Cette thèse traite de deux problèmes dans le cadre du programme de Langlands. Pour le premier problème, dans la situation de $\GL_2 $ et un cocaractère non minuscule, nous fournissons un contre-exemple (sous certaines hypothèses naturelles) à la conjecture de Rapoport-Zink, communiquée par Laurent Fargues. Le deuxième problème concerne un résultat dans le programme de Langlands $p$-adique. Soit $A$ une algèbre $\qp$-affinoïde, au sens de Tate. Nous développons une théorie d'un espace localement convexe en $A$-modules parallèle au traitement dans le cas d'un corps par Schneider et Teitelbaum. Nous montrons qu'il existe une application d'intégration liant une catégorie de représentations localement analytiques en $A$ -modules et des modules de distribution séparés relatif. Il existe une théorie de cohomologie localement analytique pour ces objets et une version du Lemme de Shapiro. Dans le cas d'un corps, ceci a été substantiellement développé par Kohlhaase. Comme une application, nous proposons une correspondance de Langlands $p$-adique en families: Pour un $(\varphi, \Gamma)$-module trianguline et régulière de dimension 2 sur l'anneau de Robba relatif $\Robba_A$ nous construisons une $\GL_2(\qp)$-représentation localement analytique en $A$-modules. Il s'agit d'un travail en commun avec Joaquin Rodrigues. / This thesis deals with two problems within the Langlands program. For the first problem, in the situation of $\GL_2$ and a non-minuscule cocharacter, we provide a counter-example (under some natural assumptions) to the Rapoport-Zink conjecture, communicated to us by Laurent Fargues.The second problem deals with a result in the $p$-adic Langlands program. Let $A$ be a $\qp$-affinoid algebra, in the sense of Tate. We develop a theory of locally convex $A$-modules parallel to the treatment in the case of a field by Schneider and Teitelbaum. We prove that there is an integration map linking a category of locally analytic representations in $A$-modules and separately continuous relative distribution modules. There is a suitable theory of locally analytic cohomology for these objects and a version of Shapiro's Lemma. In the case of a field this has been substantially developed by Kohlhaase. As an application we propose a $p$-adic Langlands correspondence in families: For a regular trianguline $(\varphi,\Gamma)$-module of dimension 2 over the relative Robba ring $\Robba_A$ we construct a locally analytic $\GL_2(\qp)$-representation in $A$-modules. This is joint work with Joaquin Rodrigues.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate. / Let \M be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Assume that \M is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. Let \Mrig be the generic fiber of Berthelot of \M. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite etale coverings (\M_K)_K classifing the level structures. We define a determinant morphism \det_K from the tower (\M_K)_K to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter of the reductive group related to the space \M. This is a local analogue on the nonarchimedean places of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we prove that the geometric fibers of the determinant morphism \det_K are the geometrically connected components of \M_K. We define also the exterior power morphisms which generalize the determinant morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space.

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie analytique p-adique et la cohomologie l-adique de certains espaces de Rapoport-Zink, en utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats élaborée par Fargues.Cette thèse se compose de trois parties. La première partie traite de certains espaces de Rapoport-Zink non-basiques, qui satisfont à la condition que leur polygone de Newton et polygone de Hodge ont un point de contact non-trivial, qui est un point de rupture pour le polygone de Newton. Sous cette hypothèse, nous prouvons que ces espaces de Rapoport-Zink peuvent être décomposés en une somme directe d'espaces de modules des types de Rapoport-Zink associés à certains sous-groupes paraboliques appropriés, donc leurs cohomologie l-adique sont des induites paraboliques et en particulier ne contiennent pas de représentations supercuspidales. Nous prouvons ces faits en démontrant d'abord un théorème sur la filtration de Hodge-Newton pour les groupes p-divisibles avec des structures additionelles sur des anneaux de valuation complets de rang un et de caractéristique mixte (0,p).Dans la deuxième partie, nous considérons les espaces de Rapoport-Zink basiques de signature (1,n-1) pour les groupes unitaires associés à l'extension quadratique non ramifiée de Qp. On étudie l'action de Hecke sur ces espaces en détails. En utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats, et la stratification de Bruhat-Tits de la fibre spéciale réduite Mred étudié par Vollaard-Wedhorn, on trouve un certain domaine analytique compact DK telle que ses itérés dans le groupe G(Qp)×Jb(Qp) forme un recouvrement localement fini de tout l'espace MK. Nous appelons un tel phénomène une décomposition cellulaire localement finie.Dans la troisième partie, nous démontrons une formule de Lefschetz pour ces espaces pour l'action des éléments semi-simples réguliers elliptiques, en tenant compte de l'action de ces éléments sur les cellules et en appliquant le théorème principal de Mieda. De la même manière, nous pouvons aussi reprouver la formule de Lefschetz pour les espaces de Lubin-Tate précédemment obtenue par Strauch et Mieda. Cette formule de Lefschetz devrait caractériser la réalisation de correspondances de Jacquet-Langlands locales pour les groupes unitaires dans la cohomologie l-adique de ces espaces de Rapoport-Zink, dès que certains problèmes correspondants de théorie des représentations auront été résolus. / In this thesis we study p-adic analytic geometry and l-adic cohomology of some Rapoport-Zink spaces, using the theory of Harder-Narasimhan filtration of finite flat group schemes developed by Fargues .This thesis consists of three parts. The first part deals with some non-basic Rapoport-Zink spaces, which satisfy the condition that their Newton polygon and Hodge polygon have a non-trivial contact point, which is a breakpoint for the Newton polygon. Under this hypothesis, we prove these Rapoport-Zink spaces can be decomposed as a direct sum of smaller Rapoport-Zink spaces associated to some suitable parabolic subgroups, thus their l-adic cohomology is parabolically induced and in particular contain no supercuspidal representations. We prove these facts by first proving a theorem about the Hodge-Newton filtration for p-divisible groups with additional structures over complete valuation rings of rank one and mixed characteristic (0,p).In the second part, we consider the basic Rapoport-Zink spaces with signature (1,n-1) for the unitary groups associated to the unramified quadratic extension of Qp. We study the Hecke action on these spaces in details. By using the theory of Harder-Narasimhan filtrations of finite flat group schemes, and the Bruhat-Tits stratification of the reduced special fiber Mred studied by Vollaard-Wedhorn, we find some compact analytic domain DK such that its translates under the group G(Qp)×Jb(Qp) form a locally finite cover of the whole space MK. We call such a phenomenon a locally finite cell decomposition.In the third part we prove a Lefschetz trace formula for these spaces for the action of regular semi-simple elliptic elements, by considering the action of these elements on the cells and applying Mieda's main theorem. In the same way we can also reprove the Lefschetz trace formula for Lubin-Tate spaces as previously obtained by Strauch and by Mieda. This Lefschetz trace formula should characterize the realization of local Jacquet-Langlands correspondences for unitary groups in the l-adic cohomology of these Rapoport-Zink spaces, as soon as some corresponding representation theoretic problems are solved.

