE2 est une surface abélienne, de façon évidente. Considérons maintenant une courbe plane C donnée par une équation y^2=G(x), où G(x)=x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0 est un polynôme à coefficients rationnels, qui a six racines distinctes. La courbe C est appelée hyperelliptique et n'a pas de structure de groupe. Par contre, nous pouvons lui associer, d'une façon naturelle, une surface abélienne Jac(C), appelée la jacobienne de C. En plus, nous pouvons plonger C dans Jac(C). Certaines courbes hyperelliptiques sont spéciales car elles couvrent des courbes elliptiques. Par exemple, considérons une courbe C donnée par l'équation y^2=x^6+ax^4+bx^2+c, dans laquelle seulement des puissances paires de x apparaissent. Si (x,y) est un point de cette courbe alors de même (-x,y), et nous pouvons définir une application algébrique f:(x,y)->(x^2,y) de degré 2, c'est-à-dire, de fibre générale à deux points. Alors (X,Y)=(x^2,y) est un point de la courbe elliptique E donnée par Y^2=X^3+aX^2+bX+c et nous disons que C est un revêtement double de E. Si E1 est une courbe elliptique, si C est une courbe hyperelliptique, et si C->E1 est un revêtement de degré n qui n'est pas une composition de revêtements, alors nous pouvons plonger E1 dans la surface Jac(C) comme un sous-groupe. De plus, il existe une autre courbe elliptique E2 et un revêtement C->E2 de degré n, tel que la surface Jac(C) a une propriété spéciale - elle peut être obtenue comme quotient de la surface E1xE2 par un sous-groupe fini. Le chapitre 1 de cette thèse traite les aspects géométriques de cette situation. Nous cherchons à savoir quelles courbes peuvent avoir une telle relation et nous nous concentrons surtout sur les cas n=2 et n=3, qui ont déjà été analysés dans la littérature. Dans le cas général, nous obtenons quelques résultats, mais une description complète s'avère très difficile de manière explicite. Le chapitre 2 traite les aspects arithmétiques de la situation, via la théorie des fonctions hauteurs, qui sont un outil très utile pour répondre à des questions concernant des points rationnels de courbes et surfaces. Pour tout nombre rationnel x=a/b, avec a et b des entiers premiers entre eux, on définit la hauteur h(x) de x, de façon très précise, comme une mesure de sa complexité arithmétique - la hauteur dit approximativement combien de chiffres sont nécessaires pour écrire les entiers a et b. De la même façon, la hauteur d'un point rationnel d'une courbe ou surface nous dit combien de chiffres ont les coordonnées. Par exemple, (3,5) et (1749/1331,-1861/1331) sont deux points rationnels de complexités plutôt différentes de la courbe y^2=x^3-x+1, tandis que (2,√7) n'est pas un point rationnel. Il est possible d'attacher une hauteur aux courbes elliptiques et aux surfaces abéliennes qui mesure leur complexité arithmétique totale. Une relation spécifique entre ces deux notions de hauteur est alors conjecturée et nous étudions cette conjecture dans la situation décrite plus haut. Nous montrons que cette relation est vraie pour E1xE2 si et seulement si elle est vraie pour Jac(C). / This thesis deals with properties of Jacobians of genus two curves that cover elliptic curves. Let E be a curve in the plane, given by an equation y^2=F(x), where F(x)=x^3+a2x^2+a1x+a0 is a polynomial with rational coefficients and with three distinct roots. For historical reasons, such a curve is known as an elliptic curve. It is known that every elliptic curve E can be equipped with a structure of a commutative group - its points can be added and subtracted. A point O "at infinity", which is contained in all vertical lines (lines of form x=c), is the neutral element. This group structure is described by the condition that three points P,Q,R in E satisfy P+Q+R=O if and only if they are collinear. Surfaces with a commutative group structure are called abelian. For example, a product of two elliptic curves E1xE2 is an abelian surface in the obvious way. Next we consider a planar curve C given by an equation y^2=G(x), where G(x)=x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0 is a polynomial with rational coefficients and six distinct roots. The curve C is called hyperelliptic and it does not have a group structure. However, we can associate to it, in a natural way, an abelian surface Jac(C), called the Jacobian of C. Moreover, we can embed C into it. Some hyperelliptic curves, of the form y^2=G(x) as above, are special because they cover elliptic curves. For example, consider a curve C given by y^2=x^6+ax^4+bx^2+c, so that only even powers of x appear. If (x,y) is a point on this curve then so is (-x,y) and we can define an algebraic map f:(x,y)->(x^2,y), that is of degree 2, i.e. 2-to-1. Now (X,Y)=(x^2,y) is a point on the elliptic curve E given by Y^2=X^3+aX^2+bX+c and we say that C is a double cover of E. If E1 is an elliptic curve, C is a hyperelliptic curve, and C->E1 is an n-to-1 covering that is not a composition of coverings, then we can embed E1 into the surface Jac(C) as a subgroup. Moreover, there exists another elliptic curveE2 and an n-to-1 covering C->E2, such that the surface Jac(C) has a special property - it can be obtained as the quotient of the surface E1xE2 by a finite subgroup. The first chapter of the thesis deals with the geometric aspects of this setup. We investigate which curves can form this special relationship and we focus mostly on the cases n=2 and n=3, which have already been analysed in literature. We also gain some insight into the general case, but a full description proves to be very difficult computationally. The second chapter deals with the arithmetic aspects of the setup, via the theory of height functions, which are a very useful tool in answering questions about rational points on curves and surfaces. For every rational number x=a/b, where a and b are coprime integers, one can define its height h(x), in a very precise way, as a measurement of its arithmetic complexity - the height roughly tells us how many digits are needed to write down the integers a and b. Likewise, the height of a rational point on a curve or surface tells us about the number of digits of the coordinates. For example, (3,5) and (1749/1331,-1861/1331) are two rational points of rather different complexity on the curve y^2=x^3-x+1, while (2,√7) is not a rational point. It is also possible to associate a height to an elliptic curve or an abelian surface and measure its arithmetic complexity as a whole. A specific relation between these two heights is conjectured and we investigate it in the context of the setup above. We show that this relation holds for E1xE2 if and only if it holds for Jac(C).

