The methods for solving domain optimization problems depends on the case of study. There are methods that have been developed for the discretized problem, but not much is done in the infinite dimensional case. We analyze the theoretical aspects of the infinite dimensional case for a particular domain optimization problem where a portion of the boundary is parametrized, these results involve the existence of the solution to our problem and the calculation of the derivative of the shape functional. Shape optimization problems have a long history of mathematical study and a wide range of applications. In recent decades there has been an interest in solving these problems with partial differential equation (PDE) constraints. We consider a special class of PDE-constrained shape optimization problems where different boundary condition types (Dirichlet and Neumann) are imposed on the same boundary segment. We also consider the case where the interface between these different boundary condition types may also be parameter dependent. This study also includes special cases where the shape of the region where the PDE is imposed does not change, but the domain of the partial differential operator is parameter dependent, due to the change in boundary condition type. Our treatment centers on the infinite dimensional formulation of the optimization problem. We consider existence of solutions as well as the calculation of derivatives of the associated shape functionals via adjoint solutions. These derivative formulations serve as a starting point for practical numerical approximations. / Ph. D.

Mnoho inženýrských úloh vede na optimalizační modely s~omezeními ve tvaru obyčejných (ODR) nebo parciálních (PDR) diferenciálních rovnic, přičemž jsou v praxi často některé parametry neurčité. V práci jsou uvažovány tři inženýrské problémy týkající se optimalizace vibrací a optimálního návrhu rozměrů nosníku. Neurčitost je v nich zahrnuta ve formě náhodného zatížení nebo náhodného Youngova modulu. Je zde ukázáno, že dvoustupňové stochastické programování nabízí slibný přístup k řešení úloh daného typu. Odpovídající matematické modely, zahrnující ODR nebo PDR omezení, neurčité parametry a více kritérií, vedou na (vícekriteriální) stochastické nelineární optimalizační modely. Dále je dokázáno, pro jaký typ úloh je nutné použít stochastické programování (EO reformulace), a kdy naopak stačí řešit jednodušší deterministickou úlohu (EV reformulace), což má v praxi význam z hlediska výpočetní náročnosti. Jsou navržena výpočetní schémata zahrnující diskretizační metody pro náhodné proměnné a ODR nebo PDR omezení. Matematické modely odvozené pomocí těchto aproximací jsou implementovány a řešeny v softwaru GAMS. Kvalita řešení je určena na základě intervalových odhadů "optimality gapu" spočtených pomocí metody Monte Carlo. Parametrická analýza vícekriteriálního modelu vede na výpočet "efficient frontier". Jsou studovány možnosti aproximace modelu zahrnujícího pravděpodobnostní členy související se spolehlivostí pomocí smíšeného celočíselného nelineárního programování a reformulace pomocí penalizační funkce. Dále je vzhledem k budoucím možnostem paralelních výpočtů rozsáhlých inženýrských úloh implementován a testován PHA algoritmus. Výsledky ukazují, že lze tento algoritmus použít, i když nejsou splněny matematické podmínky zaručující konvergenci. Na závěr je pro deterministickou verzi jedné z úloh porovnána metoda konečných diferencí s metodou konečných prvků za použití softwarů GAMS a ANSYS se zcela srovnatelnými výsledky.