The methods for solving domain optimization problems depends on the case of study. There are methods that have been developed for the discretized problem, but not much is done in the infinite dimensional case. We analyze the theoretical aspects of the infinite dimensional case for a particular domain optimization problem where a portion of the boundary is parametrized, these results involve the existence of the solution to our problem and the calculation of the derivative of the shape functional. Shape optimization problems have a long history of mathematical study and a wide range of applications. In recent decades there has been an interest in solving these problems with partial differential equation (PDE) constraints. We consider a special class of PDE-constrained shape optimization problems where different boundary condition types (Dirichlet and Neumann) are imposed on the same boundary segment. We also consider the case where the interface between these different boundary condition types may also be parameter dependent. This study also includes special cases where the shape of the region where the PDE is imposed does not change, but the domain of the partial differential operator is parameter dependent, due to the change in boundary condition type. Our treatment centers on the infinite dimensional formulation of the optimization problem. We consider existence of solutions as well as the calculation of derivatives of the associated shape functionals via adjoint solutions. These derivative formulations serve as a starting point for practical numerical approximations. / Ph. D. / Optimization problems arise in a number of areas and are usually posed as finding values of design parameters that minimize a given cost function. Examples include finding the shape of a car or airplane wing to reduce drag and improve fuel economy which maintaining a desired level of performance. This is an example of a constrained optimization problem where the constraint is described by a physical model known as a partial differential equation (PDE). For shape optimization problems, we want to find the best shape to minimizes a certain cost function, and the cost depends on the shape through the solution to the PDE. The strategy for solving a shape optimization problem depends on the particular problem at hand. In many cases, one assumes that the solution of an optimization problem exists, so the development of methods to find or approximate possible solutions is the first step. In this dissertation, we study some theoretical aspects of the problem that can be used to guarantee the existence of an optimal (or locally optimal) solution to the problem. We focus our attention on a special class of PDE constraints where the cost function is calculated over a domain with an unknown portion that needs to be determined. We further consider a special case of boundary conditions for the PDE constraints known as mixed boundary conditions. In this work, we study the theoretical aspects to guarantee the existence of a solution, and then we provide formulations of the derivatives that permit algorithms to search for the shape of the domain that minimizes a given cost function. These formulations are important to develop efficient numerical approximations.

Mnoho inženýrských úloh vede na optimalizační modely s~omezeními ve tvaru obyčejných (ODR) nebo parciálních (PDR) diferenciálních rovnic, přičemž jsou v praxi často některé parametry neurčité. V práci jsou uvažovány tři inženýrské problémy týkající se optimalizace vibrací a optimálního návrhu rozměrů nosníku. Neurčitost je v nich zahrnuta ve formě náhodného zatížení nebo náhodného Youngova modulu. Je zde ukázáno, že dvoustupňové stochastické programování nabízí slibný přístup k řešení úloh daného typu. Odpovídající matematické modely, zahrnující ODR nebo PDR omezení, neurčité parametry a více kritérií, vedou na (vícekriteriální) stochastické nelineární optimalizační modely. Dále je dokázáno, pro jaký typ úloh je nutné použít stochastické programování (EO reformulace), a kdy naopak stačí řešit jednodušší deterministickou úlohu (EV reformulace), což má v praxi význam z hlediska výpočetní náročnosti. Jsou navržena výpočetní schémata zahrnující diskretizační metody pro náhodné proměnné a ODR nebo PDR omezení. Matematické modely odvozené pomocí těchto aproximací jsou implementovány a řešeny v softwaru GAMS. Kvalita řešení je určena na základě intervalových odhadů "optimality gapu" spočtených pomocí metody Monte Carlo. Parametrická analýza vícekriteriálního modelu vede na výpočet "efficient frontier". Jsou studovány možnosti aproximace modelu zahrnujícího pravděpodobnostní členy související se spolehlivostí pomocí smíšeného celočíselného nelineárního programování a reformulace pomocí penalizační funkce. Dále je vzhledem k budoucím možnostem paralelních výpočtů rozsáhlých inženýrských úloh implementován a testován PHA algoritmus. Výsledky ukazují, že lze tento algoritmus použít, i když nejsou splněny matematické podmínky zaručující konvergenci. Na závěr je pro deterministickou verzi jedné z úloh porovnána metoda konečných diferencí s metodou konečných prvků za použití softwarů GAMS a ANSYS se zcela srovnatelnými výsledky.