Nous étudions dans cette thèse la valeur spéciale des fonctions L des courbes elliptiques, et plus généralement des formes modulaires de poids 2, au premier point entier non critique, à<br />savoir s=2. Nous démontrons une version explicite d'un théorème de Beilinson relatif à cette valeur spéciale : pour toute forme parabolique primitive f de poids 2, niveau N ≥ 1 et caractère \psi, et pour tout caractère de Dirichlet \chi modulo N (pair, primitif et distinct du conjugué de \psi), nous exprimons L(f,2) L(f,\chi,1) comme régulateur d'un symbole de Milnor explicite associé à des unités modulaires de X_1(N). En niveau \Gamma_1(p), p premier, nous en déduisons que les symboles de Milnor associés aux unités modulaires de X_1(p) engendrent l'espace d'arrivée du régulateur de Beilinson. Utilisant l'appendice par Merel, nous donnons une formule explicite et universelle pour L(E,2), E courbe elliptique de conducteur p premier, en termes des valeurs tordues L(E,\chi,1), \chi caractère de conducteur p. Nous suggérons également une reformulation de la conjecture de Zagier pour L(E,2) au niveau de la jacobienne J_1(N) de X_1(N), où N est le conducteur de E. En ce sens, nous proposons un analogue du dilogarithme elliptique pour la jacobienne J d'une courbe algébrique : c'est une fonction R_J des points complexes de J vers le dual de l'espace des 1-formes différentielles holomorphes sur J. Nous montrons que L(f,2) L(f,\chi,1) est combinaison linéaire explicite de valeurs de R_{J_1(N)}, appliquée à f, en des points \Q-rationnels du sous-groupe cuspidal de J_1(N).

