Cette thèse traite de deux problèmes dans le cadre du programme de Langlands. Pour le premier problème, dans la situation de $\GL_2 $ et un cocaractère non minuscule, nous fournissons un contre-exemple (sous certaines hypothèses naturelles) à la conjecture de Rapoport-Zink, communiquée par Laurent Fargues. Le deuxième problème concerne un résultat dans le programme de Langlands $p$-adique. Soit $A$ une algèbre $\qp$-affinoïde, au sens de Tate. Nous développons une théorie d'un espace localement convexe en $A$-modules parallèle au traitement dans le cas d'un corps par Schneider et Teitelbaum. Nous montrons qu'il existe une application d'intégration liant une catégorie de représentations localement analytiques en $A$ -modules et des modules de distribution séparés relatif. Il existe une théorie de cohomologie localement analytique pour ces objets et une version du Lemme de Shapiro. Dans le cas d'un corps, ceci a été substantiellement développé par Kohlhaase. Comme une application, nous proposons une correspondance de Langlands $p$-adique en families: Pour un $(\varphi, \Gamma)$-module trianguline et régulière de dimension 2 sur l'anneau de Robba relatif $\Robba_A$ nous construisons une $\GL_2(\qp)$-représentation localement analytique en $A$-modules. Il s'agit d'un travail en commun avec Joaquin Rodrigues. / This thesis deals with two problems within the Langlands program. For the first problem, in the situation of $\GL_2$ and a non-minuscule cocharacter, we provide a counter-example (under some natural assumptions) to the Rapoport-Zink conjecture, communicated to us by Laurent Fargues.The second problem deals with a result in the $p$-adic Langlands program. Let $A$ be a $\qp$-affinoid algebra, in the sense of Tate. We develop a theory of locally convex $A$-modules parallel to the treatment in the case of a field by Schneider and Teitelbaum. We prove that there is an integration map linking a category of locally analytic representations in $A$-modules and separately continuous relative distribution modules. There is a suitable theory of locally analytic cohomology for these objects and a version of Shapiro's Lemma. In the case of a field this has been substantially developed by Kohlhaase. As an application we propose a $p$-adic Langlands correspondence in families: For a regular trianguline $(\varphi,\Gamma)$-module of dimension 2 over the relative Robba ring $\Robba_A$ we construct a locally analytic $\GL_2(\qp)$-representation in $A$-modules. This is joint work with Joaquin Rodrigues.

Cette thèse est une contribution à l'étude des représentations p-adiques (c'est-à-dire continues unitaires sur des espaces de Banach p-adiques) et modulo p (c'est-à-dire lisses sur un corps fini de caractéristique p) d'un groupe réductif p-adique déployé G.Nous déterminons les extensions entre séries principales p-adiques et modulo p de G Pour cela, nous calculons le delta-foncteur H•OrdB des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe de Borel sur une série principale en utilisant une filtration de Bruhat.Nous déterminons également les extensions d'une série principale par une représentation ordinaire (c'est-à-dire obtenue par induction parabolique à partir d'une représentation spéciale du Levi tordue par un caractère), ainsi que les extensions de Yoneda de longueur supérieure entre séries principales modulo p sous une conjecture d'Emerton vraie pour GL2.Nous montrons de plus qu'il n'existe pas de « chaîne » de trois séries principales p-adiques ou modulo p distinctes de G. Pour cela, nous calculons partiellement le delta-foncteur H•OrdP relatif à un sous-groupe parabolique quelconque sur une série principale. En exploitant ce résultat, nous prouvons une conjecture de Breuil et Herzig sur l'unicité de certaines représentations p-adiques de G dont les constituants sont des séries principales, ainsi que son analogue modulo p.Enfin, nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations modulo p irréductibles de G obtenues par induction parabolique à partir d'une représentations supersingulière du Levi. Nous prouvons cette conjecture pour les extensions par une série principale. / This thesis is a contribution to the study of p-adic (i.e. unitary continuous on p-adic Banach spaces) and mod p (i.e. smooth over a finite field of characteristic p) representations of a split p-adic reductive group G.We determine the extensions between p-adic and mod p principal series of G. In order to do so, we compute Emerton's delta-functor H•OrdB of derived ordinary parts with respect to a Borel subgroup on a principal series using a Bruhat filtration.We also determine the extensions of a principal series by an ordinary representation (i.e. parabolically induced from a special representation of the Levi twisted by a character), as well as the Yoneda extensions of higher length between mod p principal series under a conjecture of Emerton true for GL2.Moreover, we show that there exists no “chain” of three distinct p-adic or mod p principal series of G. In order to do so, we partially compute the delta-functor H•OrdP with respect to any parabolic subgroup on a principal series. Exploiting this result, we prove a conjecture of Breuil and Herzig on the uniqueness of certain p-adic representations of G whose constituents are principal series, as well as its mod p analogue.Finally, we formulate a new conjecture on the extensions between irreducible mod p representations of G parabolically induced from a supersingular representation of the Levi. We prove this conjecture for extensions by a principal series.