Thesis advisor: Benjamin Howard / This dissertation gives a description of the GL(4) Rapoport-Zink space, including the connected components, irreducible components, intersection behavior of the irreducible components, and Ekedahl-Oort stratification. As an application of this, this dissertation also includes a description of the supersingular locus of the Shimura variety for the group GU(2,2) over a prime split in the relevant imaginary quadratic field. / Thesis (PhD) — Boston College, 2019. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate.

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie analytique p-adique et la cohomologie l-adique de certains espaces de Rapoport-Zink, en utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats élaborée par Fargues.Cette thèse se compose de trois parties. La première partie traite de certains espaces de Rapoport-Zink non-basiques, qui satisfont à la condition que leur polygone de Newton et polygone de Hodge ont un point de contact non-trivial, qui est un point de rupture pour le polygone de Newton. Sous cette hypothèse, nous prouvons que ces espaces de Rapoport-Zink peuvent être décomposés en une somme directe d'espaces de modules des types de Rapoport-Zink associés à certains sous-groupes paraboliques appropriés, donc leurs cohomologie l-adique sont des induites paraboliques et en particulier ne contiennent pas de représentations supercuspidales. Nous prouvons ces faits en démontrant d'abord un théorème sur la filtration de Hodge-Newton pour les groupes p-divisibles avec des structures additionelles sur des anneaux de valuation complets de rang un et de caractéristique mixte (0,p).Dans la deuxième partie, nous considérons les espaces de Rapoport-Zink basiques de signature (1,n-1) pour les groupes unitaires associés à l'extension quadratique non ramifiée de Qp. On étudie l'action de Hecke sur ces espaces en détails. En utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats, et la stratification de Bruhat-Tits de la fibre spéciale réduite Mred étudié par Vollaard-Wedhorn, on trouve un certain domaine analytique compact DK telle que ses itérés dans le groupe G(Qp)×Jb(Qp) forme un recouvrement localement fini de tout l'espace MK. Nous appelons un tel phénomène une décomposition cellulaire localement finie.Dans la troisième partie, nous démontrons une formule de Lefschetz pour ces espaces pour l'action des éléments semi-simples réguliers elliptiques, en tenant compte de l'action de ces éléments sur les cellules et en appliquant le théorème principal de Mieda. De la même manière, nous pouvons aussi reprouver la formule de Lefschetz pour les espaces de Lubin-Tate précédemment obtenue par Strauch et Mieda. Cette formule de Lefschetz devrait caractériser la réalisation de correspondances de Jacquet-Langlands locales pour les groupes unitaires dans la cohomologie l-adique de ces espaces de Rapoport-Zink, dès que certains problèmes correspondants de théorie des représentations auront été résolus.

Cette these concerne la geometrie de la correspondance de Langlands p-adique. On donne la formalisation des methodes de Emerton, qui permettrait d'etablir la conjecture de Fontaine-Mazur dans le cas general des groupes unitaires. Puis, on verifie que ce formalism est satisfait dans la cas de U(3) ou on utilise la construction de Breuil-Herzig pour la correspondence p-adique. De point de vue local, on commence l'etude de cohomologie modulo p et p-adiques de tour de Lubin-Tate pour GL_2(Q_p). En particulier, on demontre que on peut retrouver la correspondence de Langlands p-adique dans la cohomologie completee de tour de Lubin-Tate. / This thesis concerns the geometry behind the p-adic local Langlands correspondence. We give a formalism of methods of Emerton, which would permit to establish the Fontaine-Mazur conjecture in the general case for unitary groups. Then, we verify that our formalism works well in the case of U(3) where we use the construction of Breuil-Herzig as the input for the p-adic correspondence.From the local viewpoint, we start a study of the modulo p and p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower for GL_2(Q_p). In particular, we show that we can find the local p-adic Langlands correspondence in the completed cohomology of the Lubin-Tate tower.