Ce travail comporte deux parties dont la première concerne l'ensemble asymptotique $S_F$ d'une application polynomiale $F: C^n to C^n$. Dans les année 90s, Jelonek a montré que cet ensemble est une variété algébrique complexe singulière de dimension (complexe) $n-1$. Nous donnons une méthode, appelée {it méthode des fa{c c}ons}, pour stratifier cet ensemble. Nous obtenons une stratification de Thom-Mather. Par ailleurs, il existe une stratification de Whitney de $S_F$ telle que l'ensemble des fa{c c}ons possibles soit constant sur chaque strate. En utilisant les fa{c c}ons, nous donnons un algorithme pour expliciter l'ensemble asymptotique d'une application quadratique dominante en trois variables. Nous obtenons aussi une liste des ensembles asymptotiques possibles dans ce cas. La deuxième partie concerne l'ensemble $V_F$ : En 2010, Anna et Guillaume Valette ont construit une pseudo-variété réelle $V_F subset R^{2n + p}$, où $p > 0$, associée à une application polynomiale $F: C^n to C^n$. Dans le cas $n = 2$, ils ont prouvé que si $F$ est une application polynomiale de déterminant jacobien partout non nul, alors $F$ n'est pas propre si et seulement si l'homologie d'intersection de $V_F$ n'est pas triviale en dimension 2. Nous donnons une généralisation de ce résultat, dans le cas d'une application polynomiale $F : C^n to C^n$ de jacobien partout non nul. Nous donnons aussi une méthode pour stratifier l'ensemble $V_F$. Comme applications, nous obtenons des stratifications de l'ensemble des valeurs critiques asymptotiques de $F$ et de l'ensemble des points de bifurcation de $F$. / There are two parts in the present work. The first part concerns the asymptotic set of a polynomial mapping $F: C^n to C^n$. In the 90s, Zbigniew Jelonek showed that this set is a $(n-1)$ - (complex) dimensional singular variety. We give a method, called {it m'ethode des fa{c c}ons}, for stratifying this set. We obtain a Thom-Mather stratification. Moreover, there exists a Whitney stratification such that the set of possible fa{c c}ons is constant on every stratum. By using the fa{c c}ons, we give an algorithm for expliciting the asymptotic sets of a dominant quadratic polynomial mapping in three variables. As a result, we have a complete list of the asymptotic sets in this case. The second part concerns the set called Valette set $V_F$. In 2010, Anna and Guillaume Valette constructed a real pseudomanifold $V_F subset R^{2n + p}$, where $p > 0$, associated to a polynomial mapping $F: C^n to C^n$. In the case $n = 2$, they proved that if $F$ is a polynomial mapping with nowhere vanishing Jacobian, then $F$ is not proper if and only if the homology (or intersection homology) of $V_F$ is not trivial in dimension 2. We give a generalization of this result, in the case of a polynomial mapping $F : C^n to C^n$ with nowhere vanishing Jacobian. We give also a method for stratifying the set $V_F$. As applications, we have the stratifications of the set of asymptotic critical values of $F$ and the set of bifurcation points of $F$.

Notre motivation principale dans cette thèse est de développer des méthodes d'étude des systèmes intégrables classiques qui se généralisent directement aux systèmes intégrables quantiques. Pour cela nous commençons par construire explicitement, en utilisant des outils de la géométrie algébrique et les idées de la méthode de séparation des variables, un modèle matriciel de la jacobienne affine d'une courbe spectrale d'ordre $N$ quelconque, généralisant ainsi la construction précédemment connue seulement pour le cas hyperelliptique ($N=2$). A l'aide de ce modèle nous étudions ensuite les cohomologies singulières de la jacobienne affine et nous trouvons une formule nouvelle pour sa caractéristique d'Euler. En étudiant son comportement nous montrons que la structure des cohomologies est bien plus compliquée, dans le cas général, que dans le cas hyperelliptique. Du point de vue des systèmes intégrables notre résultat principal est que l'algèbre des observables est engendrée par l'action des certains champs hamiltoniens sur un nombre fini des coefficients des cohomologies supérieures. Cette observation est surtout importante dans le cas quantique auquel touts nos résultats s'appliquent aussi, en accord avec le programme de ce travail . En effet, ceci implique que les fonctions de corrélation de n'importe quelle observable s'expriment en termes des fonctions de corrélations d'un nombre fini de coefficients des cohomologies supérieures (déformés). Finalement, en utilisant les résultats connus pour le cas hyperelliptique et des considérations semi-classiques, nous formulons une conjecture sur la structure du produit scalaire dans l'espace de Hilbert où l'algèbre des observables quantiques est représentée.

