[ES] La presente tesis se ha centrado en el modelado, diseño y demonstración experimental por primera vez del dispositivo Reconfigurable Reflective Arrayed Waveguide Grating (R-RAWG). Para la consecución de este dispositivo que tiene posibilidades de uso en la espectrometría, una plataforma de nitruro de silicio llamada CNM-VLC se ha usado, ya que este material permite operar en un gran ancho de banda. Esta plataforma posee ciertas limitaciones y los elementos necesarios para el funcionamiento de este dispositivo tenían un performance bajo. Por ello, se ha desarrollado y validado una metodología que ha permitido obtener mejores divisores. Además, se ha diseñado un inverted taper que ha mejorado considerablemente el acoplo de luz al chip. Esto ha sido gracias a un exhaustivo análisis de opciones existentes en la literatura que también ha permitido escoger la mejor opción para realizar un espejo reconfigurable en la plataforma sin cambiar ni añadir ningún proceso de fabricación. Se han demostrado espejos reconfigurables gracias a utilizar divisores ópticos realimentados y también se ha desarrollado códigos que predicen el comportamiento del dispositivo experimentalmente. Con todo el trabajo realizado, se ha diseñado un R-RAWG para que pudiera operar en un gran ancho de banda y que los actuadores de fase no tuvieran peligro de estropearse. También se ha desarrollado un código para el modelado del R-RAWG que permite imitar la fabricación de estos dispositivos y que, gracias a esto, se ha desarrollado un método o algoritmo llamado DPASTOR, que usa algoritmos usados en machine learning, para optimizar la respuesta con tan sólo la potencia óptica de salida. Finalmente, se ha diseñado una PCB para poder conectar eléctricamente el chip fotónico y se ha desarrollado un método de medida que ha permitido tener una respuesta estable consiguiendo demostrar multitud de respuestas de filtros ópticos con el mismo dispositivo. / [CAT] La present tesi s'ha centrat en el modelatge, disseny i demonstració experimental per primera vegada del dispositiu Reconfigurable Reflective Arrayed Waveguide Grating (R-RAWG). Per a la consecució d'aquest dispositiu que té possibilitats d'ús en l'espectrometria, una plataforma de nitrur de silici anomenada CNM-VLC s'ha usat ja que aquest material permet operar en una gran amplada de banda. Aquesta plataforma posseeix certes limitacions i els elements necessaris per al funcionament d'aquest dispositiu tenien un performance baix. Per això, s'ha desenvolupat i validat una metodologia que ha permés obtindre millors divisors i també, gràcies als processos de fabricació, s'ha dissenyat un acoplador que ha millorat considerablement l'acoble de llum al xip. Això ha sigut gràcies a un exhaustiu analisis d'opcions existents en la literatura que també ha permés triar la millor opció per a realitzar un espill reconfigurable en la plataforma sense canviar ni afegir cap procés de fabricació. S'han demonstrat espills reconfigurables gràcies a utilitzar divisors realimentats i també s'ha desenvolupat codis que prediuen el comportament del dispostiu experimentalment. Amb tot el treball realitzat, s'ha dissenyat un R-RAWG fent ús de determinades consideracions perquè poguera operar en una gran amplada de banda i que els actuadors de fase no tingueren perill de desbaratar-se. També s'ha desenvolupat un codi per al modelatge del R-RAWG que permet imitar la fabricació d'aquests dispositius i que, gràcies a això, s'ha desenvolupat un mètode o algorisme anomenat DPASTOR, que usa algorismes usats en machine learning, per a optimitzar la resposta amb tan sols la potència òptica d'eixida. Finalment, s'ha dissenyat una PCB per a poder connectar elèctricament el xip fotònic i s'ha desenvolupat un mètode de mesura que ha permés tindre una resposta estable aconseguint demostrar multitud de respostes de filtres òptics amb el mateix dispositiu. / [EN] This thesis is focused on the modelling, design and experimental demonstration for the first time of Reconfigurable Reflective Arrayed Waveguide Grating (R-RAWG) device. In order to build this device, that can be employed in spectrometry, a silicon nitride platform termed CNM-VLC has been chosen since this material allows to operate in broad range of wavelengths. This platform has the necessary elements, but some limitations because the operation of this device had a low performance. Therefore, a methodology has been developed and validated, which has allowed to obtain better splitters. Also an inverted taper has been designed, which has considerably improved the coupling of light to the chip. This has been possible thanks to an exhaustive analysis of existing options in the literature, that has allowed choosing the best option to make a