Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois de Qp, on sait lui associer une représentation p-adique continue B(V) de GL_2(Qp). Dans un premier chapitre, nous considérons le cas où V est semi-stable non cristalline et construisons un foncteur qui, appliqué à une sous-représentation localement analytique Sigma(V) de B(V) construite par Breuil, donne le module de Fontaine de V. Cette méthode, inspirée des travaux de Carayol et Dat dans le cadre l-adique, utilise le complexe de de Rham du demi-plan de Drinfel'd. Lorsque L est une extension finie de Qp, nous étendons cette construction à certaines familles de représentations semi-stables non cristallines de dimension 2 du groupe de Galois de L, paramétrées par un [L:Qp]-uplet d'éléments du corps des coefficients. Nous proposons alors, par analogie avec les constructions de Breuil dans le cas L=Qp, la construction d'une représentation localement analytique de GL_2(L) associée à V et montrons qu'elle permet de retrouver le module de Fontaine de V par le foncteur décrit précédemment. Dans un deuxième chapitre, nous nous intéressons à certaines familles de représentations semi-stables de dimension 3 de G_Qp. Dans ce cas, la situation devient plus compliquée et nous construisons, pour toute représentation V de cette famille, non pas une représentation mais un complexe Sigma(V) de représentations localement analytiques de GL_3(Qp). Nous montrons alors qu'un analogue du foncteur du chapitre 1, mais utilisant l'espace de Drinfel'd de dimension 2, associe à Sigma(V) le module de Fontaine de V.

Cette thèse est une contribution à l'étude des représentations p-adiques (c'est-à-dire continues unitaires sur des espaces de Banach p-adiques) et modulo p (c'est-à-dire lisses sur un corps fini de caractéristique p) d'un groupe réductif p-adique déployé G.Nous déterminons les extensions entre séries principales p-adiques et modulo p de G Pour cela, nous calculons le delta-foncteur H•OrdB des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe de Borel sur une série principale en utilisant une filtration de Bruhat.Nous déterminons également les extensions d'une série principale par une représentation ordinaire (c'est-à-dire obtenue par induction parabolique à partir d'une représentation spéciale du Levi tordue par un caractère), ainsi que les extensions de Yoneda de longueur supérieure entre séries principales modulo p sous une conjecture d'Emerton vraie pour GL2.Nous montrons de plus qu'il n'existe pas de « chaîne » de trois séries principales p-adiques ou modulo p distinctes de G. Pour cela, nous calculons partiellement le delta-foncteur H•OrdP relatif à un sous-groupe parabolique quelconque sur une série principale. En exploitant ce résultat, nous prouvons une conjecture de Breuil et Herzig sur l'unicité de certaines représentations p-adiques de G dont les constituants sont des séries principales, ainsi que son analogue modulo p.Enfin, nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations modulo p irréductibles de G obtenues par induction parabolique à partir d'une représentations supersingulière du Levi. Nous prouvons cette conjecture pour les extensions par une série principale. / This thesis is a contribution to the study of p-adic (i.e. unitary continuous on p-adic Banach spaces) and mod p (i.e. smooth over a finite field of characteristic p) representations of a split p-adic reductive group G.We determine the extensions between p-adic and mod p principal series of G. In order to do so, we compute Emerton's delta-functor H•OrdB of derived ordinary parts with respect to a Borel subgroup on a principal series using a Bruhat filtration.We also determine the extensions of a principal series by an ordinary representation (i.e. parabolically induced from a special representation of the Levi twisted by a character), as well as the Yoneda extensions of higher length between mod p principal series under a conjecture of Emerton true for GL2.Moreover, we show that there exists no “chain” of three distinct p-adic or mod p principal series of G. In order to do so, we partially compute the delta-functor H•OrdP with respect to any parabolic subgroup on a principal series. Exploiting this result, we prove a conjecture of Breuil and Herzig on the uniqueness of certain p-adic representations of G whose constituents are principal series, as well as its mod p analogue.Finally, we formulate a new conjecture on the extensions between irreducible mod p representations of G parabolically induced from a supersingular representation of the Levi. We prove this conjecture for extensions by a principal series.

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides. / This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.