Le travail présenté dans ce mémoire est divisé en deux parties. La première partie est consacrée aux calculs des fonctions d'appui de la Jacobienne généralisée de Clarke et de son enveloppe plénière, associées à une fonction localement lipschtizienne à valeurs vectorielles. Clarke avait établi en 1975 que la fonction d'appui du sous-différentiel généralisé était une dérivée directionnelle généralisée. Il est donc satisfaisant de constater que la fonction d'appui de la Jacobienne généralisée est une sorte de "divergence directionnelle généralisée". Dans la seconde partie, nous présentons un certain nombre d'applications de techniques issues de l'Analyse non lisse à la résolution d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ainsi nous utilisons la dualité convexe et le calcul sous-différentiel pour prouver que les formules dites de Hopf-Lax définissent des solutions explicites des équations de Hamilton-Jacobi associées (avec données initiales semicontinues inférieurement). Nous n'utilisons ni le fameux principe de comparaison de la théorie des solutions de viscosité ni régularisation. Nous traitons successivement le cas de la dimension finie et de la dimension infinie. Ces résultats nous permettent de trouver des estimations des solutions d'équations dont l'hamiltonien est la différence de deux fonctions convexes. Enfin, nous nous attachons à l'étude des solutions sci dans des espaces de Banach dits ``lisses''. Le théorème de la valeur moyenne de Clarke et Ledyaev nous permet de montrer un résultat d'``enveloppe'' : nous construisons une solution sci pour une équation dont l'hamiltonien est le supremum d'une famille d'hamiltoniens. Nous appliquons enfin les mêmes techniques pour prouver l'existence d'une solution sci minimale sous des hypothèses plus faibles que celles que l'on recontre généralement dans la littérature.

Dans certains regimes hypersoniques, le rayonnement peut enormement modifier l'ecoulement aerodynamique. Pour de telles applications, il est important d'avoir un modele qui realise un couplage fort entre l'hydrodynamique et le transfert radiatif afin d'avoir un bon comportement de la solution. Cependant, le couplage avec l'equation du transfert radiatif est en general extremement couteux et donc peu raisonnable pour des simulations multidimensionnelles instationnaires. Notre choix est d'utiliser un modele aux moments pour la partie rayonnement, ce qui est bien moins couteux. Celui-ci est base sur une fermeture entropique a la Levermore qui permet de conserver les principales proprietes de la physique. On developpe une version multigroupe de ce modele afin de pouvoir traiter des cas realistes tres dependants de la frequence. Le systeme couple resultant est hyperbolique et possede des proprietes interessantes qui sont etudiees. Ce modele radiatif est couple avec les equations de Navier-Stokes avec une approche totalement implicite et fortement couplee. De plus, pour gagner de la place memoire, on choisit d'utiliser une methode sans Jacobienne, en pratique une methode de type GMRes preconditionne. Cette methode se revele assez rapide pour pouvoir simuler des applications realistes a un cout de calcul raisonnable, ce qui n'est pas le cas de la plupart des modeles courament utilises dans la litterature. Plusieurs applications sont donnees pour illustrer le bon comportement du modele a la fois dans des configurations academiques simplifiees ou l'on peut faire des comparaisons et dans des configurations realistes comme l'ecoulement lors de l'entree atmospherique de sondes superorbitales.

Nous présentons divers résultats obtenus sur les courbes de genre 1,2 et 3, notamment une caractérisation des classes d'isogénie de surfaces abéliennes qui contiennent une jacobienne sur les corps finis et le calcul de l'obstruction de Serre en genre 3. Un chapitre résume également diverses applications cryptographiques.

L'alignement d'images paramétrique a de nombreuses applications pour la réalité augmentée, la compression vidéo ou encore le suivi d'objets. Dans cette thèse, nous nous intéressons notamment aux techniques de recalage d'images (template matching) reposant sur l'optimisation locale d'une fonctionnelle d'erreur. Ces approches ont conduit ces dernières années à de nombreux algorithmes efficaces pour le suivi d'objets. Cependant, les performances de ces algorithmes ont été peu étudiées lorsque les images sont dégradées par un bruit important comme c'est le cas, par exemple, pour des captures réalisées dans des conditions de faible luminosité. Dans cette thèse, nous proposons un nouveau formalisme, appelé formalisme bidirectionnel, qui unifie plusieurs approches de l'état de l'art. Ce formalisme est utilisé dans un premier temps pour porter un éclairage nouveau sur un grand nombre d'approches de la littérature et en particulier sur l'algorithme ESM (Efficient Second-order Minimization). Nous proposons ensuite une étude théorique approfondie de l'influence du bruit sur le processus d'alignement. Cette étude conduit à la définition de deux nouvelles familles d'algorithmes, les approches ACL (Asymmetric Composition on Lie Groups) et BCL (Bidirectional Composition on Lie Groups) qui permettent d'améliorer les performances en présence de niveaux de bruit asymétriques (Rapport Signal sur Bruit différent dans les images). L'ensemble des approches introduites sont validées sur des données synthétiques et sur des données réelles capturées dans des conditions de faible luminosité.