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verallg. Nash-Gleichgewichtsproblemen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen mit (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von der Existenzfrage von Nash-Gleichgewichten werden Bedingungen an Optimalsteuerungsprobleme mit nichtlinearen Lösungsoperatoren hergeleitet, welche die Konvexität des reduzierten Problems garantieren. Dazu nutzen wir die verallg. Konvexität von vektorwertigen Operatoren. Da keine expl. Darstellung des Lösungsoperators bekannt ist, werden hinreichende Bedingungen an die Operatorgleichung formuliert. Zusammen mit Anforderungen an das Zielfunktional wird so die Konvexität des reduzierten Problems garantiert. Das erlaubt auch Stationaritätssysteme im nichtglatten Fall herzuleiten. Eine zusätzliche Bedingung an die Lösung der Operatorgleichung koppelt die Strategien der Spieler. Das markiert den Übergang zu verallgemeinerten Nash-Spielen. Um diese Probleme anzugehen, wenden wir eine Penalty-Technik an. Damit wird die beschriebene Abhängigkeit vermieden und zum Zielfunktional transportiert. Damit wird eine Folge von Ersatzproblemen formuliert, deren Grenze das ursprüngliche Problem ist. Für die mathematische Beschreibung entwickeln wir eine erweiterte Γ-Konvergenz für Gleichgewichtsprobleme. Das Verhalten der Lagrange-Multiplikatoren im Stationaritätssystem wird unter Verwendung einer Pfadverfolgungstechnik analysiert und eine numerisch nutzbare Updatestrategie wird hergeleitet. Für ein praktisch anwendbares Lösungsverfahren ist eine Diskretisierung notwendig. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode. Die Herleitung der A-priori-Konvergenz basierend auf der zuvor verallgemeinerten Γ-Konvergenz wird für Gleichgewichtsprobleme mit gleichzeitiger Regularisierung etabliert. Im Blick auf durch Hindernisbedingungen erzeugte Kontaktmengen wenden wir uns auch adaptiven Finite-Elemente-Methoden zu. Unsere theoretischen Ergebnisse werden durch mehrere akademische Anwendungen illustriert. / The present work deals with generalized Nash equilibrium problems related to optimal control problems on (nonlinear) partial differential equations. Starting from the question of the existence of Nash equilibria, conditions for optimal control problems with nonlinear solution operators are derived that guarantee the convexity of the reduced problem. To do so, we discuss generalized convexity of vector-valued operators. As no explicit representation of the solution operator is known, conditions on the operator equation that imply this property are formulated. In combination with requirements for the objective functional, the convexity of the reduced problem can be guaranteed. This approach also allows us to derive stationarity systems even in the nonsmooth case. The presence of a condition on the solution of the operator equation couples the players' strategies. This marks the transition to generalized Nash games. To address these problems, we apply a penalty technique. Hence, the described dependency is avoided and transported to the objective. As the penalty functional is scaled with a parameter, a sequence of surrogate problems, whose limit is the original problem, is formulated. For its mathematical description, we introduce an extended Γ-convergence for equilibrium problems. The behavior of the Lagrangian multipliers in the stationarity system is analyzed using a path-following technique, and a numerically usable update strategy is derived. A discretization is necessary for a practically applicable solution method. For this, we use a finite element method. The derivation of the a priori convergence based on the previously generalized Γ-convergence is established for equilibrium problems with simultaneous regularization. With regard to the presence of contact sets induced by obstacle conditions, we also turn to adaptive finite element methods. Our theoretical results are illustrated by several academic applications.