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides. / This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces.

Soit p un nombre premier. Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une représentation p-adique de dimension 2 du groupe Gal(\bar{Qp}/Qp), on sait lui associer une représentation p-adique continue B(V) de GL₂(Qp). Si F est une extension finie non triviale de Qp, la question d'associer des représentations p-adiques de GL₂(F) aux représentations p-adiques de dimension 2 de Gal(\bar{Qp}/F) dans l'esprit d'une correspondance locale à la Langlands s'annonce beaucoup plus délicate. Dans ce texte, nous considérons des espaces de Banach p-adiques, munis d'une action linéaire continue de GL₂(F), qui sont des complétions unitaires universelles de certaines représentations localement Qp-analytiques de GL₂(F). Celles-ci sont susceptibles de jouer un rôle important dans une éventuelle correspondance de Langlands locale p-adique pour GL₂(F). Le résultat principal de cette thèse est démontré dans le Chapitre 3 et généralise des résultats antérieurs de Berger et Breuil. Il consiste en une description explicite de ces complétés unitaires universels à l'aide des fonctions continues sur F d'un certain type. Pour ce faire, nous introduisons dans le Chapitre 2 des espaces de Banach de fonctions de classe C^r, où r est un nombre rationnel positif, et leurs espaces duaux de distributions d'ordre r. Nous construisons une base de Banach et nous donnons un critère de prolongement des formes linéaires définies sur un espace de fonctions localement Qp-polynomiales en distributions d'ordre r. Ce faisant, nous généralisons des résultats classiques dus à Amice-Vélu et Vishik. Dans le Chapitre 4, nous exhibons des cas de non nullité pour les complétions unitaires universelles considérées par construction explicite de réseaux invariants. Cela donne de nouveaux cas de la conjecture proposée par Breuil et Schneider sur l'équivalence entre l'existence de normes invariantes sur certaines représentations localement algébriques de GL_d(F) et l'existence de certaines représentations de de Rham de Gal(\bar{Qp}/F). / Let p be a prime. The subject of this thesis is the p-adic Langlands correspondence. If V is a p-adic representation of dimension 2 of the group Gal(\bar{Qp}/Qp), it is known how to associate to it a continuous p-adic representation B(V) of GL₂(Qp). If F is a non-trivial finite extension of Qp, the issue of associating p-adic representations of GL₂(F) to p-adic representations of dimension 2 of Gal(\bar{Qp}/F) in the spirit of a local Langlands correspondence appears much more delicate. In this text we consider a class of p-adic Banach spaces, endowed with a continuous linear action of GL₂(F), which are obtained as universal unitary completions of certain locally Qp-analytic representations of GL₂(F). Such representations are likely to play an important role in a future local p-adic Langlands correspondence for GL₂(F). The main result of this thesis is proved in Chapter 3 and generalizes some previous results of Berger and Breuil. It consists in an explicit description of these universal unitary completions by means of a certain class of continuous functions on F. In order to do this, we introduce in Chapter 2 a class of Banach spaces of functions of class C^r, where r is a positive rational number, as well as their dual spaces of distributions of order r. We build a Banach base and we give a criterion for telling when a linear form defined on a space of locally Qp-polynomial functions extends to a distribution of order r. As a consequence, we generalize some classical results due to Amice-Vélu and Vishik. In Chapter 4 we exhibit cases of non-nullity for these universal unitary completions, by an explicit construction of invariant lattices. This also provides new instances of the Breuil-Schneider conjecture about the equivalence between the existence of invariant norms on certain locally algebraic representations of GL_d(F) and the existence of certain De Rham representations of Gal(\bar{Qp}/F).

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.