reconfigurable mirror on the platform without changing or adding new manufacturing steps. Reconfigurable mirrors have been demonstrated by using feedback splitters. Furthermore, codes have been developed to predict the behaviour of the actual device. With all the work done, a R-RAWG has been designed by using certain considerations so that it can operate over a broad wavelength range and the phase actuators are not in danger of being damaged. A code has also been developed for the modelling of the R-RAWG, which allows manufacturing imperfections to be considered, thanks to this, a method or algorithm called DPASTOR has been developed. DPASTOR resembles machine learning to optimise the response by just using the optical output power. Finally, a PCB and an assembly with the chip interconnected to it have been made and designed. Moreover, a measurement method has been developed, which has made it possible to have a stable response and to demonstrate a multitude of optical filter responses with the same device. / Fernández Vicente, J. (2021). Reconfigurable Reflective Arrayed Waveguide Grating on Silicon Nitride [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/165783

We consider the problem of numerical integration, where one aims to approximate an integral of a given continuous function from the function values at given sampling points, also known as quadrature points. A useful framework for such an approximation process is provided by the theory of reproducing kernel Hilbert spaces and the concept of the worst case quadrature error. However, the computation of optimal quadrature points, which minimize the worst case quadrature error, is in general a challenging task and requires efficient algorithms, in particular for large numbers of points. The focus of this thesis is on the efficient computation of optimal quadrature points on the torus T^d, the sphere S^d, and the rotation group SO(3). For that reason we present a general framework for the minimization of the worst case quadrature error on Riemannian manifolds, in order to construct numerically such quadrature points. Therefore, we consider, for N quadrature points on a manifold M, the worst case quadrature error as a function defined on the product manifold M^N. For the optimization on such high dimensional manifolds we make use of the method of steepest descent, the Newton method, and the conjugate gradient method, where we propose two efficient evaluation approaches for the worst case quadrature error and its derivatives. The first evaluation approach follows ideas from computational physics, where we interpret the quadrature error as a pairwise potential energy. These ideas allow us to reduce for certain instances the complexity of the evaluations from O(M^2) to O(M log(M)). For the second evaluation approach we express the worst case quadrature error in Fourier domain. This enables us to utilize the nonequispaced fast Fourier transforms for the torus T^d, the sphere S^2, and the rotation group SO(3), which reduce the computational complexity of the worst case quadrature error for polynomial spaces with degree N from O(N^k M) to O(N^k log^2(N) + M), where k is the dimension of the corresponding manifold. For the usual choice N^k ~ M we achieve the complexity O(M log^2(M)) instead of O(M^2). In conjunction with the proposed conjugate gradient method on Riemannian manifolds we arrive at a particular efficient optimization approach for the computation of optimal quadrature points on the torus T^d, the sphere S^d, and the rotation group SO(3). Finally, with the proposed optimization methods we are able to provide new lists with quadrature formulas for high polynomial degrees N on the sphere S^2, and the rotation group SO(3). Further applications of the proposed optimization framework are found due to the interesting connections between worst case quadrature errors, discrepancies and potential energies. Especially, discrepancies provide us with an intuitive notion for describing the uniformity of point distributions and are of particular importance for high dimensional integration in quasi-Monte Carlo methods. A generalized form of uniform point distributions arises in applications of image processing and computer graphics, where one is concerned with the problem of distributing points in an optimal way accordingly to a prescribed density function. We will show that such problems can be naturally described by the notion of discrepancy, and thus fit perfectly into the proposed framework. A typical application is halftoning of images, where nonuniform distributions of black dots create the illusion of gray toned images. We will see that the proposed optimization methods compete with state-of-the-art halftoning methods.

Aktuelle Entwicklungen führen zu komplexeren Produktionssystemen, insbesondere in der variantenreichen Serienfertigung. Als Folge bestehen erhebliche Herausforderungen darin, die technische Kapazität mit strategischem Zeithorizont effizient, transparent und flexibel zu planen. Da zahlreiche Abhängigkeiten berücksichtigt werden müssen, ist in der Praxis festzustellen, dass sich Vollständigkeit und Verständlichkeit der Modelle ausschließen. Zur Lösung dieses Zielkonflikts wird ein softwaregestützter Workflow vorgeschlagen, welcher in der neu entwickelten Software AURELIE realisiert wurde. Der Workflow basiert auf der grafischen Modellierung eines geplanten Systems von Wertströmen, der automatischen Validierung und Transformation des grafischen Modells und der automatischen Optimierung des resultierenden mathematischen Modells. Den Ausgangspunkt bildet ein grafisches Modell, das nicht nur verständlich ist, sondern auch das System in seiner Komplexität vollständig widerspiegelt. Aus Sicht der Forschung liegt der wesentliche Beitrag neben einer formalen Systembeschreibung und dem Aufzeigen der Forschungslücke in der Entwicklung der notwendigen Modelle und Algorithmen. Der Neuheitsgrad ist durch den ganzheitlichen Lösungsansatz gegeben, dessen Umsetzbarkeit durch die Software AURELIE belegt wird. Aus Sicht der Praxis werden die Effizienz, Transparenz und Flexibilität im Planungsprozess signifikant gesteigert. Dies wird durch die weltweite Einführung der Software AURELIE an den Standorten der Bosch Rexroth AG bestätigt.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis / Recent developments lead to increasingly complex production systems, especially in the case of series production with a great number of variants. As a result, considerable challenges exist in planning the technical capacity with strategic time horizon efficiently, transparently and flexibly. Since numerous interdependencies must be considered, it can be observed in practice that completeness and understandability of the models are mutually exclusive. To solve this conflict of objectives, a software-based workflow is proposed, which was implemented in the newly developed software AURELIE. The workflow relies on the graphical modeling of a planned system of value streams, the automated validation and transformation of the graphical model and the automated optimization of the resulting mathematical model. The starting point is a graphical model, which is not only understandable, but also reflects the system completely with respect to its complexity. From a research perspective, the essential contribution, besides a formal system description and the identification of the research gap, lies in the development of the required models and algorithms. The degree of novelty is given by the holistic solution approach, which is proven feasible by the software AURELIE. From a practical perspective, efficiency, transparency and flexibility in the planning process are significantly increased. This is confirmed by the worldwide implementation of the software AURELIE at the locations of Bosch Rexroth AG.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis

We consider the problem of numerical integration, where one aims to approximate an integral of a given continuous function from the function values at given sampling points, also known as quadrature points. A useful framework for such an approximation process is provided by the theory of reproducing kernel Hilbert spaces and the concept of the worst case quadrature error. However, the computation of optimal quadrature points, which minimize the worst case quadrature error, is in general a challenging task and requires efficient algorithms, in particular for large numbers of points. The focus of this thesis is on the efficient computation of optimal quadrature points on the torus T^d, the sphere S^d, and the rotation group SO(3). For that reason we present a general framework for the minimization of the worst case quadrature error on Riemannian manifolds, in order to construct numerically such quadrature points. Therefore, we consider, for N quadrature points on a manifold M, the worst case quadrature error as a function defined on the product manifold M^N. For the optimization on such high dimensional manifolds we make use of the method of steepest descent, the Newton method, and the conjugate gradient method, where we propose two efficient evaluation approaches for the worst case quadrature error and its derivatives. The first evaluation approach follows ideas from computational physics, where we interpret the quadrature error as a pairwise potential energy. These ideas allow us to reduce for certain instances the complexity of the evaluations from O(M^2) to O(M log(M)). For the second evaluation approach we express the worst case quadrature error in Fourier domain. This enables us to utilize the nonequispaced fast Fourier transforms for the torus T^d, the sphere S^2, and the rotation group SO(3), which reduce the computational complexity of the worst case quadrature error for polynomial spaces with degree N from O(N^k M) to O(N^k log^2(N) + M), where k is the dimension of the corresponding manifold. For the usual choice N^k ~ M we achieve the complexity O(M log^2(M)) instead of O(M^2). In conjunction with the proposed conjugate gradient method on Riemannian manifolds we arrive at a particular efficient optimization approach for the computation of optimal quadrature points on the torus T^d, the sphere S^d, and the rotation group SO(3). Finally, with the proposed optimization methods we are able to provide new lists with quadrature formulas for high polynomial degrees N on the sphere S^2, and the rotation group SO(3). Further applications of the proposed optimization framework are found due to the interesting connections between worst case quadrature errors, discrepancies and potential energies. Especially, discrepancies provide us with an intuitive notion for describing the uniformity of point distributions and are of particular importance for high dimensional integration in quasi-Monte Carlo methods. A generalized form of uniform point distributions arises in applications of image processing and computer graphics, where one is concerned with the problem of distributing points in an optimal way accordingly to a prescribed density function. We will show that such problems can be naturally described by the notion of discrepancy, and thus fit perfectly into the proposed framework. A typical application is halftoning of images, where nonuniform distributions of black dots create the illusion of gray toned images. We will see that the proposed optimization methods compete with state-of-the-art halftoning methods.